袁淑峰，金海林

（1.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；2.紹興文理學(xué)院上虞分院，浙江上虞 312300）

一些幾何不等式的等價(jià)關(guān)系

袁淑峰1，2，金海林1

（1.上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444；2.紹興文理學(xué)院上虞分院，浙江上虞 312300）

Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式是凸幾何中的兩個(gè)重要而基本的不等式.近期，已有學(xué)者得到了這兩個(gè)不等式的Orlicz版本，從而構(gòu)建起Orlicz-Brunn-Minkowski理論的框架.本工作證明經(jīng)典的Brunn-Minkowski不等式、Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式是等價(jià)的.

Brunn-Minkowski不等式；Minkowski不等式；Minkowski和；Orlicz和；均質(zhì)積分

幾何不等式的等價(jià)性一直是凸幾何分析的重點(diǎn)研究對(duì)象［1-2］.Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式作為Brunn-Minkowski理論中的兩個(gè)重要而基本的不等式，一直受到廣泛的關(guān)注.

經(jīng)典Minkowski不等式［3-4］描述如下：

如果凸體K，L∈Kn，則有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是位似的.

經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式［5］描述如下：如果凸體K，L∈Kn，則有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是位似的.式（2）中，K+L表示凸體K和L的Minkowski和.

令Φ2表示定義在［0，∞）2→［0，∞）上的凸函數(shù)φ的集合.凸函數(shù)φ對(duì)于兩個(gè)變量都是單調(diào)遞增的，且有φ（0，0）=0和φ（0，1）=φ（1，0）=1.

近期，Gardner等［6］給出了關(guān)于Orlicz和的Brunn-Minkowski不等式以及Orlicz-Minkowski不等式.

如果凸體K，L∈Kno，φ∈Φ2，那么Orlicz-Brunn-Minkowski不等式表示為

式中，如果φ是嚴(yán)格凸的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

式中，如果φ是嚴(yán)格凸的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

本工作主要是證明上述4個(gè)不等式（式（1）～（4））的等價(jià)關(guān)系.

1　預(yù)備知識(shí)

令Sn-1表示Rn中質(zhì)心在原點(diǎn)的單位球B的表面，h（K，·）=hK（·）：Sn-1→R表示凸體K∈Kn的支撐函數(shù)，即

式中，〈u，x〉表示u和x在Rn上的通常內(nèi)積.

凸體K的徑向函數(shù)ρ（K，·）：Sn-1→R定義為ρ（K，u）=max｛λ＞0：λu∈K｝，u∈Sn-1.若凸體K，L滿足ρ（K，·）/ρ（L，·）：Sn-1→R是常數(shù)，則稱K和L是互為伸縮的.對(duì)于凸體K，L，若存在常數(shù)a＞0，b∈Rn，使得K=aL+b成立，則稱凸體K和L是位似的.

對(duì)于Rn中的凸體K和L，若u∈Sn-1，則它們的Minkowski和K+L［4］定義為

如果p≥1，凸體K，L包含原點(diǎn)且原點(diǎn)在其內(nèi)部，對(duì)于u∈Sn-1，凸體K+pL通過(guò)支撐函數(shù)定義為

式中，稱運(yùn)算+p為Firey p-和［7］.目前，F(xiàn)irey p-和已被Lutwak等［8］推廣到任意非凸集.

若凸體K，L∈Kno，φ∈Φ2，任意向量u∈Rn，則對(duì)于凸體K和L的Orlicz和K+φL，很容易得到hK+φL（u）=λ（u）的必要條件為

當(dāng)φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y），φ1，φ2∈Φ時(shí)，則有

當(dāng)φ（x，y）=xp+yp，1≤p＜∞時(shí)，Orlicz和變成Firey p-和；而當(dāng)φ（x，y）=max｛x，y｝時(shí)，凸體K和L的Orlicz和就變成K和L的并的凸包.

均質(zhì)積分是混合體積的一個(gè)重要的例子［4］.如果K是Rn中的一個(gè)緊凸集，0≤i≤n，那么K的均質(zhì)積分Wi（K）定義為Wi（K）=V（K，n-i；B，i），則W0（K）=V（K）（K的體積），nW1（K）=S（K）（K的表面積），Wn（K）=V（B）=ωn（單位球的體積）.

如果凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則K，L的混合均質(zhì)積分Wi（K，L）［9-10］定義為

式中，Borel測(cè)度Si（K，·）是K的i次表面積測(cè)度.由于Wi（λK）=λn-iWi（K），則對(duì)于所有的i，可得到Wi（K，K）=Wi（K）.

如果凸體K，L∈Kno，0≤i≤n-1，且p≥1，那么凸體K，L的混合p-均質(zhì)積分Wp，i（K，L）［11］定義為

如果p=1，那么Wp，i（K，L）=Wi（K，L），顯然有Wp，i（K，K）=Wi（K）.

假設(shè)μ是X空間中的一個(gè)概率測(cè)度，g：X→I?R是一個(gè)μ-可測(cè)函數(shù)，其中I可能是一個(gè)無(wú)界區(qū)間.Jensen不等式表述為如果?：I→R是一個(gè)凸函數(shù)，那么

如果?是嚴(yán)格凸的，等號(hào)成立的充要條件是對(duì)于X中的每個(gè)x幾乎處處μ-可測(cè)的函數(shù)g（x）是一個(gè)常數(shù)函數(shù)［12］.

2　定理的證明

下面建立相對(duì)于定理1的更廣泛的均質(zhì)積分形式，并給出詳細(xì)的證明.

1993年，Lutwak［11］證明了Lp-Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式.若p≥1，凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則

當(dāng)p＞1時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

若取p=1，則式（9）變?yōu)榻?jīng)典Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式［9-10］：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是位似的.

Firey［7］證明了下列關(guān)于Firey p-和的Lp-Brunn-Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式.若p≥1，凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則

當(dāng)p＞1時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

若取p=1，則式（11）變?yōu)榻?jīng)典Brunn-Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是位似的.

Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式如下.

如果φ是嚴(yán)格增的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

如果φ是嚴(yán)格增的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

當(dāng)φ嚴(yán)格凸時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

證明根據(jù)式（5）～（7）和式（13），可得

如果φ是嚴(yán)格凸的，那么φ1和φ2也是嚴(yán)格凸的，于是根據(jù)式（13）的等號(hào)成立條件，可得到凸體K，L分別與K+φL是互為伸縮的，所以K和L也是互為伸縮的.

在定理2中，若取i=0，就得到了Gardner等［5］給出的結(jié)論.

當(dāng)φ嚴(yán)格凸時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

已知經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式是等價(jià)的，因此可得如下引理.

引理1［11］如果凸體K，L∈Kn，0≤i≤n-1，則有

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是位似的.

在定理2中，若取φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）=x+y，就可得到引理1的部分結(jié)論.

如果φ是嚴(yán)格凸的，那么不等式等號(hào)同時(shí)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

證明“?”因?yàn)?/p>

“?”取φ（t）=t，易證得結(jié)論.

如果φ是嚴(yán)格凸的，那么不等式等號(hào)同時(shí)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

證明在式（14）中取φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）=x+y，即可得到經(jīng)典Brunn-Minkowski不等式的均質(zhì)積分形式：

根據(jù)引理1和引理2，易得所需的推導(dǎo)關(guān)系.

根據(jù)式（15）、引理1和引理2的等號(hào)成立條件可知，當(dāng)φ嚴(yán)格凸時(shí)，定理3中的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.結(jié)合定理2和定理3，可得到如下定理.

當(dāng)φ嚴(yán)格凸時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

在定理4中，當(dāng)i=0，φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y）時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式是等價(jià)的，并有如下推論.

當(dāng)φ嚴(yán)格凸時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

在定理4中，若取i=0，φ（x，y）=xp+yp，p≥1，可得到Lp-Brunn-Minkowski不等式和Lp-Minkowski不等式的等價(jià)性.

推論3［2］如果凸體K，L∈Kno，p≥1，那么

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

根據(jù)定理2、引理1、引理2和定理3，可以得到如下定理.

當(dāng)φ∈Φ2且φ（x，y）=φ1（x）+φ2（y），φ1，φ2∈Φ時(shí)，式（3）可變?yōu)?/p>

如果φ是嚴(yán)格凸的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是互為伸縮的.

由定理5可以看出，當(dāng)i=0時(shí)，定理5就轉(zhuǎn)化為定理1.

［1］虞志剛，袁俊，冷崗松.Lp投影不等式和Lp質(zhì)心不等式的等價(jià)性［J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，15（1）：8-10.

［2］趙長(zhǎng)健，冷崗松，李小燕.凸體幾何一些經(jīng)典不等式的等價(jià)性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48（2）：347-354.

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Equivalence properties of some geometric inequalities

YUAN Shu-feng1，2，JIN Hai-lin1
（1.College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China；2.Shangyu Branch，Shaoxing University，Shangyu 312300，Zhejiang，China）

Brunn-Minkowski inequality and Minkowski inequality are two important and fundamental inequalities in convex geometric analysis.Recently，some researchers established Orlicz extension of these two inequalities，and constructed a general framework for the Orlicz-Brunn-Minkowski theory.The purpose of this paper is to show equivalence properties of these four inequalities，i.e.，classical Brunn-Minkowski inequality，classical Minkowski inequality，Orlicz-Brunn-Minkowski inequality and Orlicz-Minkowski inequality.

Brunn-Minkowski inequality；Minkowski inequality；Minkowski addition；Orlicz addition；Quermassintegral

O 186.5

A

1007-2861（2015）06-0725-07

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.01.043

2014-03-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271244）；浙江省教育廳科研基金資助項(xiàng)目（Y201328555）

袁淑峰（1976—），女，副教授，博士，研究方向?yàn)橥箮缀?E-mail：yuanshufeng2003@163.com