張躍

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Wigner固體平均勢的計(jì)算

張躍

(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院, 湖南長沙, 410081)

修正了Callaway J計(jì)算Wigner固體的平均勢理論中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。以單原子的bcc和fcc結(jié)構(gòu)的金屬為例, 建立了計(jì)算Wigner固體的平均勢的理論。理論結(jié)果表明: 金屬晶體的平均勢與晶體的晶格常數(shù)的倒數(shù)1/成正比。對一些常用的bcc和fcc結(jié)構(gòu)的金屬晶體的平均勢進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算, 獲得了大量具有應(yīng)用價(jià)值的計(jì)算結(jié)果。

Wigner固體; 泊松方程; 平均勢; 晶格常數(shù)

晶體的平均勢是計(jì)算晶體的能帶結(jié)構(gòu)、晶體的靜電勢能或者靜電束縛能不可缺少的要素, 它可以作為晶體中電子哈密頓量的零級微擾近似。對于計(jì)算晶體的靜電勢能未計(jì)入平均勢或者認(rèn)為平均勢等于0的計(jì)算結(jié)果, 其貢獻(xiàn)可以導(dǎo)致20%甚至更大的修正值[1]。因而計(jì)算晶體的平均勢是固體理論研究領(lǐng)域中具有重要價(jià)值的課題之一[2–5]。有關(guān)晶體的計(jì)算很復(fù)雜, 人們希望探索和建立能夠簡化計(jì)算的理論。Wigner固體是一種理論模型, 它類似于等離子體形態(tài)。由于Wigner固體可以應(yīng)用于許多物理現(xiàn)象, 諸如: 半導(dǎo)體表面附近的反演層; 液態(tài)氦受到垂直方向外電場作用時(shí), 在略高于其自由表面處呈現(xiàn)的電子晶體; 白矮星; 脈沖星的外殼等[1, 5]。Wigner固體模型適合應(yīng)用于金屬晶體, 因?yàn)榻饘僦械碾娮犹幱谟坞x狀態(tài), 有可能趨向于負(fù)電荷均勻分布。Callaway J利用這種模型計(jì)算過單原子體心立方結(jié)構(gòu)金屬中電子在布里淵區(qū)的點(diǎn)的電勢, 實(shí)際上, 它等同于晶體的平均勢[3–4]。但該計(jì)算理論存在錯(cuò)誤, 在文獻(xiàn)[2, 5]中, Callaway J等人誤將泊松方程中的電勢函數(shù)()解釋成了電勢能函數(shù)。此外, 在計(jì)算過程中, Callaway J錯(cuò)誤地直接引用了文獻(xiàn)[1]中對的積分計(jì)算結(jié)果, 因?yàn)槲墨I(xiàn)[1]中選取的該積分區(qū)域?yàn)榫o鄰晶胞(proximity cell), 其體積為23, 而Callaway J選取的積分區(qū)域?yàn)橐话阍? 其體積為3/2, 兩者的積分區(qū)域不一樣, 因而必須重新計(jì)算積分。鑒于常用的金屬大多數(shù)是體心立方(bcc)和面心立方(fcc)晶格結(jié)構(gòu), 本文將限于討論計(jì)算bcc和fcc金屬晶體的平均勢。

1 Wigner固體

為了便于計(jì)算, 本文僅考慮單原子bcc和fcc結(jié)構(gòu)的金屬。所謂的Wigner固體[1–2], 對于離子點(diǎn)陣的晶體, 指晶體由帶正電量|e|(e是電子的電量)并靜止在晶格格點(diǎn)上的點(diǎn)電荷(正離子)和帶有均勻的負(fù)電荷分布的背景構(gòu)成, 每個(gè)晶胞內(nèi)帶負(fù)電量為-|e|, 整個(gè)晶體保持電中性。為原子的電荷序數(shù)與原子實(shí)中的電子數(shù)之差。晶體內(nèi)一個(gè)電子的電勢函數(shù)由泊松方程確定[6]:

式中()表示晶體內(nèi)的電荷密度,0和r分別為真空的介電常數(shù)和金屬的相對介電常數(shù), 對于一般的金屬, 相對介電常數(shù)r＜10。()和()都是周期函數(shù), 可以利用傅里葉展開式:

;。 (2)

()和()的傅里葉展開系數(shù)分別為:

。 (4)

采用原胞為基本單位, 式中為任意一個(gè)倒格矢,c()表示一個(gè)原胞內(nèi)的電荷密度,為一個(gè)原胞的體積。c()是以每個(gè)晶胞為中心的電勢項(xiàng)。由于晶體具有平移對稱性,()可以表示為。類似地, 晶體的電荷密度()也可以表示為各晶胞的項(xiàng)之和。將(2)式代入(1)式, 得到

理論計(jì)算對于布里淵區(qū)內(nèi)的各特殊點(diǎn)是類似的, 本文僅考慮布里淵區(qū)的點(diǎn)(= 0)。當(dāng)= 0時(shí), (3)式表示的是晶體的平均勢[2–4], 這也是利用微擾理論計(jì)算晶體的能帶結(jié)構(gòu)或者靜電勢時(shí)需要單獨(dú)計(jì)算的一項(xiàng)。本文定義(0)為(7)式中的, 視其為連續(xù)變量, 當(dāng)→0時(shí)可以免去的下標(biāo)。根據(jù)(5)式有

。 (6)

式中表示與之間的夾角。因?yàn)榫w中一個(gè)原胞內(nèi)的電荷分布是中性, 故(7)式中的第1項(xiàng)積分等于0。此外, 在一個(gè)原胞內(nèi), 電荷分布具有空間反演對稱, 第2項(xiàng)積分也為0, 實(shí)際上(0)應(yīng)為實(shí)數(shù), 可以不考慮(7)式中的第2項(xiàng)。將(7)式代入(6)式, 當(dāng)→0時(shí), 得到

, (8)

2 計(jì)算bcc結(jié)構(gòu)

晶體的原胞內(nèi)電荷均勻分布, 具有球?qū)ΨQ性, 整個(gè)原胞保持電中性。因此, 對于bcc結(jié)構(gòu)的金屬晶體, 可以將一個(gè)原胞內(nèi)的電荷密度表示為[3, 5]

c()具有立方對稱性, 如果代入(9)式計(jì)算, 對含2(cos)項(xiàng)的積分等于0, 因而有

。 (11)

(12)式表明, 晶體的平均勢與晶體的晶格常數(shù)的倒數(shù)成正比, 這一點(diǎn)與有關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)論一致[5]。本文對一些常用的bcc金屬(超導(dǎo)元素)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算, 計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 一些bcc金屬(超導(dǎo)元素)晶體的平均勢的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

*為晶格常數(shù)數(shù)據(jù)右邊注明的78 K及5 K是指測量實(shí)驗(yàn)的溫度, 未注明的是在室溫下測量的[7], ?.r是根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的Clausius-Mossotti公式以及金屬離子的電極化率計(jì)算出的理論值。下表同。

3 計(jì)算fcc結(jié)構(gòu)

對于fcc結(jié)構(gòu)的金屬,=3/4, 采用等體積球形近似計(jì)算(11)式中的積分, 通過計(jì)算得到球形的半徑s≈ 0.390 669 4。由此計(jì)算出。根據(jù)(11)式最后得到

本文對一些常用的fcc金屬[9–10]進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表2中所示。

表2 一些fcc結(jié)構(gòu)金屬晶體的平均勢的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

Wigner固體作為一種假設(shè)模型而廣泛應(yīng)用于固體理論研究領(lǐng)域。文章中對于單原子的bcc和fcc結(jié)構(gòu)的金屬, 計(jì)算并推導(dǎo)出了可以分別直接應(yīng)用于計(jì)算bcc和fcc金屬晶體的平均勢的公式, 即(12)式和(11)式。并且, 對一些常用的bcc和fcc金屬晶體的平均勢進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算, 計(jì)算結(jié)果如表格1和表格2所示。本文雖然沒有找到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和他人的理論計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較, 但從(12)和(13)兩式可知, 晶體的平均勢與晶格常數(shù)的倒數(shù)成正比例, 這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論一致。對于其它晶格點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的金屬, 也可以利用本文建立的理論進(jìn)行類似的計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編校:劉剛毅)

Calculating the average potential of a Wigner solid

Zhang Yue

(College of Physics and Information Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

A few errors occurring in the calculations of Callaway J on the average potential of a Wigner solid are corrected. With respect to the monoatomic bcc and fcc metals, a theory of calculating the average potentials of them is established, and the theoretical results demonstrate that the average potential is directly proportional to 1/(is the lattice constant of the crystal). Moreover, a great deal of calculations of the average potentials of various bcc and fcc metals are performed, and a lot of numerical results which are valuable for applications are obtained.

Wigner solid; Poisson’s equation; average potential; lattice constant

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.03.005

TG 111.1; O 481

1672–6146(2015)03–0019–03

張躍, phys_zhangyue@126.com。

2015–05–07

湖南師范大學(xué)科學(xué)研究項(xiàng)目(29000631)。