張婧，陳治亞，黃帥，郭嘯，陳維亞

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多模式樞紐網(wǎng)絡(luò)中高鐵與航空均衡優(yōu)化模型

張婧1, 2，陳治亞1，黃帥3，郭嘯3，陳維亞2

(1. 中南大學(xué)商學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083；2. 中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院, 湖南長(zhǎng)沙，410075；3. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083)

在高鐵與航空共存的多模式客運(yùn)樞紐網(wǎng)絡(luò)中，考慮機(jī)場(chǎng)容量限制，通過(guò)多項(xiàng)式Logit模型，模擬行者對(duì)交通方式、交通方式運(yùn)營(yíng)商和出行路線的選擇行為，建立競(jìng)爭(zhēng)情形下運(yùn)營(yíng)商各自利潤(rùn)最大化的Nash均衡優(yōu)化模型。利用約束優(yōu)化的KKT條件，設(shè)計(jì)基于非線性互補(bǔ)問(wèn)題的求解算法，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證模型的合理性和算法的有效性。研究結(jié)果表明：機(jī)場(chǎng)容量的變化對(duì)運(yùn)營(yíng)商的決策和出行者的出行選擇有影響；通過(guò)關(guān)閉或開啟某些航段，可使航空運(yùn)營(yíng)商的利潤(rùn)變大，或使得社會(huì)效益增加；此外，通過(guò)求解模型，得到機(jī)場(chǎng)容量擴(kuò)容時(shí)帶來(lái)的邊際社會(huì)效益，可以為機(jī)場(chǎng)擴(kuò)容提供一定的決策參考。

多模式樞紐網(wǎng)絡(luò)； Logit模型；彈性需求；Nash均衡；非線性互補(bǔ)問(wèn)題

在高鐵與航空的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系中，交通出行者的出行選擇行為和運(yùn)營(yíng)商的運(yùn)營(yíng)條件對(duì)交通運(yùn)營(yíng)商的決策起著重要作用。目前，描述交通出行者行為對(duì)高鐵和航空客流分擔(dān)率的影響，更多是針對(duì)單條線路中兩者競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的研究[1?5]。在忽略機(jī)場(chǎng)容量限制的條件下，研究者詳細(xì)分析了交通出行者的出行選擇行為對(duì)高鐵和航空客流分擔(dān)率的影響，但沒(méi)有考慮樞紐網(wǎng)絡(luò)中各市場(chǎng)的相互影響關(guān)系。隨著高鐵和航空樞紐網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，對(duì)樞紐網(wǎng)絡(luò)中高鐵與航空競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的研究逐漸增多。如Alder等[6]在建立Logit選擇模型的基礎(chǔ)上，分析了整個(gè)歐洲航空與高鐵體系的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系；Takebayashi[7]利用SUE模型描述乘客的出行行為，分析連接度對(duì)乘客出行選擇和運(yùn)營(yíng)商決策的影響。但他們都沒(méi)有考慮機(jī)場(chǎng)容量等限制條件對(duì)交通運(yùn)營(yíng)者決策的影響。Socorro等[8?9]考慮到樞紐機(jī)場(chǎng)容量對(duì)運(yùn)營(yíng)者決策的影響，建立了線性理論模型，全面分析了樞紐網(wǎng)絡(luò)中高鐵和航空的競(jìng)爭(zhēng)、合作關(guān)系，但Socorro等[8]-只討論了客票價(jià)格對(duì)需求的影響。在實(shí)際情況中，乘客選擇何種出行方式更多地依賴于包含票價(jià)、旅行時(shí)間等因素的廣義出行費(fèi)用。為此，本文作者針對(duì)有機(jī)場(chǎng)容量約束的多模式樞紐網(wǎng)絡(luò)對(duì)高鐵與航空的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系進(jìn)行研究。在更加詳細(xì)描述旅行負(fù)效用(包含票價(jià)、程前程后時(shí)間、在途時(shí)間、換乘時(shí)間、延誤時(shí)間)的基礎(chǔ)上，使用多項(xiàng)式Logit公式模擬出行者對(duì)交通方式和運(yùn)營(yíng)商的選擇，建立考慮交通出行者行為響應(yīng)的航空和高鐵均衡優(yōu)化模型。為了求解所建立的均衡優(yōu)化模型，首先利用約束優(yōu)化的KKT(Karush?Kuhn?Tucker)條件將其轉(zhuǎn)化成互補(bǔ)問(wèn)題，然后利用Fischer?Burmeiste函數(shù)，將互補(bǔ)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成非線性方程組問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算求解非線性方程組來(lái)得到均衡優(yōu)化模型的解。對(duì)于一個(gè)有多家航空公司運(yùn)營(yíng)的多模式樞紐運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)實(shí)例，利用構(gòu)造的模型模擬出行者出行的所有實(shí)際情況，并計(jì)算機(jī)場(chǎng)容量變化對(duì)運(yùn)營(yíng)策略的影響，以驗(yàn)證模型和算法的適用性。

1 問(wèn)題描述

本文研究的多模式樞紐交通網(wǎng)絡(luò)=(，) (其中，為通行城市集合，為城市所對(duì)應(yīng)的機(jī)場(chǎng)集合，為相鄰兩城市間的運(yùn)輸路段集合)。由于地理或政治的原因，分為國(guó)際、國(guó)內(nèi)路段，其中，國(guó)內(nèi)路段存在高鐵和航空2種運(yùn)輸方式，國(guó)際路段通常只有航空這種運(yùn)輸方式。設(shè)為運(yùn)營(yíng)商的集合，則且(其中，為網(wǎng)絡(luò)中航空公司集合，為高鐵集合)。并設(shè)為網(wǎng)絡(luò)中所有OD對(duì)的集合；J為OD對(duì)的所有路線集合；和分別表示OD(Origin?destination)對(duì)中運(yùn)營(yíng)商獨(dú)自運(yùn)營(yíng)的路線與其他公司共同運(yùn)營(yíng)的路線；下標(biāo)表示獨(dú)自的，表示共同的。設(shè)I為運(yùn)營(yíng)商運(yùn)營(yíng)的路段集合，不失一般性，進(jìn)行如下假設(shè)。

假設(shè)1 考慮2類局中人即交通出行者和交通方式運(yùn)營(yíng)商。交通出行者對(duì)交通方式、交通方式運(yùn)營(yíng)商和出行路線做出選擇決策，力圖使自身旅行負(fù)效用最小。

假設(shè)2 假設(shè)交通出行者擁有關(guān)于出行路線和運(yùn)營(yíng)商的完美信息，因此, 出行者對(duì)路徑和運(yùn)營(yíng)商的選擇滿足確定性用戶均衡原理[10]。

假設(shè)3 假設(shè)高鐵和航空沒(méi)有實(shí)現(xiàn)聯(lián)運(yùn)，即運(yùn)營(yíng)商不提供高鐵和航空聯(lián)程服務(wù)(一票制)。

假設(shè)4 交通出行者可以選擇航空、高鐵或換乘方式到達(dá)目的地。其中換乘方式g包括3種：航空換乘航空(一票制)1、航空換乘航空(非一票制)2、航空換乘高鐵(高鐵換乘航空)3。

2 模型建立

首先根據(jù)定義的旅行負(fù)效用函數(shù)建立交通出行者選擇的Logit模型，然后考慮航空、高鐵在實(shí)際運(yùn)營(yíng)時(shí)的約束，建立航空、高鐵均衡優(yōu)化模型。

2.1 旅行負(fù)效用函數(shù)

旅行者出行的負(fù)效用通常包括從起點(diǎn)到終點(diǎn)的程前程后時(shí)間(程前時(shí)間指從出發(fā)地到機(jī)場(chǎng)或車站的時(shí)間；程后時(shí)間指機(jī)場(chǎng)或車站到目的地的時(shí)間)、車內(nèi)(艙內(nèi))路線旅行時(shí)間、調(diào)度延誤時(shí)間、換乘時(shí)間、票價(jià)，可表示為[11]

式中：u為OD對(duì)間路線上的旅行負(fù)效用；為出行者的時(shí)間價(jià)值參數(shù)；t，w，d和g分別為OD對(duì)間路線的車內(nèi)(艙內(nèi))旅行時(shí)間、程前程后時(shí)間、調(diào)度延誤時(shí)間和換乘時(shí)間；1，2和3分別為將w，d和g折算成當(dāng)量車內(nèi)(艙內(nèi))旅行時(shí)間的系數(shù)；p為OD對(duì)間路線上的票價(jià)。

車內(nèi)(艙內(nèi))路線旅行時(shí)間可表示為該路線上所有路段旅行時(shí)間之和，即

類似地，調(diào)度延誤時(shí)間可表示為路線上所有路段的調(diào)度延誤時(shí)間之和，即

式中：為起始機(jī)場(chǎng)平均運(yùn)營(yíng)時(shí)間，通常取18 h[13?14]；為路段上運(yùn)營(yíng)者的運(yùn)行頻率。

由于沒(méi)有空中管制與天氣因素的影響，在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，高鐵準(zhǔn)時(shí)率達(dá)到95%以上，因此，在本文中，當(dāng)=為高鐵時(shí)，取為0。

換乘時(shí)間可以表示為路徑上所有的換乘方式時(shí)間之和，即

式中：n為OD對(duì)中路線上所需換乘方式的次數(shù)；g為換乘方式所需要的時(shí)間。g可以分解為換乘步行時(shí)間T1、排隊(duì)等候時(shí)間T2和換乘候車時(shí)間T33部分，即[15]

2.2 出行者選擇模型

由假設(shè)4，出行者的方式選擇滿足如下Logit公式[16]：

式中：q為OD對(duì)之間的需求；h為OD 對(duì)間路線上的乘客流量；為反映出行者對(duì)旅行負(fù)效用理解差異的參數(shù)。因此，OD對(duì)間的期望旅行負(fù)效用為[17]

考慮旅行負(fù)效用對(duì)出行需求的影響，引入如下的彈性需求函數(shù)[18]：

票價(jià)p為OD對(duì)間路線中各個(gè)子路線的票價(jià)之和，

2.3 航空和高鐵均衡優(yōu)化模型

交通方式運(yùn)營(yíng)商的運(yùn)營(yíng)策略影響出行者的選擇行為，反過(guò)來(lái)，出行者對(duì)交通方式運(yùn)營(yíng)商的選擇影響運(yùn)營(yíng)者的決策。交通方式運(yùn)營(yíng)者的利潤(rùn)等于總收入減去總運(yùn)營(yíng)成本，在實(shí)際中，不同交通方式的利潤(rùn)和運(yùn)營(yíng)時(shí)需要滿足的約束有區(qū)別。

其中：等式右邊前2項(xiàng)為航空公司在所有路線上的收入，第1項(xiàng)為路線集合上所獲得的收入，第2項(xiàng)為在路線集合上所得收入；右邊第3項(xiàng)為運(yùn)營(yíng)成本之和?？紤]到實(shí)際運(yùn)營(yíng)時(shí)，運(yùn)營(yíng)商的約束，航空公司的利潤(rùn)最優(yōu)化模型為

s.t.

其中：式(14)表示路段上公司承運(yùn)的實(shí)際人數(shù)不能超過(guò)該公司所提供的座位數(shù)與上座率的乘積；式(15)為機(jī)場(chǎng)的容量約束；式(16)和(17)分別為票價(jià)和運(yùn)行頻率的非負(fù)約束；為航空公司在航段上平均每個(gè)航班所提供的座位數(shù)；o為上座率；I為與機(jī)場(chǎng)連接的所有航段的集合；Q為機(jī)場(chǎng)的容量。

對(duì)于高鐵運(yùn)營(yíng)商，由于政治或者地理原因，大部分國(guó)家的高鐵只服務(wù)國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，且由于運(yùn)營(yíng)編排設(shè)置，高鐵的運(yùn)行頻率在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都是固定的，因此，本文只將票價(jià)作為高鐵的決策變量。由于服務(wù)頻率固定，其可變的運(yùn)營(yíng)成本為0 元，因此，本文沒(méi)有考慮高鐵的運(yùn)營(yíng)成本[7]。

對(duì)于高鐵公司=，它的利潤(rùn)函數(shù)為

其中：模型只要求票價(jià)非負(fù)。

由于模型 (19)的決策變量為模型(13)~(17)中的參數(shù)；反之，模型(13)~(17)中的決策變量為模型(19)中的參數(shù)，所以，航空、高鐵優(yōu)化模型是一個(gè)Nash均衡優(yōu)化模型。該交通網(wǎng)絡(luò)中的社會(huì)效益為[19]

式(20)右邊第1項(xiàng)為用戶盈余，第2項(xiàng)為所有運(yùn)營(yíng)商的利潤(rùn)。

3 模型的求解

3.1 等價(jià)的互補(bǔ)問(wèn)題

為了求解上面的模型，首先將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的互補(bǔ)問(wèn)題。令

分別為所有航空公司對(duì)應(yīng)的票價(jià)、頻率、約束(14)和約束(15)對(duì)應(yīng)的Lagrange乘子、高鐵公司對(duì)應(yīng)的票價(jià)所構(gòu)成的向量。記，則模型(13)~(17)的KKT條件可表示為

式(24)和(25)為KKT條件中Lagrange 函數(shù)對(duì)決策變量的導(dǎo)數(shù)為0，式(26)~(29)為KKT條件中約束條件(14)~(17)的互補(bǔ)條件。

類似地，模型(19)的KKT條件為

式(30)為KKT條件中Lagrange函數(shù)對(duì)決策變量的導(dǎo)數(shù)為0，式(31)為KKT條件中非負(fù)約束的互補(bǔ)條件。令

則航空、高鐵均衡優(yōu)化模型的解是以下非線性互補(bǔ)問(wèn)題的解：

3.2 算法

一般地，為了求解互補(bǔ)問(wèn)題(33)，需要將其轉(zhuǎn)化成如下非線性方程組求解[20]：

令

為非線性方程組(35)的效益函數(shù)。將互補(bǔ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性方程組問(wèn)題后，采用Matlab自帶的fsolve函數(shù)解決非線性方程組(35)。需要注意的是：fsolve求解非線性方程組的效果與初始點(diǎn)的選取有關(guān)，為了較準(zhǔn)確地得到方程組的解，類似文獻(xiàn)[21]中的Minfinder 法，本文構(gòu)造如下算法。

算法1

step 1給定迭代次數(shù)和比較小的數(shù)，令=1,。在給定的區(qū)間中隨機(jī)選取初始點(diǎn)。

step 2利用產(chǎn)生的初值, 調(diào)用 fsolve 函數(shù)，求解非線性方程組(35)，得到一組解以及效益函數(shù)值。若且，則，否則轉(zhuǎn)step 3。

step 4：若對(duì)*中的第個(gè)元素，存在*中另外一個(gè)元素，使得對(duì)，有，則，=+1，轉(zhuǎn)step 5。

對(duì)于算法1，由于約束優(yōu)化的KKT條件是一階必要條件，所以，航空、高鐵均衡優(yōu)化模型的解一定是互補(bǔ)問(wèn)題(33) 的解，從而是非線性方程組(35)的解，但反之不一定成立。由于非線性方程組(35)可能存在多組解，因此，需要根據(jù)給定數(shù)據(jù)，首先確定均衡解可能存在的區(qū)間，然后在該區(qū)間中隨機(jī)產(chǎn)生初始點(diǎn)。

利用文獻(xiàn)[21]中的Minfinder 法，可以找到給定區(qū)間中非線性方程組(35)的所有解。由于模型的目標(biāo)是運(yùn)營(yíng)者最大化各自的利潤(rùn)，因此，計(jì)算方程組每個(gè)解對(duì)應(yīng)的運(yùn)營(yíng)者的利潤(rùn)，并找出使得各個(gè)運(yùn)營(yíng)商利潤(rùn)不會(huì)增加的值作為解。若此時(shí)仍然有多組解，則這些值都可能是均衡優(yōu)化模型的解，此時(shí)，選擇使得社會(huì)效益最大解作為模型的解。

4 實(shí)例研究

多模式單樞紐網(wǎng)絡(luò)如圖1所示?？紤]吉隆坡(1)、廣州(2)、長(zhǎng)沙(3) 3個(gè)城市組成的多模式單樞紐網(wǎng) 絡(luò)[8?9]--。網(wǎng)絡(luò)中有2個(gè)路段卻有3個(gè)OD市場(chǎng)：吉隆坡—廣州，吉隆坡—長(zhǎng)沙，廣州—長(zhǎng)沙，分別用12，13和23市場(chǎng)表示。12之間僅有航空運(yùn)營(yíng)的中國(guó)南方航空公司(南航)和馬來(lái)西亞航空公司(馬航)；23之間既有航空又有高鐵，如南航、中國(guó)深圳航空公司(深航)、中國(guó)廣州鐵路集團(tuán)(廣鐵)；13之間沒(méi)有直達(dá)航班，乘客只能經(jīng)停2中轉(zhuǎn)到達(dá)3，乘客可以自由選擇運(yùn)輸方式和運(yùn)營(yíng)商，也可以選擇南航提供中轉(zhuǎn)聯(lián)程服務(wù)(一票制)。本文選取2012?12—2013?11的航空與高鐵歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，只考慮2樞紐機(jī)場(chǎng)容量限制時(shí)的情況。

1—高鐵；2—南航；3—深航；4—馬航

首先根據(jù)歷史實(shí)際數(shù)據(jù)和式(9)估計(jì)出一個(gè)需求，然后，將此需求上調(diào)25%作為潛在需求[12]，這樣得到12，13和23的潛在需求分別為1 048，114和 -12 114人。對(duì)于航空公司，市場(chǎng)12，13和23的艙內(nèi)運(yùn)行時(shí)間分別為1.25，5.25和4.00 h；程前程后時(shí)間均為3.00 h，距離分別為2 603，3 122和519 km。對(duì)于高鐵，市場(chǎng)23的車內(nèi)運(yùn)行時(shí)間為2.75 h，程前程后時(shí)間為2.00 h，距離為707 km。此外，出行者的時(shí)間經(jīng)濟(jì)價(jià)值約為15.5 $/h，1=2=3=1.3，1=1.0 h，2=2.5 h，3=4.0 h。南航、深航國(guó)內(nèi)航段的機(jī)型為170座/次，南航國(guó)際航段的機(jī)型為200座/次，馬航國(guó)際航段的機(jī)型為260 座/次，平均客座率為80%。運(yùn)營(yíng)國(guó)內(nèi)航線的航空成本約為0.042 $/(km?人)[22]，運(yùn)營(yíng)國(guó)際航線的航空成本約為0.081 $/(km?人)[19]。

4.1 機(jī)場(chǎng)容量固定

當(dāng)2樞紐機(jī)場(chǎng)容量為25架次/d時(shí)，可以求出運(yùn)營(yíng)商的最優(yōu)決策，如表1和表2 所示。

表1 樞紐機(jī)場(chǎng)容量為25架次/d時(shí)運(yùn)營(yíng)商最優(yōu)策略

表2 樞紐機(jī)場(chǎng)容量為25架次/d時(shí)運(yùn)營(yíng)商實(shí)際承運(yùn)人數(shù)

從表1可以看出：市場(chǎng)23的高鐵票價(jià)低于航空票價(jià)，南航和深航有相同的票價(jià)和頻率。但在市場(chǎng)12，由于馬航的機(jī)型比南航的大，因此，其最優(yōu)價(jià)格和頻率均比南航的低。

當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量為25架次/d時(shí)，運(yùn)營(yíng)商實(shí)際承運(yùn)人數(shù)與負(fù)效用如表2所示。其中：S表示自由換乘，U表示一票制。從表1可知：價(jià)格越高，負(fù)效用越高，出行的人數(shù)越少；在市場(chǎng)13中，雖然南航提供一票制的中轉(zhuǎn)聯(lián)程服務(wù)，并且高鐵與航空沒(méi)有實(shí)現(xiàn)聯(lián)運(yùn)，但乘客自行選擇高鐵和航空組合出行方式的人數(shù)還是要大于南航航空一票制承運(yùn)的人數(shù)。而且市場(chǎng)12中，由于馬航提供的價(jià)格(248.0 $)低于南航提供的價(jià)格(265.5 $)，因此，選擇高鐵與馬航組合出行的人數(shù)也大于高鐵和南航組合出行的人數(shù)。

此外，還可得到南航、深航、馬航和高鐵公司的利潤(rùn)分別為113 628.5，114 042.7，?2 003.1和464 085.9 $，該網(wǎng)絡(luò)的用戶盈余為3 420 266.8 $，社會(huì)效益為 4 108 881.7 $。在市場(chǎng)23中，馬航的利潤(rùn)為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際運(yùn)營(yíng)結(jié)果相同，主要原因是潛在需求比較少。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，潛在需求會(huì)增加，假設(shè)潛在需求人數(shù)是原來(lái)的7倍左右即1 700 左右時(shí)，馬航的利潤(rùn)為正，為2 002 $，并且其利潤(rùn)隨著需求人數(shù)的增加而 增加。

4.2 機(jī)場(chǎng)容量變化

隨著樞紐機(jī)場(chǎng)容量的改變，求解航空、高鐵均衡優(yōu)化模型可得到不同運(yùn)營(yíng)商的最優(yōu)決策。樞紐機(jī)場(chǎng)容量限制下不同市場(chǎng)中的票價(jià)、頻率優(yōu)化方案如圖2所示。市場(chǎng)12中，南航記為cz1，馬航記為mh1；市場(chǎng)13中，南航記為cz2；市場(chǎng)23中，南航記為cz3，深航記為zh3，高鐵記為hsr3。

從圖2(a)可以看出：隨著機(jī)場(chǎng)容量增加，各市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)商的票價(jià)都逐漸下降，其中市場(chǎng)13和市場(chǎng)23票價(jià)的下降速度比市場(chǎng)12的下降速度快；市場(chǎng)12中南航下降速度比馬航的下降速度慢，并且由于機(jī)型問(wèn)題，南航的定價(jià)比馬航的要高。

(a) 票價(jià)優(yōu)化方案；(b) 航班頻率優(yōu)化方案；(c) 實(shí)際承運(yùn)人數(shù)；(d) 實(shí)際利潤(rùn)

圖2(b)表明：隨著機(jī)場(chǎng)容量的增加，各市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)商的運(yùn)行頻率都增加，且在市場(chǎng)23中，南航和深航頻率增長(zhǎng)的趨勢(shì)大體一致。而在市場(chǎng)12中，南航的頻率增長(zhǎng)更快。

從圖2(c)可以看出：隨著容量的增大，通過(guò)航空出行的人數(shù)增加，而高鐵的人數(shù)減少。

從圖2(d)可以看出：高鐵的利潤(rùn)隨著樞紐機(jī)場(chǎng)容量的增大而減少；而國(guó)內(nèi)航空運(yùn)營(yíng)商的利潤(rùn)隨著機(jī)場(chǎng)容量的增大先增大后減少。

從圖2還可以看出：當(dāng)樞紐機(jī)場(chǎng)容量擴(kuò)大到45架次/d之后，各運(yùn)營(yíng)商的運(yùn)營(yíng)策略保持不變。

樞紐機(jī)場(chǎng)容量變化帶來(lái)社會(huì)效益的變化如圖3所示。從圖3可以計(jì)算出機(jī)場(chǎng)容量增加所帶來(lái)的邊際社會(huì)效益：當(dāng)廣州的機(jī)場(chǎng)容量為15 架/d時(shí)，每增加1架次會(huì)帶將近30 000 $的社會(huì)效益，其主要原因是由交通網(wǎng)絡(luò)中需求人數(shù)增加。但隨著容量的增加，邊際社會(huì)效益逐漸減小，當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量增加到45架次/d時(shí)，邊際效益為0 $；在容量分配時(shí)，可以將此邊際社會(huì)效益作為容量分配最優(yōu)時(shí)邊際機(jī)場(chǎng)容量的顯示價(jià)值，也可以作為機(jī)場(chǎng)容量擴(kuò)容時(shí)的極限最大值。

1—邊際社會(huì)效益；2—實(shí)際總需求

4.3 航段的關(guān)閉與開放

在樞紐網(wǎng)絡(luò)中，由于樞紐機(jī)場(chǎng)的容量管理，航空公司可能會(huì)開設(shè)或者關(guān)閉某些支線航段。該模型同樣可以求解不同機(jī)場(chǎng)容量下開設(shè)或關(guān)閉不同航段所取得的效益。稱前面討論的網(wǎng)絡(luò)為基本網(wǎng)絡(luò)。此外，本文還要分析另外2種情形：網(wǎng)絡(luò)1，即南航不運(yùn)行國(guó)際航線；網(wǎng)絡(luò)2，即南航不運(yùn)行國(guó)內(nèi)航線。

在網(wǎng)絡(luò)1中，南航不運(yùn)行國(guó)際航線，因此，市場(chǎng)12中，馬航處于壟斷地位。在網(wǎng)絡(luò)2中，南航不運(yùn)行國(guó)內(nèi)航線，因此，市場(chǎng)23中，只有深航和高鐵運(yùn)營(yíng)。求解模型(13)~(17)和模型(19)可得到社會(huì)效益和用戶盈余隨著機(jī)場(chǎng)容量變化的關(guān)系，如圖4所示。

(a) 南航利潤(rùn)；(b) 用戶盈余；(c) 社會(huì)效益

從圖4(a)可以看出：南航的主要利潤(rùn)來(lái)自國(guó)內(nèi)航線。在網(wǎng)絡(luò)2中，南航的利潤(rùn)會(huì)比其他2種情況低很多，當(dāng)樞紐機(jī)場(chǎng)容量為31架次/d時(shí)，南航的利潤(rùn)保持不變。在基本網(wǎng)絡(luò)和網(wǎng)絡(luò)1中，南航的利潤(rùn)隨著機(jī)場(chǎng)容量的增大先增大后減少，當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量為25架次/d時(shí)，南航的利潤(rùn)都達(dá)到最大值。對(duì)于基本網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量大于45 架次/d時(shí)，機(jī)場(chǎng)容量的擴(kuò)大對(duì)利潤(rùn)沒(méi)有影響。在網(wǎng)絡(luò)1中，當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量大于43架次/d時(shí)，機(jī)場(chǎng)容量的擴(kuò)大對(duì)利潤(rùn)沒(méi)有影響，且南航在網(wǎng)絡(luò)1中的利潤(rùn)大于基本網(wǎng)絡(luò)中的利潤(rùn)。

從圖4(b)可以看出：3種網(wǎng)絡(luò)中的用戶盈余都隨著機(jī)場(chǎng)容量的增加而增加，最后趨向于不變；當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量在29(點(diǎn)) 到34(點(diǎn))之間時(shí)，網(wǎng)絡(luò)2所帶來(lái)的用戶盈余大于其他2種網(wǎng)絡(luò)的用戶盈余；當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量大于34時(shí)，基本網(wǎng)絡(luò)中的用戶盈余比其他2種情況的大；當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量處于37(點(diǎn))附近時(shí)，網(wǎng)絡(luò)1中的用戶盈余大于網(wǎng)絡(luò)2時(shí)的用戶盈余。

從圖4(c)可以看出：基本網(wǎng)絡(luò)中的社會(huì)效益最大，其次是網(wǎng)絡(luò)1，再其次是網(wǎng)絡(luò)2。

5 結(jié)論

1) 考慮機(jī)場(chǎng)容量限制和交通出行者的出行選擇行為，建立高鐵與航空均衡優(yōu)化模型并設(shè)計(jì)求解算法。該模型適用于分析競(jìng)爭(zhēng)情形下的高鐵與航空樞紐網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)決策問(wèn)題。

2) 機(jī)場(chǎng)容量的變化對(duì)運(yùn)營(yíng)商決策會(huì)產(chǎn)生影響。為了保持最優(yōu)利潤(rùn)，當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量為緊約束且小于某個(gè)值時(shí)，所有交通運(yùn)營(yíng)者的票價(jià)隨著機(jī)場(chǎng)容量的增大而降低；但當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量大于這個(gè)值即為松約束時(shí)，運(yùn)營(yíng)商會(huì)保持原有的運(yùn)營(yíng)策略。該機(jī)場(chǎng)容量可作為機(jī)場(chǎng)容量擴(kuò)建的極限參考值。

3) 當(dāng)機(jī)場(chǎng)容量一定時(shí)，航空運(yùn)營(yíng)商可以通過(guò)開放或者關(guān)閉某些航段來(lái)實(shí)現(xiàn)航空公司的利潤(rùn)最大化，或使得社會(huì)效益增加。

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(編輯 陳燦華)

Equilibrium optimization model of high-speed rail and airline in multi-modal hub network

ZHANG Jing1, 2, CHEN Zhiya1, HUANG Shuai3, GUO Xiao3, CHEN Weiya2

(1. School of Business, Central South University, Changsha 410083, China; 2. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 3. School of Mathematic and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China)

In view of airport capacity constraint in a multi-modal transportation hub network, a multinomial Logit model was used to describe the travelers’ selection about the travel modes, travel operators and the travel routes. A Nash equilibrium optimization model was presented for both high-speed rail (HSR) and airline operators to maximize their individual profits in a competitive environment. Utilizing the KKT condition of constraint optimization, an algorithm was designed based on the nonlinear complementary problem, and an empirical network was used to illustrate the applicability of the model and the rationality of the algorithm. The results show that the change of airport capacity has impact on the operators’ operative strategy and the travelers’ travel selection. Closing or opening certain flight segments can increase the profit of air carriers or make the social welfare rise. Furthermore, the marginal social welfare gain of airport capacity expansion can be calculated by the model, which can potentially serve as a benchmark indicator for airport expansion.

multi-modal hub network; Logit model; elastic demand; Nash equilibrium; nonlinear complementary problem

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.048

U115

A

1672?7207(2015)04?1544?09

2014?08?10；

2014?10?12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203162)；中國(guó)鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2013X008-A)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ3002)(Project (61203162) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2013X008-A) supported by Scientific Research and Development Program of China Railway Corporation; Project (13JJ3002) supported by t he National Science Foundation of Hunan Province)

陳維亞，博士，副教授，從事交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理研究；E-mail：wychen@csu.edu.cn