溫勇，楊光華，傅旭東，鐘志輝，姚捷

?

基于廣義位勢(shì)理論的巖土塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍詥栴}

溫勇1, 2, 3，楊光華1,2,3，傅旭東1，鐘志輝1，姚捷4

(1. 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北武漢，430072；2. 廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東廣州，510610；3. 廣東省巖土工程技術(shù)研究中心，廣東廣州，510610；4. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北武漢，430063)

基于廣義位勢(shì)理論提出的考慮擬彈性的彈塑性模型(擬彈性彈塑性模型)把總的塑性應(yīng)變分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分，這樣分解后建立的模型更為合理和簡(jiǎn)便，同時(shí)又可以解決巖土塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍缘膯栴}。研究結(jié)果表明：基于廣義位勢(shì)理論的擬彈性彈塑性模型的模擬效果較好，傳統(tǒng)的彈塑性模型只能反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻奈ㄒ恍裕鴶M彈性彈塑性模型則能夠同時(shí)反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻奈ㄒ恍?高應(yīng)力水平時(shí))和非唯一性(低應(yīng)力水平時(shí))，結(jié)果更符合實(shí)際，從而為解決塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍詥栴}提供了一種有效的方法。

廣義位勢(shì)理論；塑性應(yīng)變?cè)隽糠较?；非唯一性；擬彈性彈塑性模型

在傳統(tǒng)的塑性勢(shì)理論中，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虮患俣榫哂形ㄒ恍?，即與應(yīng)力增量無關(guān)，這一假設(shè)對(duì)于金屬材料的試驗(yàn)結(jié)果是符合的。但對(duì)于巖土材料，已有的研究表明[1?3]，其塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较虿粌H與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與應(yīng)力增量相關(guān)。更多的試驗(yàn)研究則認(rèn)為[4?6]，在應(yīng)力水平較低時(shí)，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c應(yīng)力增量方向相關(guān)，而當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)，則近似認(rèn)為與應(yīng)力增量方向無關(guān)或相關(guān)性較小。因此，傳統(tǒng)的塑性勢(shì)理論只能用于表達(dá)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚓哂形ㄒ恍缘那闆r，而現(xiàn)實(shí)的巖土材料暫且不說不同的土類，即使是同一種土，在不同的應(yīng)力水平下，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚨伎赡艽嬖谖ㄒ恍缘那闆r(高應(yīng)力水平時(shí))和非唯一性的情況(低應(yīng)力水平時(shí))。因此，更合理的理論應(yīng)該是不論塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚴欠裎ㄒ?，都能夠表述。楊光華等[3, 7?10]直接從數(shù)學(xué)原理出發(fā)，建立了土的本構(gòu)模型的廣義位勢(shì)理論，其特點(diǎn)是數(shù)學(xué)原理明確，物理假設(shè)少，未涉及傳統(tǒng)的塑性勢(shì)假設(shè)和Drucker塑性公設(shè)等，從而為研究巖土本構(gòu)模型提供了更為廣闊的理論基礎(chǔ)。為了解決傳統(tǒng)理論對(duì)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛎枋龅牟蛔?，基于廣義位勢(shì)理論提出考慮擬彈性變形的土體彈塑性本構(gòu)模型，其主要思想是把總的塑性應(yīng)變分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分；通過試驗(yàn)對(duì)該模型模擬塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍缘男ЧM(jìn)行檢驗(yàn)，力求為解決塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍詥栴}提供一個(gè)更好的模型。

1 傳統(tǒng)位勢(shì)理論的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛭ㄒ恍约僭O(shè)

為清楚地了解傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，可從一般的情況作探討，設(shè)主空間上塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量的一般關(guān)系為

式中：a為應(yīng)力總量或應(yīng)變總量或應(yīng)力路徑等的函數(shù)。

文獻(xiàn)[11]已對(duì)[]的特性從數(shù)學(xué)上進(jìn)行了探討，當(dāng)[]的秩為1時(shí)，則從數(shù)學(xué)矢量場(chǎng)理論可知，[]只有1個(gè)基向量，且存在1個(gè)三維矢量(123)和3個(gè)系數(shù)1，2，3，[]可以表示為

將式(2)代入式(1)有：

由式(3)可知：

由于(=1，2，3)為σ或的函數(shù)，則式(4)表示塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚺cdσ無關(guān)，即塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻奈ㄒ恍约僭O(shè)。這一假設(shè)從數(shù)學(xué)上來看：則相當(dāng)于假定了矩陣[]的秩為1，然而材料本構(gòu)關(guān)系矩陣[]的秩是否為1，應(yīng)取決于材料本身的力學(xué)特性，而不能人為假定。

若從?平面上分析，忽略Lode角和應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)等影響，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量的關(guān)系可表示為

式中：，，和為塑性系數(shù)；和分別為平均主應(yīng)力和廣義剪應(yīng)力；和分別為塑性體應(yīng)變和塑性剪應(yīng)變。

根據(jù)前面分析可知，則塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚓哂形ㄒ恍缘臄?shù)學(xué)條件為[3]

對(duì)于金屬材料，0，0，0，滿足式(6)；但對(duì)于土體材料[12]，例如硬化剪縮土，＞0，＜0，＞0 ，＞0，則?＞0，即不滿足塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚓哂形ㄒ恍缘臄?shù)學(xué)條件。因此，從數(shù)學(xué)角度來看，塑性應(yīng)變?cè)隽恳獓?yán)格滿足方向唯一性是困難的，沈珠江[12]較早也對(duì)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚓哂形ㄒ恍缘募僭O(shè)提出了疑問。

2 基于廣義位勢(shì)理論的巖土塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍詥栴}的研究

2.1 廣義位勢(shì)理論

廣義位勢(shì)理論把材料本構(gòu)模型的研究分為2個(gè)主要方面[3]。以應(yīng)力空間為例，一是主空間上的本構(gòu)方程：

二是由主空間到一般坐標(biāo)空間的數(shù)學(xué)變換，可采用廣義位勢(shì)理論的方法，當(dāng)假設(shè)的主方向與的主方向相同時(shí)，則有：

將式(9)代入式(8)，可得：

式(12)即為傳統(tǒng)的塑性位勢(shì)理論的公式?？梢钥闯觯瑐鹘y(tǒng)的塑性位勢(shì)理論只是廣義位勢(shì)理論的一個(gè)特例。

2.2 基于廣義位勢(shì)理論的擬彈性彈塑性模型

由以上分析可知：廣義位勢(shì)理論數(shù)學(xué)原理明確，物理假設(shè)少，未涉及傳統(tǒng)的塑性勢(shì)假設(shè)和Drucker塑性公設(shè)等，從而為研究巖土本構(gòu)模型提供了更為廣闊的理論基礎(chǔ)。針對(duì)傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論對(duì)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛎枋龅牟蛔?，基于廣義位勢(shì)理論提出考慮擬彈性變形的土體彈塑性本構(gòu)模型(即擬彈性彈塑性模型)，其主要思想是把總的塑性應(yīng)變分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分。這樣使符合彈性應(yīng)變的矩陣增大，改善了彈塑性矩陣的性質(zhì)，同時(shí)也符合內(nèi)在的力學(xué)機(jī)理，因而是一個(gè)較好的處理方法[13?14]。

按照這一方法，若從?平面上分析，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量的關(guān)系式可由式(5)變?yōu)椋?/p>

式中：pe和pe擬彈性參數(shù)；pp，，和pp為純塑性系數(shù)。

擬彈性塑性應(yīng)變部分假設(shè)符合廣義虎克定律：

純塑性應(yīng)變部分則為

純塑性系數(shù)pp，，和pp滿足塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛭ㄒ恍缘臄?shù)學(xué)條件式(6)。

以式(13)~(15)中的塑性系數(shù)，，和沒有進(jìn)行任何假設(shè)完全依據(jù)材料的客觀試驗(yàn)結(jié)果通過擬合而得到。為了方便計(jì)算，也可以假設(shè)塑性系數(shù)，，和滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，但此時(shí)模型并不完全符合土的變形特性，這時(shí)可以把關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則下的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值之間的差值部分歸并為擬彈性塑性部分進(jìn)行修正，并根據(jù)差值部分確定pe和pe，此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量的關(guān)系式可表示為

式(16)中的塑性系數(shù)，，和滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，可由鄧肯張模型中的切線模量t和切線泊松比t來表示[3]；也可以由類劍橋模型中的各向等壓固結(jié)壓縮指數(shù)、回彈指數(shù)及破壞常數(shù)來表示，例如，對(duì)于正常固結(jié)黏土，可表示為[15]

式中：=(?)/，一般情況下可取為1，也可通過常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)確定。

對(duì)于砂土或超固結(jié)黏土，姚仰平等[16]通過修改劍橋模型的硬化參數(shù)來反映剪脹，即在劍橋模型計(jì)算出的塑性應(yīng)變基礎(chǔ)上乘以進(jìn)行修正(d為特征狀態(tài)應(yīng)力比，對(duì)于正常固結(jié)黏土，=d)?；诖朔椒?，為了使類劍橋模型能夠反映砂土等材料的剪脹性，引入特征狀態(tài)應(yīng)力比d參數(shù)，此時(shí)塑性系數(shù)，，和可表示為[17]

這樣，由t和t或，，和d即可求得4個(gè)滿足傳統(tǒng)彈塑性理論的塑性系數(shù)，，和，即傳統(tǒng)的彈塑性關(guān)聯(lián)模型，再根據(jù)前面的“擬彈性分解”思想，從而得到相應(yīng)的擬彈性彈塑性模型。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文共進(jìn)行2個(gè)試驗(yàn)驗(yàn)證，首先將基于廣義位勢(shì)理論的擬彈性彈塑性模型、傳統(tǒng)的彈塑性理論模型與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證擬彈性彈塑性模型的合理性；在此基礎(chǔ)上，利用擬彈性彈塑性模型對(duì)塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蜻M(jìn)行模擬，檢驗(yàn)其反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍缘男Ч?/p>

3.1 擬彈性彈塑性模型的合理性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證擬彈性彈塑性模型的合理性，采用文獻(xiàn)[18]給出的砂土試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。選取類劍橋模型代表傳統(tǒng)的彈塑性理論模型，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

試驗(yàn)首先等向固結(jié)到196 kPa，然后進(jìn)行常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)。利用類劍橋模型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖1所示。

(a) 應(yīng)力比σ1/σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比；(b) 體積應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比1—類劍橋模型(傳統(tǒng)模型)；2—試驗(yàn)數(shù)據(jù)

由圖1可知：類劍橋模型可以反映砂土的剪脹性，但體應(yīng)變計(jì)算的后半段還有一點(diǎn)差距，根據(jù)2.2節(jié)的分析可知，此時(shí)可以考慮把類劍橋模型的計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)值之間的差值部分歸并為擬彈性塑性部分進(jìn)行修正，得到相應(yīng)的擬彈性彈塑性模型，其計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖2所示。

(a) 應(yīng)力比σ1/σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比；(b) 體積應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比1—類劍橋模型(傳統(tǒng)模型)；2—試驗(yàn)數(shù)據(jù)；3—擬彈性彈塑性模型(本文模型)

由圖2可知：通過增加擬彈性部分進(jìn)行修正后的模型(即擬彈性彈塑性模型)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，擬合效果得到了一定的改進(jìn)，從而在一定程度上說明了擬彈性彈塑性模型的合理性。

3.2 利用擬彈性彈塑性模型反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍?/p>

進(jìn)一步對(duì)擬彈性彈塑性模型模擬塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍缘男ЧM(jìn)行檢驗(yàn)。采用文獻(xiàn)[19?20]給出的上海重塑軟土試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)首先等向固結(jié)到196 kPa，然后進(jìn)行常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)。同樣選取類劍橋模型作為傳統(tǒng)的彈塑性理論模型，模型參數(shù)如表2所示。同理，按2.2節(jié)提出的方法，對(duì)類劍橋模型增加擬彈性部分進(jìn)行修正，得到擬彈性彈塑性模型，修正后的模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比如圖3所示。由圖3可知：擬彈性彈塑性模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

表2 模型參數(shù)

(a) 應(yīng)力比σ1/σ3與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比；(b) 體積應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線對(duì)比1—類劍橋模型(傳統(tǒng)模型)；2—試驗(yàn)數(shù)據(jù)；3—擬彈性彈塑性模型(本文模型)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诜从乘苄詰?yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍陨系男Ч趹?yīng)力路徑上選取幾個(gè)不同的應(yīng)力水平點(diǎn)，如圖4和表3所示。對(duì)于同一應(yīng)力點(diǎn)，假定施加的應(yīng)力增量大小相同，而應(yīng)力增量方向則不同(如圖5所示)，各應(yīng)力增量方向的角度分別為0°，45°，90°，112.5°和135°(逆時(shí)針方向)。

1—應(yīng)力路徑；2—破壞線

圖5 應(yīng)力增量方向示意圖

表3 用于計(jì)算塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻牟煌瑧?yīng)力水平點(diǎn)

分別利用類劍橋模型(傳統(tǒng)模型)和擬彈性彈塑性模型對(duì)其塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蜻M(jìn)行模擬，結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖6和圖7可知：采用類劍橋模型(傳統(tǒng)模型)模擬的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虮憩F(xiàn)為唯一性，而擬彈性彈塑性模型則能夠反映不同應(yīng)力增量方向下塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻淖兓?，即非唯一性。擬彈性彈塑性模型的模擬結(jié)果還表明，當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)(如點(diǎn))，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚪票憩F(xiàn)為唯一性，即與應(yīng)力增量方向無關(guān)；當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)(如點(diǎn)和點(diǎn))，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虮憩F(xiàn)為非唯一性，即與應(yīng)力增量方向有關(guān)，這與文獻(xiàn)[1,4?6]的試驗(yàn)結(jié)果一致，這表明擬彈性彈塑性模型能夠反映唯一性(高應(yīng)力水平時(shí))和非唯一性(低應(yīng)力水平時(shí))這一認(rèn)可的力學(xué)特性，更符合實(shí)際。

(a) 應(yīng)力點(diǎn)A的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较颍?b) 應(yīng)力點(diǎn)B的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较颍?c) 應(yīng)力點(diǎn)C的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较?/p>

圖7 不同應(yīng)力增量方向下的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较?擬彈性彈塑性模型)

4 結(jié)論

1) 基于廣義位勢(shì)理論基礎(chǔ)上提出的考慮擬彈性的彈塑性模型，把總的塑性應(yīng)變分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分，為解決塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蚍俏ㄒ恍詥栴}提供了一種有效的方法。

2) 通過試驗(yàn)驗(yàn)證表明，基于廣義位勢(shì)理論的擬彈性彈塑性模型的模擬效果良好，傳統(tǒng)的彈塑性模型只能反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻奈ㄒ恍裕鴶M彈性彈塑性模型則能夠同時(shí)反映塑性應(yīng)變?cè)隽糠较虻奈ㄒ恍?高應(yīng)力水平)和非唯一性(低應(yīng)力水平)，結(jié)果更符合實(shí)際。

3) 針對(duì)傳統(tǒng)理論的局限性，本文利用廣義位勢(shì)理論探索了一種新的表達(dá)途徑，取得了一定的效果，但由于巖土材料力學(xué)特性的復(fù)雜性，尚有一些問題需進(jìn)一步深入研究。

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(編輯 楊幼平)

Problem on non-uniqueness of direction of plastic strain increment of geomaterials based on generalized potential theory

WEN Yong1, 2, 3, YANG Guanghua1,2,3, FU Xudong1, ZHONG Zhihui1, YAO Jie4

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 2. Guangdong Research Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China; 3. Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province, Guangzhou 510610, China; 4. China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd., Wuhan 430063, China)

An elastic-plastic model considering quasi-elastic deformation (quasi-elastic-plastic model) was proposed based on the generalized potential theory, of which the traditional plastic strain increment was decomposed into quasi-elastic part and pure-plastic part. The quasi-elastic part obeys elastic rule and the pure-plastic part obeys the traditional plasticity theory. The proposed model is more reasonable and convenient, and it can solve the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment of geomaterials. The results of test validation show that the simulation effect of the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory is good. The traditional elasto-plastic model can only reflect the uniqueness of the direction of plastic strain increment, while the quasi-elastic-plastic model can reflect the uniqueness (in high stress level) and the non-uniqueness (in low stress level) of the direction of plastic strain increment simultaneously. It proves that the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory conforms to reality better than the traditional elasto-plastic model and it provides an effective method for the study on the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment.

generalized potential theory; direction of plastic strain increment; non-uniqueness; quasi-elastic-plastic model

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.033

TU452

A

1672?7207(2015)04?1428?08

2014?04?13；

2014?06?16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378131, 51378403, 51174093)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2012210020203)(Projects (51378131, 51378403, 51174093) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2012210020203) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

溫勇，博士后，從事土的本構(gòu)理論研究；E-mail：wy876633@163.com