盛冬平，朱如鵬，靳廣虎，陸鳳霞，鮑和云

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雙排行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性行為

盛冬平，朱如鵬，靳廣虎，陸鳳霞，鮑和云

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京，210016)

建立雙排行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算模型，并針對(duì)其進(jìn)行靜態(tài)均載特性行為的理論研究。模型中考慮各級(jí)行星齒輪的偏心誤差，靜態(tài)傳遞誤差，時(shí)變嚙合剛度等參數(shù)，并利用傅里葉級(jí)數(shù)法求解系統(tǒng)載荷平衡方程。定性地研究行星輪的偏心誤差，齒圈的支撐剛度，行星輪的支撐剛度以及一級(jí)行星架的扭轉(zhuǎn)剛度等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)均載特性行為的影響，并據(jù)此得到一些理論分析結(jié)果。該研究延伸和擴(kuò)展了對(duì)雙排行星輪系均載特性行為的認(rèn)識(shí)，并為進(jìn)一步進(jìn)行動(dòng)力學(xué)均載行為的理論和實(shí)驗(yàn)研究形成一定的基礎(chǔ)，同時(shí)也為雙排行星輪系的設(shè)計(jì)提供一定的 參考。

雙排行星齒輪系；靜態(tài)均載；支撐剛度；偏心誤差；扭轉(zhuǎn)剛度

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有空間緊湊、高功率密度以及低噪聲等特性，使得其在實(shí)際應(yīng)用中比平行軸傳動(dòng)系統(tǒng)具有更廣泛的應(yīng)用前景。行星輪系包含多個(gè)行星輪以用來(lái)傳遞和分解作用在輪系中的某一構(gòu)件上(太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈或行星輪)的輸入扭矩，這極大地降低了單對(duì)齒輪嚙合對(duì)之間的嚙合力，同時(shí)也有效地減少了空間的占用。然而，由于系統(tǒng)存在制造誤差、安裝誤差以及磨損等因素，導(dǎo)致作用在每個(gè)行星輪上的載荷分布不一致。有關(guān)于行星齒輪傳動(dòng)的均載特性的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究，也提出了很多新的模型和方法，有些已經(jīng)得到論證，并應(yīng)用于工程。Seager[1]提出利用一個(gè)簡(jiǎn)化的模型來(lái)證明浮動(dòng)的太陽(yáng)輪對(duì)具有3~6個(gè)行星輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載性能的重要性。Kahraman[2]構(gòu)建了一個(gè)行星齒輪系的動(dòng)力學(xué)模型，該模型可以用來(lái)設(shè)定具有任意個(gè)數(shù)的行星輪，以及任意可能的相應(yīng)的齒輪尺寸和公差帶，和固定或者浮動(dòng)的太陽(yáng)輪，同時(shí)針對(duì)其提到的相關(guān)變量進(jìn)行了有限的參數(shù)化研究。Kahraman[3]利用數(shù)學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)，再次研究了行星齒輪系統(tǒng)的均載特性，并且借助一個(gè)含有4個(gè)行星輪的實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證其數(shù)學(xué)模型。Bodas等[4]利用建立行星輪系的有限元模型來(lái)研究各種誤差對(duì)均載特性行為的影響，最后，他們根據(jù)各種誤差對(duì)均載特性的不同影響將其分為3個(gè)不同類別。Ligata等[5]在Kahraman[3]研究基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，但只是在他們的理論研究中增加了行星輪的個(gè)數(shù)以及扭矩等參數(shù)，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析獲得了一致。Ligata等[6]和Singh[7]提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的模型用來(lái)預(yù)測(cè)行星輪的均載特性。其他的一些理論研究包括Gu等[8]和Montestruc[9]都證實(shí)了之前的研究。最新的研究由 Boguski等[10]完成，他們提出一個(gè)新的方法來(lái)測(cè)量行星齒輪系中行星輪的均載和太陽(yáng)輪的徑向運(yùn)動(dòng)軌跡。一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者還針對(duì)行星輪彈性支撐軸進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，認(rèn)為彈性支撐軸可以改善行星輪系的均載性能。Hicks[11]提出一個(gè)新的方法來(lái)使行星輪獲得更低的支承剛度，即當(dāng)行星架是懸臂梁結(jié)構(gòu)時(shí)，行星輪的支承可以利用雙懸臂梁銷軸和套筒聯(lián)接的結(jié)構(gòu)來(lái)降低支承剛度。Fox等[12]進(jìn)一步擴(kuò)展了Hicks[11]的方法，他們?cè)阡N軸上加工了凹槽來(lái)進(jìn)一步降低行星輪的支承剛度，然而這種設(shè)計(jì)的代價(jià)是提高了銷軸的彎曲應(yīng)力。后來(lái)Fox等[13]在論文中討論了他們的設(shè)計(jì)，并用實(shí)驗(yàn)研究來(lái)證明他們的“彈性銷”設(shè)計(jì)極大地改善了均載性能，尤其是當(dāng)行星輪個(gè)數(shù)越多時(shí)效果越好。Montestruc[14]論證了這種設(shè)計(jì)，并且定量地分析了其優(yōu)點(diǎn)。國(guó)內(nèi)學(xué)者從事行星齒輪的均載特性的研究相對(duì)較晚，方宗德等[15]利用Fourier級(jí)數(shù)方法求解了2K?H型行星減速系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并計(jì)算了齒輪偏心誤差對(duì)齒輪載荷均勻性的影響。肖鐵英等[16]建立了NGW型行星齒輪結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型，并提出了當(dāng)量嚙合誤差和等效嚙合剛度的概念。袁茹等[17]定量地描述了不同支承剛度下功率在各行星輪間分配不均衡程度和嚙合動(dòng)載荷波動(dòng)程度。陸俊華等[18]建立了2K?H型行星傳動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算模型，從靜力學(xué)角度分析了系統(tǒng)的均載機(jī)理。葉福明等[19]建立了非等模數(shù)非等壓力角NGW型行星齒輪系的靜態(tài)均載特性的計(jì)算模型，得到一些理論研究結(jié)果。盡管國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量的關(guān)于行星輪系均載特性的研究，然而到目前為止，幾乎都是針對(duì)單排行星齒輪系，尚沒(méi)有涉及雙排行星輪系的建模和均載特性研究。為此，本文作者提出一個(gè)不考慮動(dòng)態(tài)效應(yīng)的關(guān)于雙排行星輪系的計(jì)算模型，系統(tǒng)并定性地分析了包括行星輪偏心誤差，支承剛度，內(nèi)齒圈的支撐剛度以及一級(jí)行星架的扭轉(zhuǎn)剛度等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)均載特性的影響，并由此得出一些理論結(jié)果。

1 雙排行星齒輪系統(tǒng)的建模

1.1 物理模型

雙排行星齒輪系統(tǒng)由兩排獨(dú)立的行星輪系組成，并由第1級(jí)行星架1和第2級(jí)太陽(yáng)輪2的輸入軸聯(lián)接在一起，兩排行星輪系的連接部件(后文稱為中間部件)具有一定的扭轉(zhuǎn)剛度c1s2，以用來(lái)傳遞動(dòng)力，如圖1所示。第1級(jí)的太陽(yáng)輪1可徑向浮動(dòng)，行星輪1i和2i由安裝在行星架上的銷軸和軸承來(lái)支承，其支承剛度分別為p1和p2。在一些典型的減速器結(jié)構(gòu)中，內(nèi)齒圈1和2為由長(zhǎng)薄壁圓筒支撐，具有一定的支撐剛度r1和r2，以獲得更好的均載特性。原動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)D作用在1級(jí)太陽(yáng)輪1上，外部負(fù)載L作用在2級(jí)行星架2的輸出軸上。

圖1 雙排行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力傳動(dòng)原理圖

考慮到第1級(jí)和第2級(jí)行星輪系間的共同特性，故可利用第1級(jí)行星齒輪系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明雙排行星齒輪系統(tǒng)的自由度，如圖2所示。內(nèi)齒圈存在彈性支撐，故認(rèn)為具有2個(gè)平動(dòng)自由度r1和r1，徑向浮動(dòng)的太陽(yáng)輪具有3個(gè)自由度，包括轉(zhuǎn)動(dòng)自由度s1、水平方向位移自由度s1和垂直方向位移自由度s1。行星輪也具有3個(gè)自由度，包括繞安裝銷軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度pi、沿著行星輪和太陽(yáng)輪中心連線方向的位移自由度pi和與之垂直的位移自由度pi。行星架由于安裝軸承對(duì)其在徑向位移的限制，使得其只有一轉(zhuǎn)動(dòng)自由度c1。另外，盡管第2級(jí)行星輪系的太陽(yáng)不具備徑向浮動(dòng)能力，但是同樣具有3個(gè)自由度，即s2，s2和s2?；谝陨戏治?，在第1級(jí)行星輪系有個(gè)行星輪和第2級(jí)行星輪系具有個(gè)行星輪的雙排行星齒輪系統(tǒng)中，共存在12+3(+)個(gè)廣義坐標(biāo)，如下式所示。

式中：i=1，2，…，N；j=1，2，…，M。

1.2 幾何關(guān)系

1.2.1 行星輪在嚙合線上的等效偏心誤差

為了便于研究，本文進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，假定所有齒輪為標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線直齒齒輪，不考慮變位系數(shù)的影響，忽略軸承的支承間隙和齒輪嚙合副的齒側(cè)間隙，同時(shí)認(rèn)為行星架的安裝和制造誤差均包含在行星輪的偏心誤差中[19]。圖3顯示了行星輪系中各齒輪的偏心誤差在太陽(yáng)輪和行星輪的嚙合線(外嚙合)以及行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在嚙合線(內(nèi)嚙合)上的等效誤差的幾何關(guān)系。由圖3(a)可以得到太陽(yáng)輪和行星輪分別在外嚙合線上的等效偏心誤差并可以表示為

式中：=1，2，…，；和分別為太陽(yáng)輪和行星輪在外嚙合線上的等效偏心誤差；為太陽(yáng)輪相對(duì)行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率且等于；為行星輪相對(duì)行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率且等于；為太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率；p和s分別為行星輪和太陽(yáng)輪的齒數(shù)；和分別為太陽(yáng)輪和行星輪偏心誤差的初始相位角；為齒輪壓力角。

(a) 太陽(yáng)輪和行星輪的偏心誤差在外嚙合線上等效誤差；(b) 行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在內(nèi)嚙合線上等效誤差

另外根據(jù)圖3(b)所描述的幾何關(guān)系，可以得到行星輪和內(nèi)齒圈的偏心誤差在內(nèi)嚙合線上的等效誤差和分別為

1.2.2 齒輪的平動(dòng)在嚙合線上的等效位移

由于太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈存在平動(dòng)位移，而此位移在一定程度上影響了嚙合副間的彈性嚙合力，故有必要將其分別投影到內(nèi)外嚙合線上獲得其在嚙合線上的等效位移，從而用于彈性嚙合力的計(jì)算。同樣地，取單排行星輪系為例來(lái)分析它們之間的幾何關(guān)系，根據(jù)圖4可以得到各齒輪在各自坐標(biāo)系中的平動(dòng)位移在相應(yīng)嚙合線上的等效位移如下：

(a) 太陽(yáng)輪的平動(dòng)在外嚙合線上的等效位移；(b) 行星輪的平動(dòng)在內(nèi)外嚙合線上的等效位移；(c) 行星輪的平動(dòng)在內(nèi)外嚙合線上的等效位移

1.3 彈性嚙合力

取單排行星輪系為例來(lái)計(jì)算輪系中內(nèi)外各嚙合副間的彈性嚙合力，可由如下公式得到：

式中：=1，2，…，；spi和rpi分別為太陽(yáng)輪和行星輪以及行星輪和內(nèi)齒圈之間的彈性嚙合力。spi()和rpi()分別為內(nèi)外嚙合線上的時(shí)變嚙合剛度，可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，為簡(jiǎn)化計(jì)算，此處只取一次基頻諧波項(xiàng)。spi和rpi分別為內(nèi)外嚙合線上的相對(duì)位移，如下式所示：

式中：=1，2，…，；s1和pi分別為太陽(yáng)輪和行星輪的基圓半徑；spi()和rpi()分別為在外嚙合和內(nèi)嚙合線上的時(shí)變綜合誤差；和為嚙合副間的靜態(tài)傳遞誤差[20?21]的幅值；和分別為靜態(tài)傳遞誤差的初始相位；為內(nèi)外嚙合副的嚙合齒頻，并可以證明其等于。

1.4 系統(tǒng)載荷平衡方程

根據(jù)如上分析且在不考慮動(dòng)態(tài)效應(yīng)的情況下，可以推導(dǎo)出雙排行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)載荷平衡方程，如下式所示：

式中：=1，2，…，；=1，2，…，；和分別為第1級(jí)和第2級(jí)行星輪系的行星輪的支承剛度；r1和r2分別為第1級(jí)和第2級(jí)輪系內(nèi)齒圈的支撐剛度；為中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度；s2為第2級(jí)輪系中太陽(yáng)輪的支承剛度；c1和c2分別為第1級(jí)和第2級(jí)的行星架的等效半徑；s1和s2分別為第1級(jí)和第2級(jí)的太陽(yáng)輪的基圓半徑；和分別為第1級(jí)和第2級(jí)中第個(gè)和第個(gè)行星輪的基圓半徑；和分別為第1級(jí)行星輪系中第個(gè)行星輪在內(nèi)外嚙合線上的彈性嚙合力；和分別為第2級(jí)行星輪系中第個(gè)行星輪在內(nèi)外嚙合線上的彈性嚙合力；D和L分別為系統(tǒng)的輸入扭矩和負(fù)載扭矩，可通過(guò)系統(tǒng)的輸入功率和輸入轉(zhuǎn)速求得。

2 雙排行星輪系的靜態(tài)均載特性的參數(shù)研究

為了從實(shí)際應(yīng)用的角度來(lái)分析支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)雙排行星輪系的靜態(tài)均載特性的影響，本文從一個(gè)真實(shí)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中提取出相關(guān)參數(shù)，如表1所示。另外由于輸入和輸出扭矩的波動(dòng)取決于原動(dòng)機(jī)和負(fù)載，很難消除和測(cè)量，因此本文忽略了它們的波動(dòng)量。方程(6)的解可以通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)法[15]求得，該方法是將系統(tǒng)平衡方程的剛度矩陣、阻尼矩陣和解向量進(jìn)行定?；?，并略去二階小量，最后利用利用線性疊加原理獲得系統(tǒng)的解向量。

表1 雙排行星齒輪系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

將方程(6)的解向量代入式(4)，可以得到各級(jí)輪系中行星輪在外嚙合副間的嚙合力和，結(jié)合兩級(jí)行星輪系的輸入扭矩1和2，可以得到各級(jí)輪系中單個(gè)行星輪的均載系數(shù)和為

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

最后可以通過(guò)下式分別得到第1級(jí)和第2級(jí)行星齒輪系統(tǒng)的靜態(tài)均載系數(shù)[18?19]和：

式中：=1，2，…，；=1，2，…，。

2.1 行星輪的偏心誤差對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響

圖5顯示了當(dāng)系統(tǒng)在一組確定的參數(shù)下，且相對(duì)阻尼比=0.03和輸入轉(zhuǎn)速=3 000 r/min，第1級(jí)和第2級(jí)行星輪的偏心誤差在0~80 μm范圍內(nèi)單獨(dú)變化時(shí)分別對(duì)第1級(jí)和第2級(jí)行星輪系均載系數(shù)的影響。從圖5(a)可以看出：當(dāng)?shù)?級(jí)行星輪的偏心誤差逐漸增加時(shí)，第1級(jí)輪系的均載系數(shù)近似線性地增加了近3%，而第2級(jí)輪系的均載系數(shù)幾乎保持不變，說(shuō)明第1級(jí)行星輪偏心誤差對(duì)第2級(jí)輪系均載的影響可以忽略不計(jì)。另外，從圖5(b)可以看出：隨著第2級(jí)行星輪偏心誤差的增長(zhǎng)，第1級(jí)輪系的均載系數(shù)近似線性增長(zhǎng)了3%，而第2級(jí)輪系的均載系數(shù)則非線性地增長(zhǎng)了35%，這表明兩級(jí)輪系之間由于第2級(jí)行星輪的偏心誤差相關(guān)的耦合項(xiàng)產(chǎn)生了一定的耦合作用。比較圖5(a)和5(b)可以看出：在雙排行星輪系的傳動(dòng)系統(tǒng)中，第2級(jí)行星輪的偏心誤差對(duì)系統(tǒng)的均載特性影響較大。同時(shí)可以判斷出，與第1級(jí)行星輪偏心誤差對(duì)其自身均載的影響相比，均載系數(shù)對(duì)第2級(jí)行星輪的偏心誤差具有更高的靈敏度。

(a) 第1級(jí)行星輪偏心誤差單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級(jí)行星輪偏心誤差單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)

2.2 內(nèi)齒圈的支撐剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響

根據(jù)現(xiàn)有關(guān)于2K?H型行星輪系的均載特性方面的文獻(xiàn)來(lái)看，幾乎所有的計(jì)算模型都將內(nèi)齒圈完全固定，不考慮其支撐變形所帶來(lái)的影響。然而在一些實(shí)際應(yīng)用中，內(nèi)齒圈由長(zhǎng)薄壁圓柱體支撐，帶有一定的彈性，這種設(shè)計(jì)被認(rèn)為對(duì)系統(tǒng)的均載性能有一定的改進(jìn)作用，盡管這種作用到目前為止還沒(méi)有在理論和實(shí)驗(yàn)中證實(shí)過(guò)。為了在理論上驗(yàn)證這種彈性支撐齒圈的設(shè)計(jì)對(duì)改善均載性能的具體影響，本文通過(guò)一個(gè)實(shí)際算例來(lái)說(shuō)明其作用。圖6顯示了系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速= 3 000 r/min和相對(duì)阻尼比=0.03的情況下，系統(tǒng)均載系數(shù)隨著各級(jí)齒圈支撐剛度單獨(dú)變化時(shí)的曲線。從 圖6(a)可以看出：當(dāng)?shù)?級(jí)齒圈的支撐剛度從100 MN/m到1 000 MN/m逐漸增加時(shí)，第1級(jí)輪系的均載系數(shù)增加了2%左右，而第2級(jí)輪系的均載系數(shù)幾乎沒(méi)有變化。另外，從圖6(b)可以看出：隨著第2級(jí)齒圈的支撐剛度的增長(zhǎng)，第1級(jí)輪系的均載系數(shù)同樣幾乎沒(méi)有變化，而第2級(jí)輪系的均載系數(shù)則大幅增長(zhǎng)了15%左右。以上實(shí)例分析從理論上證明了彈性支撐齒圈的設(shè)計(jì)的確可以優(yōu)化行星輪系的均載性能。另外通過(guò)比較圖5和圖6，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)，即第2級(jí)輪系的參數(shù)(包括行星輪的偏心誤差和齒圈的支撐剛度)跟第一級(jí)輪系的參數(shù)相比，其對(duì)均載系能的影響更大，靈敏度也更高。經(jīng)過(guò)初步研究，這可能是由于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)所導(dǎo)致，如第1級(jí)和第2級(jí)行星輪的個(gè)數(shù)的不同，以及各級(jí)相對(duì)應(yīng)的行星輪、太陽(yáng)輪，內(nèi)齒圈的齒數(shù)和模數(shù)的不同均可能導(dǎo)致該現(xiàn)象，最終結(jié)論還需要通過(guò)更多的計(jì)算實(shí)例來(lái)進(jìn)行對(duì)比分析得到。

(a) 第1級(jí)內(nèi)齒圈支撐剛度單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級(jí)內(nèi)齒圈支撐剛度單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)

2.3 行星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響

圖7顯示了系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速為3 000 r/min以及低阻尼=0.03工況下運(yùn)行時(shí)，當(dāng)?shù)?級(jí)和第2級(jí)行星輪的支承剛度從100 MN/m到500 MN/m之間單獨(dú)變化時(shí)系統(tǒng)各級(jí)輪系的均載系數(shù)的變化曲線。從圖7(a)可知：隨著第1級(jí)行星輪支撐剛度的增加，第1級(jí)輪系的均載系數(shù)近似線性地增加20%，而第2級(jí)輪系的均載系數(shù)幾乎沒(méi)有變化。但是從圖7(b)可以看出：隨著第2級(jí)行星輪的支承剛度的增長(zhǎng)，第2級(jí)輪系的均載系數(shù)則呈現(xiàn)非線性的增長(zhǎng)15%，且第1級(jí)輪系的均載系數(shù)也隨之增長(zhǎng)8%，這說(shuō)明兩級(jí)行星輪系之間由于第2級(jí)行星輪的支承剛度的影響而存在一定的耦合作用。從圖7(a)和7(b)可以看出：各級(jí)行星輪的支承剛度對(duì)其所歸屬的行星輪系的均載性能都有著顯著的影響。另外，盡管在一些具體參數(shù)未知的情況下，文中2.1和2.3節(jié)的計(jì)算和分析結(jié)果跟現(xiàn)有的關(guān)于單對(duì)行星輪系的均載特性的理論和實(shí)驗(yàn)研究具有較好的一致性[17, 22?25]，同時(shí)這也證明了雙排行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型的正確性。需要注意的是，雖然從2.2節(jié)和2.3節(jié)的分析可知，降低內(nèi)齒圈和行星輪的支承剛度有利于系統(tǒng)均載性能，然而過(guò)度提高均載性能將影響結(jié)構(gòu)本身強(qiáng)度和壽命，這需要在設(shè)計(jì)的過(guò)程中綜合考慮行星輪系的各項(xiàng)指標(biāo)，國(guó)外已經(jīng)有多個(gè)針對(duì)行星輪支承結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)來(lái)討論如何改進(jìn)設(shè)計(jì)來(lái)降低銷軸的支承剛度以獲得更優(yōu)的均載性能[11?14]。

(a) 第1級(jí)行星輪支承剛度單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)；(b) 第2級(jí)行星輪支承剛度單獨(dú)變化時(shí)第1級(jí)和第2級(jí)輪系的均載系數(shù)

2.4 中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響

中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)兩級(jí)行星輪系的靜態(tài)均載特性有著重要意義。如圖8所示，系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速= 3 000 r/min，相對(duì)阻尼比=0.03的工況下，隨著扭轉(zhuǎn)剛度從20 MN?m/rad增長(zhǎng)到80 MN?m/rad，第1級(jí)行星輪系的均載系數(shù)以緩慢的速度并單調(diào)地降低了1%左右，而第2級(jí)行星輪系的均載系數(shù)則單調(diào)地增長(zhǎng)了8%。可以明顯地看出中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)第1級(jí)行星輪系的均載系數(shù)影響較弱，而對(duì)第2級(jí)行星輪系的均載系數(shù)影響較大。另外，由于兩級(jí)行星輪系的均載系數(shù)的特性曲線具有不同的單調(diào)性(第1級(jí)輪系單調(diào)減小，第2級(jí)輪系單調(diào)增大)，這意味著必有一平衡點(diǎn)存在，且通過(guò)多個(gè)算例證明該平衡點(diǎn)是普遍存在的，并不僅僅限于某一特殊的參數(shù)條件，這意味著在實(shí)際的雙排行星齒輪系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，當(dāng)考慮扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)各級(jí)輪系的均載特性的影響時(shí)，對(duì)該平衡點(diǎn)的分析和控制顯得尤其重要。

1—第1級(jí)行星輪系；2—第2級(jí)行星輪系

3 結(jié)論

1) 建立了雙排行星輪系傳動(dòng)系統(tǒng)的靜力學(xué)均載計(jì)算模型，模型中考慮了時(shí)變嚙合剛度、行星輪支承剛度、中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度和靜態(tài)傳遞誤差等參數(shù)，并針對(duì)該模型進(jìn)行了靜態(tài)均載特性的參數(shù)研究。

2) 第1級(jí)和第2級(jí)輪系中的行星輪偏心誤差對(duì)系統(tǒng)的靜態(tài)均載特性有較大影響，且兩級(jí)行星輪系之間通過(guò)該參數(shù)存在一定的彈性耦合。

3) 從理論上證明了兩級(jí)輪系中內(nèi)齒圈的彈性支撐設(shè)計(jì)能夠改善系統(tǒng)的均載性能，且通過(guò)降低第2級(jí)內(nèi)齒圈的支撐剛度對(duì)改善靜態(tài)均載性能的貢獻(xiàn)更大。

4) 行星輪的支承剛度對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)均載特性有顯著的影響，且第2級(jí)行星輪的支承剛度對(duì)其均載的影響更明顯，其變化對(duì)均載系數(shù)也更敏感，同時(shí)兩級(jí)輪系之間通過(guò)該參數(shù)存在較弱的耦合效應(yīng)。

5) 中間部件的扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)第1級(jí)輪系的靜態(tài)均載特性影響較小，而對(duì)第2級(jí)輪系的均載影響則較大。第1級(jí)和第2級(jí)輪系的靜態(tài)均載特性曲線上的平衡點(diǎn)對(duì)雙排行星齒輪的設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

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Static load sharing behavior of double-row planetary gear train

SHENG Dongping, ZHU Rupeng, JIN Guanghu, LU Fengxia, BAO Heyun

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

A new model for analyzing the static load sharing characteristics of double-row planetary gear set was proposed, and planet’s eccentricity error, static transmission error, and time-varying meshing stiffness were taken into consideration. The equilibrium equations were determined by the method of Fourier series, and the behavior of static load sharing characteristics affected by the system parameters including gear eccentricity error, ring gear’s supporting stiffness, planet’s bearing stiffness and torsional stiffness of first stage carrier were investigated quantitatively. Theoretical analysis extends our current understanding of behavior of static load sharing characteristics, forms the basis of further theoretical and experimental research, and provides guidelines for the designing of the double-row planetary gear transmission system.

double-row planetary gear; static load sharing; supporting stiffness; eccentricity error; torsional stiffness

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.012

TH132

A

1672?7207(2015)10?3637?09

2015?02?22；

2015?05?17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375226)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20113218110017)；江蘇省高校優(yōu)秀學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PAPD)；江蘇省研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(CXZZ11_0199)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(NZ2013303，NZ2014201)(Project (51375226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (20113218110017) supported by the Doctoral Program Foundation of Institutions of Higher Education of China; Project (PAPD) supported by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions, China; Project (CXZZ11_0199) supported by the Funding of Jiangsu Innovation Program for Graduate Education, China; Projects (NZ2013303, NZ2014201) supported by the Fundamental Research Funds for the Central)

朱如鵬，博士，教授，從事齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究；E-mail：rpzhu@nuaa.edu.cn

(編輯 陳愛(ài)華)