魏良亞+韋莉

筆者有幸參加了2015年江蘇省高考數(shù)學(xué)閱卷工作，評改第l7題應(yīng)用題，從閱卷點來看該題全省平均分約為75分，問題難度不是很大，但得分率不高.一線教師都清楚大部分學(xué)生不喜歡應(yīng)用題，難一些的應(yīng)用題考試時學(xué)生甚至放棄不做.究其原因，主要是因為學(xué)生經(jīng)常遇到較難的應(yīng)用題，讀不懂、做不出，久了自然就產(chǎn)生了畏懼心理.今年江蘇應(yīng)用題主要考查函數(shù)模型、函數(shù)最值等幾個基礎(chǔ)知識點，該題的背景涉及公路交通布局，貼近生活，為考生所熟悉，數(shù)學(xué)建模簡單.從閱卷情況看，學(xué)生的錯誤五花八門，形態(tài)各異，本文試圖沿著學(xué)生外在的錯誤去探尋它們的形成原因，并給出教學(xué)建議.1試題再現(xiàn)及標準答案

題目某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和25千米.以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b（其中a，b為常數(shù)）模型.

（1）求a，b的值；

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.

標準答案：由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2.5）.

將其分別代人y=ax2+b，得a25+b=40，

a400+b=2.5，解得a=1000，

b=0.

（2）①由（1）知，y=1000x2（5≤x≤20），則點Ρ的坐標為t，1000t2，

設(shè)在點Ρ處的切線l交x，y軸分別于Α，Β點，y′=-2000x3，

則l的方程為y-1000t2=-2000t3（x-t），由此得A（3t2，0），B（0，3000t2）.

故f（t）=（3t2）2+（3000t2）2=32t2+4×106t4，t∈[5，20].

②設(shè)g（t）=t2+4×106t4，則g′（t）=2t-16×106t5.令g′（t）=0，解得t=102.

當t∈（5，102）時，g′（t）<0，g（t）是減函數(shù)；

當t∈（102，20）時，g′（t）>0，g（t）是增函數(shù)；

從而，當t=102時，函數(shù)g（t）有極小值，也是最小值，所以g（t）min=300，

此時f（t）min=153.

答：當t=102時，公路l的長度最短，最短長度為153千米.2錯解及錯因分析

錯因1數(shù)學(xué)閱讀能力差，基本概念模糊，導(dǎo)致題意理解錯誤.

第1小題中求a，b的值，很多考生將點M，N的坐標寫成（40，5），（2.5，20），從而導(dǎo)致求a，b的值出錯.錯誤的主要原因是學(xué)生對點坐標的概念理解不到位，將題意中的距離與坐標混淆.事實上點M到的l1（即y軸）的距離應(yīng)該是點M橫坐標的絕對值，點M到l2（即x軸）的距離應(yīng)該是點M縱坐標的絕對值.同樣，點N到l1（即y軸）的距離應(yīng)該是點N橫坐標的絕對值，點N到l2（即x軸）的距離應(yīng)該是點N縱坐標的絕對值，即點M，N的坐標為（5，40），（20，2.5）.

第2小題第1問中，求公路l長度的函數(shù)解析式f（t），首先必須求出切線l的方程，然后再求出其與坐標軸的交點，從而求出f（t）.解題時學(xué)生首先要知曉導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率，再結(jié)合切點的坐標求出含有參數(shù)t的直線l的方程.

第一種錯誤是，學(xué)生對題干信息“公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t”束手無策，主要是對導(dǎo)數(shù)概念的幾何本質(zhì)認識不清，不知道曲線在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是以該點為切點的切線的斜率，所以就不能正確地將描述幾何特征的文字語言“公路l與曲線C相切”轉(zhuǎn)化成可解決的數(shù)學(xué)語言，無法求出切線方程.

第二種錯誤是，許多考生在求得切線l的方程y-1000t2=-2000t3（x-t）后，直接將y換成f（t），化簡成f（t）=-2000t3（x-t）+1000t2后就結(jié)束了.誤認為含有t的表達式就是要求的函數(shù)解析式f（t），審題不清，答非所問.

這一類錯誤主要由于下面的兩方面原因所致：一是考生對一些基本的數(shù)學(xué)概念理解不透，從而無法正確應(yīng)用概念解題，就像一位棋手，如果他沒有搞清楚下棋的規(guī)則，就無法贏得下棋比賽一樣.二是部分考生的數(shù)學(xué)閱讀能力相對較差，不能將應(yīng)用題中的文字語言準確地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言.另外，考生將y直接換成f（t），是將問題中的“直線l的方程”和“線段的長度”這兩個簡單的概念混淆，說明沒有養(yǎng)成對自己的解題過程進行反思和利用自己的結(jié)果對過程進行推理驗證的習慣.

錯因2運算基本技能差，導(dǎo)致解題思路正確但過程錯誤.

第1小題，很多學(xué)生在得出方程組a25+b=40

a400+b=2.5后，不能正確地求解方程組，從而失分.第2小題第1問中，在求解切線y-1000t2=-2000t3（x-t）與坐標軸交點時，有部分考生不能正確求解出結(jié)果，從而導(dǎo)致線段長度的函數(shù)解析式f（t）不正確而失分.第2小題第2問中，運用導(dǎo)數(shù)的知識求解f（t）最值時，部分考生直接對f（t）=（3t2）2+（3000t2）2進行求導(dǎo)，而沒有將根號下面的式子單獨拿出處理，從而使求解過程復(fù)雜易錯，再加上對導(dǎo)數(shù)公式運用不熟練，這樣直接求導(dǎo)的不少考生沒有處理出正確的導(dǎo)函數(shù).可見考生缺少必要的化歸意識.事實上，文科考生也不要求掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.另外，在求解導(dǎo)數(shù)g′（t）=2t-16×106t5的極值點時，關(guān)于方程g′（t）=2t-16×106t5=0，很多考生求得的結(jié)果錯誤，如t=88×106、t=1002等根式運算、化簡錯誤導(dǎo)致失分.還有考生沒有化簡，如t=1068、t=68×106、t=320002、當然沒化簡不會扣分，這些都說明考生的基本運算和處理數(shù)據(jù)的能力還有所欠缺.

第2小題第2問有些考生直接應(yīng)用基本不等式g（t）=t2+4×106t4≥2t2·4×106t4，得出錯誤的結(jié)論.這主要是因為考生沒有考慮到基本不等式應(yīng)用條件中的“定值”.也有很多學(xué)生將f（t）=（3t2）2+（3000t2）2變形為9t28+9t28+9×106t4，對9t28+9t28+9×106t4應(yīng)用推廣的均值不等式進行求解，可能是沒搞清楚補充的推廣式，出現(xiàn)較多的錯誤，如9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥29t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥39t28·9t28·9×106t4、9t28+9t28+9×106t4≥239t28·9t28·9×106t4等錯誤，推廣的均值不等式a+b+c≥33abc是理科選修內(nèi)容，大部分考生是通過老師課堂補充而知道的，但似懂非懂，對式子的形式不是很熟悉，從而導(dǎo)致應(yīng)用時出現(xiàn)了各種錯誤.可見教師在課堂上補充超出課程標準要求的一些概念公式并非是明智之舉，不僅會給學(xué)生造成額外的負擔，更可怕的是學(xué)生應(yīng)用這些似懂非懂的知識解題會犯錯.3關(guān)于教學(xué)的建議

從整體的答卷情況來看，大部分考生應(yīng)用題出錯，不僅有其主觀原因，也反映出我們教學(xué)中存在的不足.筆者認為在日常教學(xué)過程中關(guān)注以下幾點，有助于提升考生解答應(yīng)用題的得分率.

31加強概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念往往具有較強的概括性，概念性知識的學(xué)習主要要求學(xué)生能夠理解概念的內(nèi)涵，從心理學(xué)的角度看就是要求學(xué)生將新的概念知識與大腦中原有知識體系建立聯(lián)系.基于建構(gòu)主義學(xué)習理論，對概念性知識的理解是學(xué)生在教師引導(dǎo)下自己主動建構(gòu)得來，不是教師以組織好的最佳方式直接傳輸給學(xué)生.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，概念本身應(yīng)該是概念課的思維結(jié)果，是學(xué)生要掌握概念，所以概念的生成要由學(xué)生自己完成，不能由教師直接呈現(xiàn).否則概念仍然是老師的而不是學(xué)生的.教師需要做的事就是設(shè)置恰當?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生思考概念的本質(zhì).明了概念提出的必要性和合理性.設(shè)法讓學(xué)生切實感知這個概念是我們已有知識系統(tǒng)的必要完善，從而使學(xué)生新學(xué)習的概念可以自然融入已有知識系統(tǒng).習得的知識只有融入到學(xué)生已有的知識體系中才能長久保持和適時提取應(yīng)用.需要指出的是課堂必須給學(xué)生逐步認識概念本質(zhì)、生成概念的時間，我們教師不必也不能人為地加速學(xué)生概念生成過程.可以說高中數(shù)學(xué)的教學(xué)一大部分是概念的教學(xué)，學(xué)生如果吃透概念的本質(zhì)，搭建好概念框架，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習必然會游刃有余.

3.2提升學(xué)生的基本能力

應(yīng)用題對學(xué)生的閱讀能力、探究能力、概括能力、運算能力等都提出了較高的要求.在這些基本能力中閱讀能力是求解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，也是我們學(xué)生特別欠缺的.所以，在日常的應(yīng)用題教學(xué)中要特別注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力.應(yīng)用題來自生活中的一些實際問題，而我們學(xué)生社會閱歷尚淺，對不少應(yīng)用題的背景難以理解，這就造成了他們無法讀懂題目，更談不上將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達式.因此，教師在應(yīng)用題教學(xué)中要加強對問題背景的分析梳理.另外，從本題的計算過程來看，很多考生的計算能力比較薄弱，這就要求我們在日常教學(xué)中加強對復(fù)雜的數(shù)值運算及含參數(shù)表達式的運算練習，在練習中總結(jié)經(jīng)驗、提高運算準確性，只有這樣學(xué)生才能在考場上穩(wěn)操勝券.

3.3注意解題規(guī)范

高考閱卷評分實行“按點評分”，考生答題時要特別注意表達準確、考慮周密、書寫規(guī)范，關(guān)鍵步驟清晰.這就要求我們教師在講解題目的過程中，要注重板書規(guī)范，表達科學(xué)準確.強調(diào)分步求解，避免因“會而不對，對而不全”而失分，要給出適當?shù)奈淖终f明，不能只列幾個式子或單純的結(jié)論，讓學(xué)生清楚需要寫出哪些必要的證明過程與演算過程，其中每一步驟按照評分標準都占多少分值，使解題步驟繁簡適當，在爭取更多答題時間的同時減少不必要的失分，從而有效提高數(shù)學(xué)成績.