課堂教學(xué)以“學(xué)為中心”，即以“學(xué)生為中心”，以“學(xué)生的學(xué)為中心”，強(qiáng)調(diào)教學(xué)中“學(xué)”的第一性，強(qiáng)調(diào)教育要承認(rèn)和重視學(xué)生個(gè)體差異對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)和效果的影響，強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)應(yīng)著力于讓每位學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)揮他們的主體性，挖掘每位學(xué)生最大的潛力，讓每位學(xué)生在求真、民主、合作、愉悅的良好學(xué)習(xí)氛圍中獲得預(yù)期的意義建構(gòu)、能力提升以及身心的健全發(fā)展.

一般地說，“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)至少有著四個(gè)顯著的特征：其一，問題開放.每個(gè)學(xué)生都是一個(gè)個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，都有自己不同的思維方式，教學(xué)應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)開放的問題，使不同思維層次的學(xué)生在課堂上都能積極地思維；其二，認(rèn)知主動(dòng).學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事情，任何人都代替不了，故而“學(xué)為中心”必須讓學(xué)生在課堂上主動(dòng)認(rèn)知，有極高的參與度；其三，思維多元.開放的問題，必然導(dǎo)致學(xué)生思維的多元，學(xué)生在解決問題的過程中見仁見智，相互啟發(fā)，發(fā)展思維；其四，建構(gòu)豐富.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和原理的同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法得到充分的感悟，情感、態(tài)度、價(jià)值觀也得到充分體驗(yàn)和發(fā)展.本文結(jié)合具體實(shí)例闡述，以與同行探討.1問題開放

問題是數(shù)學(xué)的心臟，離開問題，課堂教學(xué)無(wú)從談起.然而怎樣設(shè)計(jì)問題卻是大有學(xué)問，同樣的教材內(nèi)容和素材，不同的設(shè)計(jì)，其收效則完全不同.課堂是學(xué)生的課堂，問題設(shè)計(jì)當(dāng)圍繞“學(xué)為中心”，為學(xué)而設(shè)計(jì).學(xué)生大多思維層次不一，各自又有不同的“最近發(fā)展區(qū)”，因而，教師對(duì)問題的設(shè)計(jì)，要有一定的開放性，讓不同學(xué)生的思維相互碰撞和交融，真正使數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生學(xué)習(xí)和鍛煉數(shù)學(xué)思維的場(chǎng)所，感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的場(chǎng)所.

案例1函數(shù)的單調(diào)性.

高中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究分成兩個(gè)階段：第一階段是用運(yùn)算的性質(zhì)研究單調(diào)性，知道它的變化趨勢(shì)；第二階段是用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究單調(diào)性，知道它的變化快慢.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù).它體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法，這就是，加強(qiáng)數(shù)與形的結(jié)合，由直觀到抽象，由特殊到一般，由感性到理性，由定性描述到定量刻畫，首先借助于圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減變化的直觀特征，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)增減變化的數(shù)字特征，從而進(jìn)一步解析研究，數(shù)學(xué)刻畫.

基于對(duì)本節(jié)課教材內(nèi)容的理解，和其在研究函數(shù)性質(zhì)中的突出地位，筆者認(rèn)為在引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象特征這一環(huán)節(jié)中，可對(duì)問題進(jìn)行開放式設(shè)計(jì)，以給學(xué)生提供廣闊的思維空間.

如筆者曾設(shè)計(jì)：觀察下列函數(shù)圖象（教師用ppt給出函數(shù)f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x3，f（x）=x3-2x2-x+2，f（x）=-x的圖象），試分析每個(gè)圖象各自的特點(diǎn)，從中尋找它們的不同點(diǎn)和相同點(diǎn).

教學(xué)中，學(xué)生通過觀察，紛紛表達(dá)了各自所見，交流如下：

（1）函數(shù)f（x）=x2的圖象和f（x）=-x的圖象都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸；函數(shù)f（x）=x3的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn).

（2）函數(shù)f（x）=x+1，f（x）=x2，f（x）=x3，f（x）=-x的圖象與x軸都只有1個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)f（x）=x3-2x2-x+2的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn).

（3）函數(shù)f（x）=x+1，f（x）=x3的圖象都是上升的；函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x3-2x2-x+2，f（x）=-x的圖象有時(shí)上升，有時(shí)下降.

（4）函數(shù)f（x）=x+1和f（x）=x3的值隨著x的增大而增大；函數(shù)f（x）=x2的值先隨著x的增大而減小，再隨著x的增大而增大；函數(shù)f（x）=x3-2x2-x+2的值先是隨著x的增大而增大，接著隨著x的增大而減小，最后隨著x的增大而增大；函數(shù)f（x）=-x的值先隨著x的增大而增大，再隨著x的增大而減小.

……

學(xué)生從不同的視角對(duì)每個(gè)圖象的特點(diǎn)從整體到局部，從宏觀到微觀進(jìn)行了分析和表達(dá)，對(duì)以上所見之（1）、（2）雖不是本節(jié)課研究函數(shù)單調(diào)性的主要內(nèi)容，但為后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性埋下了伏筆.筆者對(duì)學(xué)生細(xì)密的觀察和分析予以了積極的肯定，同時(shí)選擇學(xué)生觀察所見之（3）開始本節(jié)課的教學(xué).

在平時(shí)的教學(xué)中，不少教師常常是給出幾個(gè)函數(shù)圖象后，讓學(xué)生觀察每個(gè)圖象的變化趨勢(shì)，以此開始對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)，問題指向單一，問題素材價(jià)值未充分挖掘，不同思維層次的學(xué)生難以有不同的展示，問題只為“教”著想，未為“學(xué)”服務(wù).2認(rèn)知主動(dòng)

“學(xué)為中心”的課堂，學(xué)生認(rèn)知主動(dòng)，參與度強(qiáng)，不同思維層次的學(xué)生都能保持一種持久、亢奮的學(xué)習(xí)狀態(tài).當(dāng)然，這要求教師在課堂教學(xué)中始終突出以學(xué)為本，站在學(xué)生的背后，面對(duì)一個(gè)問題讓學(xué)生先思、先說，展示他（她）的認(rèn)知成果.

案例2一元二次不等式及其解法（選自人教版A版必修5）.

本節(jié)課的主要內(nèi)容是一元二次不等式及其解法.教材圍繞一元二次不等式有關(guān)概念的形成過程及一元二次不等式的解法，教材按照“經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程——通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系——對(duì)于給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖”的邏輯順序展開，著重研究了一元二次不等式的解與二次函數(shù)、一元二次方程的密切關(guān)聯(lián).在日常教學(xué)中，不少教師按教材情境（上網(wǎng)計(jì)費(fèi)問題）得到不等式x2-5x≤0，然后講授一元二次不等式的概念，接著，就引導(dǎo)學(xué)生考察該不等式與二次函數(shù)y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的關(guān)系.課上，思維都被教師牽引著，學(xué)生難有主動(dòng)的學(xué).筆者認(rèn)為，在引導(dǎo)學(xué)生考察該不等式與二次函數(shù)y=x2-5x以及一元二次方程x2-5x=0的關(guān)系之前，應(yīng)提出問題，讓學(xué)生先嘗試求解.對(duì)該處的教學(xué)，筆者曾與學(xué)生有過這樣的一段對(duì)話：

教師：你能求解這個(gè)一元二次不等式嗎？請(qǐng)你動(dòng)筆試一試.

學(xué)生1：兩邊同除以x，得到x≤5，又因?yàn)閤≥0，所以0≤x≤5.

教師：兩邊同除以x，如果x=0呢？

學(xué)生1意識(shí)到了剛才求解的缺陷，補(bǔ)充道：分類吧，當(dāng)x>0時(shí)，兩邊同除以x，得到x≤5，故0

教師：很好！同學(xué)們將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次不等式來解，但在轉(zhuǎn)化的過程中要注意限制條件.還有別的思考嗎？

學(xué)生2：x2-5x≤0即x（x-5）≤0，從而可得x≥0，

x-5≤0，或x≤0，

x-5≥0，解得0≤x≤5.

教師：咦，運(yùn)用了有理數(shù)的法則，你真會(huì)思考！這實(shí)際上也是一種等價(jià)轉(zhuǎn)化.還有不同的想法嗎？

學(xué)生3：利用二次函數(shù)y=x2-5x的圖象求解，……

讓學(xué)生自己想出利用二次函數(shù)y=x2-5x的圖象求解是非常難得的，這需要教師在授課中有意識(shí)地給學(xué)生提供自主探究解法的空間和時(shí)間，課堂只有回歸學(xué)生的主體地位，他們的認(rèn)知才會(huì)主動(dòng)，思維才會(huì)積極地參與進(jìn)來，才會(huì)不時(shí)地回報(bào)給你“驚喜”.3思維多元

我們知道，每個(gè)學(xué)生都有自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累，都有自己的思維方式和解決問題的策略，只有學(xué)生真正建構(gòu)起自己的理解時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是富有成效的.“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂就要重視學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維自由“馳騁”的機(jī)會(huì)，一個(gè)有益的做法就是讓學(xué)生編題，學(xué)生會(huì)編題就意味著對(duì)知識(shí)有了比較深刻的理解和掌握.筆者在函數(shù)的復(fù)習(xí)課中曾設(shè)計(jì)過這樣一個(gè)問題：已知函數(shù)f（x）=xx-6，看看我們可以研究哪些問題？

筆者給學(xué)生比較充分的思考時(shí)間，學(xué)生見仁見智，編出了如下問題，筆者整理如下（部分）：

（1）畫出函數(shù)f（x）=xx-6的圖象；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值；

（4）求f（x）在區(qū)間[a，a+4]（a∈R）上的最大值；

（5）若f（x）在區(qū)間[a，a+4]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（6）若f（x）在區(qū)間（a，a+4）上既有最大值又有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（7）若f（x）在[0，a]上的值域?yàn)閇0，9]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（8）若方程f（x）=m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（9）若f（x）≤0在區(qū)間[a，a+4]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

學(xué)生思維活躍，所編的不少問題很有思維含量，且大多用到數(shù)形結(jié)合的思想.確實(shí)，把握了函數(shù)的圖象就把握了函數(shù)的整體情況.事實(shí)上，圍繞函數(shù)圖象，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生編出許多諸如此類的問題.4建構(gòu)豐富

“學(xué)為中心”的課堂教學(xué)應(yīng)多給學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的機(jī)會(huì)，讓課堂更多地“充盈”學(xué)生的聲音，在相互交流和表達(dá)的過程中，建構(gòu)知識(shí)，豐富思想和方法.如筆者在21合情推理與演繹推理（人教版A版選修2-2教材）的教學(xué)時(shí)，就曾組織學(xué)生用自己的語(yǔ)言理解“歸納推理”和“演繹推理”概念，取得了很好的效果.

學(xué)生1：歸納推理，簡(jiǎn)單地說，就是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.或者說，是從特殊到一般的過程.而演繹推理，實(shí)際上是由一般到特殊的推理.

學(xué)生2：歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具.在演繹推理中，前提和結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的.因而，演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.

學(xué)生3：演繹推理實(shí)際上是命題由大到小的推理，而歸納推理實(shí)際上是命題由小到大的推理.

學(xué)生4：歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.演繹推理，它較少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用.

……

不同的學(xué)生從不同的角度對(duì)同一內(nèi)容進(jìn)行自己的理解，有利于全面地理解知識(shí)，而且不同學(xué)生的思維可以互補(bǔ)互惠.如有的同學(xué)把合情推理和演繹推理視作一種概念加以描述，有的同學(xué)把這兩種推理視作一種規(guī)則與方法，也有的同學(xué)把它看作是一種態(tài)度，一種對(duì)事物的探求的態(tài)度，看到一個(gè)問題，就想用推理找到規(guī)律，顯然思維層次各不相同，這對(duì)教師也極具啟發(fā).盡管學(xué)生的語(yǔ)言有時(shí)可能不大嚴(yán)密，但這恰恰體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的一種自我“內(nèi)化”，這比教師自己歸納有意義得多.鑒于此，課堂上教師要多一點(diǎn)：你是怎么想的？說說你的理解.多從學(xué)生角度出發(fā)組織教學(xué)活動(dòng)，而不只從教師角度出發(fā)完成教學(xué)流程.

需要指出的是，“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)更多地展現(xiàn)學(xué)生學(xué)的行為，而非教師教的表現(xiàn).要突出教學(xué)中“學(xué)”的第一性，教學(xué)過程應(yīng)依據(jù)學(xué)習(xí)過程來設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程和教學(xué)過程的有機(jī)統(tǒng)一，保證教學(xué)過程按照學(xué)生的學(xué)習(xí)特征開展，從而促進(jìn)學(xué)習(xí).為有機(jī)整合學(xué)生的需求、兼顧學(xué)生的差異、激發(fā)和維持學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、挖掘?qū)W生的潛能，教師在計(jì)劃和實(shí)施以“學(xué)為中心”的教學(xué)時(shí)要時(shí)刻反思自己的教學(xué)是否能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，學(xué)生能否根據(jù)預(yù)期主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中，這樣的活動(dòng)能否激發(fā)和挖掘?qū)W生的最大潛力，學(xué)生通過這樣的活動(dòng)是否能夠達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)等.教師不僅僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，更要關(guān)注學(xué)生作為一個(gè)“真實(shí)、完整的人”學(xué)習(xí)什么，如何學(xué)習(xí)，學(xué)得怎樣.作者簡(jiǎn)介陳柏良，男，碩士，浙江省特級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué)，著有《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》（華東師范大學(xué)出版社2013年1月出版）.