極限思想從數(shù)量上描述了變量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化趨勢(shì).函數(shù)圖象在間斷點(diǎn)附近或無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的變化趨勢(shì)等，均要用到極限思想來(lái)考慮，成為解答數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié).用這樣的策略來(lái)幫助學(xué)生理解極限思想，學(xué)生很容易接受，可以說(shuō)效果很滿意.

例1（2013年高考山東卷·文9理8）函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析因?yàn)楹瘮?shù)y=xcosx+sinx是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣可排除B.又當(dāng)x=π時(shí)，y=-π<0，這時(shí)可排除A.當(dāng)x是一個(gè)無(wú)限接近于0的正數(shù)時(shí)，y>0，故可排除C.因此選D.

評(píng)注（1）此題用極限思想來(lái)解答的亮點(diǎn)是，當(dāng)x是一個(gè)無(wú)限接近于0的正數(shù)時(shí)，y>0.（2）判斷函數(shù)的圖象問(wèn)題，往往要把函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）、最值、在某區(qū)間上的函數(shù)值的正負(fù)、特殊點(diǎn)和極限思想綜合起來(lái)考慮.（3）此題不用極限思想也易解答，y=xcosx+sinx是奇函數(shù)，否定B.當(dāng)00，否定C.當(dāng)π

例2（2012年高考山東卷·文10理9）函數(shù)y=cos6x2x-2-x的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以排除A.當(dāng)x→0+（x從y軸的右邊無(wú)限趨近于0）時(shí)，4x-1無(wú)限趨近于一個(gè)

很小的正數(shù)，如圖1，且（12）x無(wú)限趨近于1

（4x-1）·（12）x無(wú)限趨近于一個(gè)很小的正數(shù)圖1

1（4x-1）·（12）x無(wú)限趨近于一個(gè)很大的正數(shù)，即

1（4x-1）·（12）x→+∞.又12x-2-x=1（4x-1）（12）x，所以

12x-2-x無(wú)限趨近于一個(gè)很大的正數(shù)，即12x-2-x→+∞，又當(dāng)x→0+（x從y軸的右邊無(wú)限趨近于0）時(shí)，cos6x→+1（cos6x從y軸的右邊無(wú)限趨近于1）.綜上，12x-2-x·cos6x→+∞（12x-2-x·cos6x無(wú)限趨近于一個(gè)很大的數(shù)）.

當(dāng)x→+∞時(shí)，12x-2-x→0，而|cos6x|≤1，所以當(dāng)x→+∞時(shí)，12x-2-x·cos6x→0，即f（x）→0.故選D.

評(píng)注（1）此題雖然可用函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）、零點(diǎn)及函數(shù)值的正負(fù)來(lái)解答，但是由此不容易看出函數(shù)圖象的走向.（2）用函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)及函數(shù)值的正負(fù)可有如下解答：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此排除A.令y=0得cos6x=06x=π2+kπ（k∈Z）x=π12+kπ6（k∈Z）函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，所以可排除C.因?yàn)楹瘮?shù)y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為π12，又函數(shù)y=2x-2-x為增函數(shù)，所以當(dāng)00，cos6x>0，所以y=cos6x2x-2-x>0，由此排除B.故選D.

例3（2010年高考山東卷·文11理11）函數(shù)y=2x-x2的大致圖象是（）.

A.B.C.D.

分析由函數(shù)y=2x-x2可知2與4是其函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由此可排除B和C.又當(dāng)x→-∞（x從一個(gè)很大的負(fù)數(shù)向很小的負(fù)數(shù)無(wú)限趨近）時(shí)，2x→0，-x2→-∞2x+（-x2）→-∞，即2x-x2→-∞，即y→-∞，從而選A.

評(píng)注由函數(shù)y=2x-x2可知2與4是其函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由此可排除B和C.又f（-1）=2-1-（-1）2=-12<0，由此可排除D.故選A.這種解答思路看不出函數(shù)y=2x-x2的圖象的走向.

例4（2009年高考山東卷·文6理6）函數(shù)y=ex+e-xex-e-x的圖象大致為（）.

A.B.C.D.

分析若使函數(shù)有意義，必須使ex-e-x≠0x≠0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，由此可排除C和D.又因?yàn)閥=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，所以當(dāng)x→0+（x從y軸的

右邊無(wú)限趨近于一個(gè)很小的正數(shù)）時(shí)，e2x-1

趨近于一個(gè)很小的正數(shù)，如圖2圖2

2e2x-1→+∞1+2e2x-1→+∞，即y→+∞，

故選A.

評(píng)注（1）由函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}可排除C和D.當(dāng)x=12時(shí)，y=1+2e-1>2，由此可排除B.故選A.這種解法看不出函數(shù)圖象的走向.（2）也可從x→0-入手.

有些題目表面上看雖然與極限無(wú)關(guān)，但是若用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，靈活地運(yùn)用極限思想來(lái)思考，往往可避免復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程和解題方法，降低解題難度.極限思想也是一種探索解題思路或切入點(diǎn)的有效武器，在解題過(guò)程中有良好的導(dǎo)向作用.

極限思想的精髓是逼近、趨近、無(wú)限接近.利用這種變化趨勢(shì)，我們可以更形象、更直觀、更細(xì)致地認(rèn)識(shí)函數(shù)的圖象，由此也就更深刻地認(rèn)識(shí)了函數(shù)的性質(zhì).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)該予以足夠重視.作者簡(jiǎn)介武增明，男，1965年5月生，云南易門(mén)人，中學(xué)高級(jí)教師，玉溪市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，玉溪市勞模.在省級(jí)及其以上數(shù)學(xué)專業(yè)刊物上發(fā)表教育教學(xué)論文140余篇.主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究.