黃振

摘要：數(shù)學(xué)不但對(duì)社會(huì)的進(jìn)步提供的動(dòng)力，數(shù)學(xué)的美還給以人們享受。數(shù)學(xué)美不但有多種表現(xiàn)形式，如簡潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美等。數(shù)學(xué)美具有一定的價(jià)值，欣賞數(shù)字之美對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生素養(yǎng)，塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)觀具有重要作用。

關(guān)鍵詞：簡潔美；對(duì)稱美；統(tǒng)一美；形式美；隱藏美

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-9214（2015）11-0117-02

數(shù)學(xué)是利用符號(hào)語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩?duì)完美境界的追求。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，其實(shí)是沒有領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美，不懂得欣賞數(shù)學(xué)美或缺失欣賞數(shù)學(xué)美的能力。數(shù)學(xué)的美無處不在，只要我們細(xì)心觀察就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，就能欣賞數(shù)學(xué)的無窮魅力。

一、美與數(shù)學(xué)美的含義

美在哲學(xué)中定義為：美是具體事物的組成部分，是具體環(huán)境、現(xiàn)象、事情、行為、物體對(duì)人類的生存發(fā)展具有的特殊性能、正面意義和正價(jià)值，是人們?cè)诿芮薪佑|具體事物。受氣刺激和影響產(chǎn)生了愉悅和滿足的美好感覺后，從具體事物中分解和抽取出來的有別于丑的相對(duì)抽象事物和元實(shí)體。[1]

那數(shù)學(xué)美又是什么呢？數(shù)學(xué)思想大師羅素就曾這樣毫不掩飾地說過：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)，這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到?！盵2]

二、數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)

數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，關(guān)鍵是看你從何種角度去體會(huì)，去欣賞。就像一千個(gè)人眼里有一千個(gè)哈姆雷特一樣，每個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)美都有不同感受。數(shù)學(xué)從分支上看有幾何美、代數(shù)美、概率美等；從思想方法上看有抽象美、演繹美、劃歸美、類比美等；從一般美學(xué)上看有簡潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、形式美、隱藏美等等。這里主要談?wù)剶?shù)學(xué)的簡潔美、對(duì)稱美、統(tǒng)一美、形式美、隱藏美：

（一）簡潔美

簡潔的事物總是蘊(yùn)藏著美的真諦，化繁為簡本就是一種高超的本領(lǐng)。數(shù)學(xué)是一門追求簡潔的學(xué)科，簡潔性是數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著特征，反映的是數(shù)學(xué)的簡潔美。偉大的物理學(xué)家愛因斯坦曾經(jīng)說過：“美，本質(zhì)上終究是其簡單性?！苯裉煳覀儽娝苤氖M(jìn)制其簡潔性和優(yōu)美性就十分明顯，這就是數(shù)學(xué)的一種簡潔美。相比二進(jìn)制、十二進(jìn)制、十六進(jìn)制，十進(jìn)制的優(yōu)越性太大了，它簡化了我們的數(shù)學(xué)計(jì)算，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的快速發(fā)展。

著名而且使用非常廣泛的勾股定理是數(shù)學(xué)簡潔美的又一典范，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么有：a2+b2=c2。直角三角形有無數(shù)多個(gè)，其三邊長個(gè)不相同，但是這個(gè)定理卻將直角三角形的三條邊的關(guān)系表現(xiàn)的淋漓盡致，簡單明了，這就是數(shù)學(xué)的簡潔美。

（二）對(duì)稱美

對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)世界非常常見的一個(gè)美學(xué)性質(zhì)，沒有對(duì)稱性的世界是無序的、雜亂無章的，沒有對(duì)稱性的東西是孤寂的、呆板的，不具體有生命力。所以，對(duì)稱美是我們生活中經(jīng)常追求的一種美，比如對(duì)聯(lián)的對(duì)稱美、建筑物的對(duì)稱美等。

其實(shí)，數(shù)學(xué)中也蘊(yùn)含著對(duì)稱美。例如，在高等代數(shù)中，n階行列式把n·n個(gè)元素按n行n列排成一個(gè)正方形，這使人感到整齊和對(duì)稱。[3]數(shù)學(xué)的對(duì)稱美更多體現(xiàn)在圖形的對(duì)稱性上。從平面到立體，無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。在平面幾何中，圓可以說是對(duì)稱美的一個(gè)典型范例，因?yàn)閳A既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，沿過圓心的任意一條直線對(duì)折，圓的兩半都完全重合，這就是圓的對(duì)稱美。在立體幾何中，球可以說是對(duì)稱美的另一典范。此外函數(shù)的圖像也有對(duì)稱美，例如，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像是對(duì)稱的，而且可以是軸對(duì)稱又可以是中心對(duì)稱。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美是無處不在的，它給我們視覺上的享受，心靈上的撫慰，只要我們細(xì)心體會(huì)就能發(fā)現(xiàn)。

（三）統(tǒng)一美

統(tǒng)一性又可作同一性，追求同一性又是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征。統(tǒng)一性是指部分與部分、部分與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律所呈現(xiàn)出來的和諧一致[4]。數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。希而伯特曾說統(tǒng)一的目的就是：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。

從相同幾個(gè)數(shù)的連加到乘法，從相同幾個(gè)數(shù)的連乘到冪的運(yùn)算，這都體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一發(fā)展規(guī)律，也體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S={β/β=α+k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和，這就將任一與角α終邊相同的角統(tǒng)一起來了，這還包括正角與負(fù)角的統(tǒng)一。橢圓曲線、雙曲線、拋物線的第一定義是各不相同的，但是它們的第二定義又可以統(tǒng)一為：到定點(diǎn)距離與它到直線的距離之比是常數(shù)e的軌跡。當(dāng)01時(shí)，其軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，其軌跡為拋物線。雖然e的變化很小，但由于e的取值不同，直接就導(dǎo)致其形成的軌跡不同?？此坪唵蔚膃卻統(tǒng)一表示著三種不同的圓錐曲線。著名的數(shù)學(xué)家歐拉一生有很多數(shù)學(xué)成就，其中以歐拉命名的歐拉公式就有好幾條，例如，eix=cosx+isinx，e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，將復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)統(tǒng)一起來，它是復(fù)變函數(shù)論里的統(tǒng)一美。

（四）形式美

我國古代的數(shù)學(xué)可以說是星光璀璨，如數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的楊輝三角，楊輝三角是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和。自上而下，從左往右，楊輝三角無不體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的形式美。

再來看看下面的兩組式子：

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

123456×9+7=1111111

1234567×9+8=11111111

12345678×9+9=111111111

123456789×9+10=1111111111

1×1=111×11=121111×111=123211111×1111=123432111111×11111=123454321111111×111111=123456543211111111×1111111=123456765432111111111×11111111=123456787654321111111111×111111111=12345678987654321

兩組式子是數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9通過運(yùn)算符的簡單組合，但是其形式上美，讓人看了覺得是一種享受。如第二組的每一個(gè)等式左邊是兩個(gè)相同的由1組成的數(shù)，右邊的積則剛好是一個(gè)對(duì)稱的數(shù)，如123454321，這樣的形式難道不美嗎？

（五）隱藏美

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，簡單的符號(hào)語言或表達(dá)形式卻不失深刻的內(nèi)涵和意義。數(shù)學(xué)的美有時(shí)不是一眼就可以看出來了，它具有一定的隱藏性，需要我們進(jìn)行深入的挖掘，細(xì)細(xì)的品味方能體會(huì)其中的美。

楊輝三角中就具有隱藏的數(shù)學(xué)美，如果我們將楊輝三角以下方式排列，那么自左下到右上對(duì)角方向上的數(shù)字之和分別是1、1、2、3、5、8、13、…，這組數(shù)剛好就是斐波那契數(shù)列，其中的每一個(gè)數(shù)都是斐波那契數(shù)，即：

11235813…

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

斐波那契數(shù)列是一個(gè)有趣而神秘的數(shù)列，細(xì)心研究該數(shù)列，我們發(fā)現(xiàn)其背后隱藏著不少有趣的性質(zhì)。例如，將該數(shù)列的每一項(xiàng)都平方得到一組數(shù)，然后將這組數(shù)的前n（n∈2，3，4…）項(xiàng)相加，得到的和是兩個(gè)斐波那契數(shù)的乘積，即

1+1=2=2×1

1+1+4=6=2×3

1+1+4+9=15=3×5

1+1+4+9+25=40=5×8

1+1+4+9+25+64=104=8×13

……………………………………………

如果我們記斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)為an，將斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的前項(xiàng)比后項(xiàng)得到一個(gè)無窮分?jǐn)?shù)數(shù)列：11，12，23，35，58，813，…，an-1an，anan+1，…可以證明該無窮數(shù)列存在極限，其極限為limn→∞anan+1=5-12≈0.618。0.618通常稱為黃金分割比，這是美學(xué)上一個(gè)重要的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

楊輝三角中竟然隱藏著斐波那契數(shù)列，而看似簡單的斐波那契數(shù)列又蘊(yùn)含著如此多的美，這正好說明數(shù)學(xué)的美是有隱藏性的，需要我們用心去挖掘、去發(fā)現(xiàn)，去品味

三、數(shù)學(xué)美的價(jià)值

數(shù)學(xué)能給予我們什么？美國著名的數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家與應(yīng)用數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因曾經(jīng)說過一段話：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切”[5]。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生去挖掘和欣賞數(shù)學(xué)的美具有重要的作用：欣賞數(shù)學(xué)的美，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；欣賞數(shù)學(xué)的美，可以鍛煉學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；欣賞數(shù)學(xué)的美，可以陶冶情操，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì)；欣賞數(shù)學(xué)的美，可以更好地塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀。

四、總結(jié)

總之，數(shù)學(xué)世界是有趣的、美妙的，并不是枯燥無味的，數(shù)學(xué)的美是生動(dòng)的、活潑的、廣泛的，它存在于我們生活的方方面面，只要我們懷著一顆虔誠的心和一雙智慧的眼睛就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，就能欣賞數(shù)學(xué)的美，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的美給我們創(chuàng)作更多更好更高的價(jià)值，讓數(shù)學(xué)之美為我們服務(wù)。

（作者單位：閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1]陳浩.數(shù)學(xué)娛樂與數(shù)學(xué)教學(xué)[D]，中國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫社會(huì)科學(xué)2輯，2011（51）.

[2]羅素.我的哲學(xué)發(fā)展[M].北京：商務(wù)印書館，1982.

[3]張玉芳.淺談數(shù)學(xué)之美[J]，平原大學(xué)學(xué)報(bào)，1996（3）：53～54.

[4]張小寧.淺談數(shù)學(xué)之美[J]，科技資訊，2007：178.

[5]曹鵬，符方健，黃婷，羅自強(qiáng).淺析數(shù)學(xué)之美[J].教育教學(xué)論壇.2013（30）：120～121.endprint