丁晟，劉少軍，胡贇

?

直升機(jī)分扭傳動(dòng)直齒輪疲勞壽命評(píng)估方法

丁晟，劉少軍，胡贇

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

為得到直升機(jī)主減速器分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中關(guān)于直齒輪的疲勞壽命評(píng)估方法，在Lundberg?Palmgren疲勞壽命理論(L?P理論)和Hertz接觸理論的基礎(chǔ)上建立主動(dòng)輪單齒疲勞壽命評(píng)估模型。該模型所需參數(shù)主要與輪齒嚙合時(shí)的最大Hertz接觸應(yīng)力相關(guān)。為利用有限元分析軟件ANSYS求解此應(yīng)力，確定主動(dòng)輪單齒在嚙合區(qū)的各嚙合界點(diǎn)，并推導(dǎo)嚙合區(qū)上的載荷分布規(guī)律，得到基于載荷譜多工況作用下主動(dòng)輪的疲勞壽命評(píng)估方法，并針對(duì)某直升機(jī)在單工況作用下的直齒輪給出疲勞壽命評(píng)估算例。研究結(jié)果表明，該方法所得疲勞壽命估算值比試驗(yàn)值更加保守，是一種安全、有效的疲勞壽命估算方法。

直齒輪；疲勞壽命；Lundberg?Palmgren理論(L?P理論)；Hertz接觸理論；載荷分布

疲勞壽命分析是直升機(jī)研究的重要內(nèi)容，同時(shí)也是傳動(dòng)系統(tǒng)可靠性校核的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)。該指標(biāo)要求直升機(jī)的零部件具有設(shè)計(jì)要求的疲勞壽命，而且需以要求的置信度保證直升機(jī)在使用期內(nèi)發(fā)生疲勞損壞的概率極小。從20世紀(jì)40年代起，尤其是近30年來，各國(guó)圍繞直升機(jī)的疲勞壽命評(píng)估開展了大量研究，如美國(guó)在ART(advanced rotorcraft transmission)，RDS-21 (rotorcraft drive system for the 21 century)計(jì)劃以及NASA公布的相關(guān)文件中，都將傳動(dòng)系統(tǒng)的壽命列為關(guān)鍵技術(shù)[1?3]。然而，這些研究往往更多地關(guān)注傳動(dòng)系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命，對(duì)于傳動(dòng)系統(tǒng)中關(guān)鍵、重要部件的疲勞壽命研究較少，國(guó)內(nèi)在這方面的研究更是欠缺。事實(shí)上，以高周振動(dòng)疲勞為主的直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)關(guān)鍵、重要部件的特點(diǎn)是載荷復(fù)雜、結(jié)構(gòu)特殊、飛行狀態(tài)復(fù)雜多變，加之其多為單通道傳力的構(gòu)件，一旦在飛行中發(fā)生疲勞破壞往往導(dǎo)致災(zāi)難性事故，因而，有必要對(duì)直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中關(guān)鍵、重要部件的疲勞壽命進(jìn)行評(píng)估[4]。本文以直升機(jī)分扭傳動(dòng)系統(tǒng)中的直齒輪作為研究對(duì)象，考慮到其所處工況的多變性以及外加載荷的復(fù)雜性，其疲勞失效的機(jī)理與疲勞壽命的計(jì)算方法都與一般齒輪的不同，因而本文擬在基于Lundberg? Palmgren疲勞壽命理論和Hertz接觸理論的基礎(chǔ)上，建立直齒輪疲勞壽命評(píng)估模型，形成可靠的疲勞壽命評(píng)估方法。

1 分扭傳動(dòng)結(jié)構(gòu)

直升機(jī)主減速器中齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)[5]如圖1所示。整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)分為3級(jí)：第1級(jí)齒輪傳動(dòng)為斜面齒輪傳動(dòng)，通過斜面齒輪30與斜面齒輪34的嚙合傳動(dòng)將轉(zhuǎn)速方向從向變?yōu)橄?；?級(jí)齒輪傳動(dòng)為分扭構(gòu)型傳動(dòng)，通過直齒輪38與直齒輪42A和42D以及直齒輪40與直齒輪44B和44C的嚙合傳動(dòng)將功率分為4條路徑傳輸，避免了扭矩過大導(dǎo)致直齒輪過快疲勞失效問題；第3級(jí)齒輪傳動(dòng)為人字齒輪傳動(dòng)，通過人字齒輪48A，48B，48C和48D與人字齒輪32的嚙合傳動(dòng)將功率合一并輸出。

圖1 單分扭齒輪箱模塊示意圖

2 疲勞壽命評(píng)估方法

2.1 疲勞壽命評(píng)估理論

2.1.1 Lundberg?Palmgren疲勞壽命理論

Lundberg等針對(duì)軸承的疲勞壽命建立了數(shù)學(xué)分析模型[6]。該模型假定軸承疲勞失效源于接觸下表面由高應(yīng)力影響下軸承材料中應(yīng)力分布的不協(xié)調(diào)所引起的疲勞點(diǎn)蝕，對(duì)于生存概率、應(yīng)力影響因子和壽命三者之間有如下關(guān)系式：

式中：為生存概率；為高應(yīng)力影響區(qū)域的體積；為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)即壽命；G為Weibull斜率；和為材料指數(shù)；0為臨界應(yīng)力深度；為臨界應(yīng)力。

在此數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]認(rèn)為，基于疲勞失效原理的相似性，此模型同樣適用于對(duì)齒輪疲勞壽命的評(píng)估。因此，當(dāng)生存概率通常作為設(shè)計(jì)指標(biāo)既定時(shí)，式(1)左邊變?yōu)槌Ａ?，則應(yīng)力循環(huán)次數(shù)可以視為只與高應(yīng)力影響區(qū)域體積、臨界應(yīng)力深度0和臨界應(yīng)力相關(guān)的變量。式(1)變換后的比例關(guān)系式如下：

對(duì)于航空用AISI 9310鋼直齒輪，其Weibull斜率G以及材料指數(shù)和已由NASA給出通用值[7]，故下面著重探討高應(yīng)力影響區(qū)域體積、臨界應(yīng)力深度0和臨界應(yīng)力的轉(zhuǎn)化求解。

2.1.2 Hertz接觸理論

忽略齒輪嚙合時(shí)的相對(duì)滑動(dòng)及摩擦，其嚙合時(shí)的接觸可以近似看成Hertz線接觸[8]。對(duì)于材料相同的1對(duì)齒輪，其嚙合時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)、短半軸、表達(dá)式[9]如下：

式中：為齒寬；為外加載；0為與彈性模量有關(guān)的系數(shù)；為綜合曲率半徑。0和表達(dá)式如下：

式中：為彈性模量；1/為泊松比；和分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪曲率半徑，

1為主動(dòng)輪分度圓半徑；為主動(dòng)輪壓力角；1和2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪齒數(shù)。

對(duì)于航空用齒輪，其疲勞失效通常是由最大反向正交剪應(yīng)力引起，此最大反向正交剪應(yīng)力作用在距接觸表面下距離為0處，振幅在之間變動(dòng)。在Hertz線接觸理論中，應(yīng)力深度與接觸橢圓短半軸之間，振幅與最大Hertz接觸應(yīng)力max之間，外加負(fù)載與最大Hertz接觸應(yīng)力max之間有如下關(guān)系式：

式中：1為“單齒”嚙合區(qū)漸開線弧長(zhǎng)。

由式(3)，(6)和(7)可知：忽略輪齒固有屬性參數(shù)，高應(yīng)力影響區(qū)域體積、臨界應(yīng)力深度0和臨界應(yīng)力這3個(gè)著重探討的參數(shù)主要與最大Hertz接觸應(yīng)力相關(guān)。

此外，由于齒面接觸應(yīng)力為脈動(dòng)循環(huán)，需將最大Hertz接觸應(yīng)力通過Goodman公式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱循環(huán)的當(dāng)量應(yīng)力，其轉(zhuǎn)換公式如下[11]：

2.2 單齒在1個(gè)嚙合周期內(nèi)的載荷分布

疲勞壽命評(píng)估主要與最大Hertz接觸應(yīng)力max相關(guān)，本文擬通過有限元分析軟件ANSYS來實(shí)現(xiàn)其求解。在求解之前，需要確定輪齒在嚙合周期內(nèi)的載荷分布。

2.2.1 單齒嚙合內(nèi)界點(diǎn)和外界點(diǎn)的確定

AGMA 913-A98[12]給出了齒輪嚙合時(shí)內(nèi)界點(diǎn)和外界點(diǎn)的確定方法，如圖2所示。圖2中：點(diǎn)為齒廓嚙合起始點(diǎn)；點(diǎn)為齒廓嚙合終止點(diǎn)；點(diǎn)和點(diǎn)為單對(duì)齒嚙合的內(nèi)界點(diǎn)和外界點(diǎn)。

圖2 嚙合界點(diǎn)的確定

據(jù)此可知，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，各嚙合界點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

式中：r為齒輪基圓半徑；r為齒輪齒頂圓半徑；a為中心距；p為齒輪基節(jié)。

2.2.1 嚙合區(qū)上任一點(diǎn)法向力

對(duì)于齒輪單齒，沿實(shí)際嚙合區(qū)域載荷分布近似服從如下規(guī)律[13]：

式中：L和L為載荷分配系數(shù)，參考美國(guó)航空發(fā)動(dòng)機(jī)減速器齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法中的參數(shù)，選用，[13]；為嚙合起始點(diǎn)距齒頂弧長(zhǎng)；為嚙合內(nèi)界點(diǎn)距齒頂?shù)幕￠L(zhǎng)；為嚙合外界點(diǎn)距齒頂?shù)幕￠L(zhǎng)；為嚙合終止點(diǎn)距齒頂?shù)幕￠L(zhǎng)；為該點(diǎn)距齒頂弧長(zhǎng)；0為加載于齒頂時(shí)的法向力，

式中：為功率；為轉(zhuǎn)速。

2.2.2 嚙合區(qū)上任一點(diǎn)加載角

在直角坐標(biāo)系中，沿漸開線上加載力與加載角如圖3所示。

圖3 漸開線上加載力與加載角簡(jiǎn)圖

則嚙合線上任一點(diǎn)的加載角為

2.3 疲勞壽命評(píng)估模型

2.3.1 主動(dòng)輪單齒疲勞壽命評(píng)估模型

考慮到當(dāng)設(shè)計(jì)指標(biāo)生存概率為90%時(shí)，應(yīng)力循環(huán)次數(shù)即為主動(dòng)輪1個(gè)單齒的疲勞壽命10，聯(lián)立式(2)，(3)，(4)和(6)，并略去常量比值，由式(2)得到如下比例關(guān)系式：

引入材料系數(shù)G，式(15)變成

當(dāng)生存概率=90%時(shí)，據(jù)式(16)可得主動(dòng)輪單齒的疲勞壽命10。

2.3.2 主動(dòng)輪疲勞壽命評(píng)估模型

由式(1)可知有如下比例關(guān)系式：

由式(17)可知：對(duì)于同一研究對(duì)象，以90%生存概率下的疲勞壽命10作為基準(zhǔn)。生存概率有如下關(guān)系式：

根據(jù)獨(dú)立事件的基本概率理論，對(duì)于齒數(shù)為1的分扭傳動(dòng)主動(dòng)輪，其同時(shí)帶動(dòng)2對(duì)從動(dòng)輪，主動(dòng)輪生存概率S與主動(dòng)輪單齒生存概率的關(guān)系式如下：

對(duì)于主動(dòng)輪，當(dāng)主動(dòng)輪生存概率S為90%時(shí)，將式(19)代入式(18)有

當(dāng)生存概率S為90%時(shí)，由式(20)可得主動(dòng)輪的疲勞壽命L。

2.3.3 多工況下主動(dòng)輪疲勞壽命評(píng)估模型

直升機(jī)在實(shí)際飛行過程中具有不同的飛行狀態(tài)，各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的工況可以由載荷譜得到。齒輪所處工作環(huán)境復(fù)雜而多變，其在各工況綜合作用下的疲勞壽命如下：

3 疲勞壽命評(píng)估實(shí)例

3.1 主動(dòng)輪基本參數(shù)與所處工況

所研究直齒輪副基本參數(shù)及材料性能分別如表1和表2所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 材料性能

直升機(jī)飛行譜中含多種工況，分別對(duì)應(yīng)于正常飛行時(shí)不同的飛行狀態(tài)。本文為了方便說明和簡(jiǎn)化計(jì)算，只選取其中某一飛行狀態(tài)進(jìn)行研究，即以遠(yuǎn)航速度平飛側(cè)滑15°，質(zhì)量為“中2”時(shí)作為研究對(duì)象所處工況，其結(jié)果如表3所示。

表3 傳動(dòng)系統(tǒng)部分載荷譜

3.2 ANSYS求解最大Hertz接觸應(yīng)力

一個(gè)完整的平面單齒輪廓通常由齒頂曲線、工作齒廓、過渡曲線和齒底曲線這4部分組成。在這4部分曲線中，工作齒廓是輪齒嚙合區(qū)域，過渡曲線雖不參與齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)，但其對(duì)齒輪的應(yīng)力和變形影響較顯著，故有必要精確地作出工作齒廓和過渡曲線的實(shí)際齒廓。本文在ANSYS中采用APDL參數(shù)化語言對(duì)主動(dòng)輪單齒進(jìn)行建模。

為了求解主動(dòng)輪單齒在1個(gè)嚙合周期內(nèi)的最大Hertz接觸應(yīng)力，在ANSYS中采用SOLID185作為單元類型，它為八節(jié)點(diǎn)低階六面體單元，對(duì)單齒模型生成四節(jié)點(diǎn)的四邊形映射網(wǎng)格，并最終經(jīng)體掃略生成三維實(shí)體網(wǎng)格。

完成網(wǎng)格劃分后，需對(duì)模型進(jìn)行位移約束和施加載荷。假定主動(dòng)輪輪齒不動(dòng)，通過外加負(fù)載沿嚙合區(qū)移動(dòng)即移動(dòng)載荷的方式來模擬齒輪副在1個(gè)嚙合周期內(nèi)的實(shí)際接觸情況，對(duì)輪齒兩側(cè)面及底面施加全位移約束。

主動(dòng)輪在嚙合過程中同時(shí)帶動(dòng)2對(duì)從動(dòng)輪，對(duì)于一側(cè)嚙合單齒而言，另一側(cè)外加負(fù)載對(duì)其最大Hertz接觸應(yīng)力的影響可忽略不計(jì)。故為了求解方便，只考慮一側(cè)外加負(fù)載。

在ANSYS求解過程中，將單齒二維端面上的實(shí)際嚙合漸開線均分為21等分，則在此端面上載荷作用關(guān)鍵點(diǎn)為22個(gè)點(diǎn)，由此衍生到三維體中接觸線為22條。每條接觸線上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)及其坐標(biāo)已知，則依據(jù)式(11)和(14)可分別得到其法向作用力和加載角。采用DO循環(huán)分別加載共22次，最終得到沿漸開線Hertz接觸應(yīng)力分布如圖4所示。

1—沿漸開線Hertz接觸應(yīng)力；2—修正最大Hertz接觸應(yīng)力；3—平均Hertz接觸應(yīng)力

圖4 沿漸開線Hertz接觸應(yīng)力

Fig. 4 Hertz contact stress along involute line

其中，第13步為1個(gè)嚙合周期內(nèi)最大Hertz接觸應(yīng)力出現(xiàn)時(shí)的載荷步，其應(yīng)力云圖如圖5所示。由此可知最大Hertz接觸應(yīng)力為1.331 GPa，代入式(8)得到Goodman修正當(dāng)量應(yīng)力為1.011 GPa。

圖5 最大Hertz接觸應(yīng)力所處載荷步Von Mises應(yīng)力云圖

3.3 主動(dòng)輪單工況下疲勞壽命評(píng)估

在直升機(jī)處于以遠(yuǎn)航速度平飛側(cè)滑15°、質(zhì)量為“中2”的飛行工況時(shí)，對(duì)于主動(dòng)輪而言，其功率為487.5 kW，轉(zhuǎn)速為7 626 r/min，在此工況下產(chǎn)生的Goodman修正當(dāng)量應(yīng)力為1.011 GPa。Lewis實(shí)驗(yàn)室[6]給出航空用AISI 9310漸開線直齒輪的材料影響系數(shù)為B=4.08×108，=31/3，=7/3，e=3/2。在ANSYS后臺(tái)數(shù)據(jù)中可以查得最大Hertz接觸應(yīng)力作用點(diǎn)在和方向的坐標(biāo)分別為2.58 mm和59.90 mm，“單齒”嚙合區(qū)漸開線弧長(zhǎng)為1.513 mm。

將上述參數(shù)代入式(16)計(jì)算得到主動(dòng)輪單齒疲勞壽命10為1.978 3×106次，將其代入式(20)計(jì)算得到主動(dòng)輪在該工況下疲勞壽命L為1.187 5×105次。中航某所AISI 9310直齒輪在某型齒輪疲勞試驗(yàn)機(jī)上于該工況下疲勞壽命的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為1.620 0×105次。與之相比相對(duì)誤差為26.7%，考慮到潤(rùn)滑對(duì)疲勞壽命的影響，且加上評(píng)估值比試驗(yàn)值更加保守，可以認(rèn)為該疲勞壽命評(píng)估方法是有效且精確的。

4 結(jié)論

1) 在L?P疲勞壽命理論和Hertz接觸理論的基礎(chǔ)上，建立了直升機(jī)主減速器中分扭傳動(dòng)主動(dòng)輪的疲勞壽命評(píng)估模型，得到其疲勞壽命的評(píng)估方法。

2) 利用所得到的針對(duì)直齒輪的疲勞壽命評(píng)估方法，對(duì)直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)載荷譜中某一工況下的主減速器直齒輪中的主動(dòng)輪疲勞壽命進(jìn)行評(píng)估，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，研究結(jié)果表明，該方法是一種安全，有效的疲勞壽命估算方法。

[1] Pulikollu R V, McDaniels R, Krishnan G．Model based fatigue life prediction for AA 7075-T651[R]．Huntsville: American Helicopter Society International Condition based Maintenance Specialists Meeting, 2009: 328?337.

[2] Giglio M, Manes A, Fossati M. Fatigue life analysis of Al8090 helicopter fuselage panels[J]. Key Engineering Materials, 2007, 348(1): 637?640.

[3] Braddock C E, Battles R A. Design of an advanced 500-hp helicopter transmission[R]. Washington: NASA, 1983.

[4] 王海波. 直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)初始?jí)勖_定[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院, 2006: 10?16.
WANG Haibo. The primary life of the helicopter transmission system confirmed[D]. Harbin: Harbin Engineering University. School of Energy and Power Engineering, 2006: 10?16.

[5] Gmirya Y. Multi-path rotary wing aircraft gearbox: US,7918146B2[P]. 2009?11?12.

[6] Zaretsky E V, Lewicki D G, Savage M, et al. Determination of turboprop reduction gearbox system fatigue life and reliability[J]. Tribology & Lubrication Technology, 2008, 64(1): 40?50.

[7] Vlcek B L, Hendricks R C, Zaretsky E V. Probabilistic analysis for comparing fatigue data based on Johnson-Weibull parameters[J]. ASME International Design Engineering Technical Conferences, 2008(4): 457?469.

[8] Pedrero J I, Pleguezuelos M, Munoz M. Critical stress and load conditions for pitting calculations of involute spur and helical gear teeth[J]. Mechanism and Machine Theory, 2011, 46(4): 425?437.

[9] Genzalez P I, Iserte J L, Fuentes A. Implementation of Hertz theory and validation of a finite element model for stress analysis of gear drives with localized bearing contact[J]. Mechanism and Machine Theory, 2011, 46(6): 765?783.

[10] 周長(zhǎng)江, 唐進(jìn)元, 吳運(yùn)新. 基于精確模型的齒根應(yīng)力和輪齒變形載荷歷程分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2004, 20(3): 67?70.
ZHOU Changjiang, TANG Jinyuan, WU Yunxin. Load-hist evaluation of stresses and deflection of spur gear teeth based on exact model[J]. Machine Design and Research, 2004, 20(3): 67?70.

[11] 薛向珍, 李育錫, 王三民. 某直升機(jī)主減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的壽命與可靠性計(jì)算方法[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào), 2011, 26(3): 635?641.
XUE Xiangzhen, LI Yuxi, WANG Sanmin. Method of life time and reliability of some helicopter’s main reducer[J]. Journal of Aerospace Power, 2011, 26(3): 635?641.

[12] 成大先. 機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)(第3卷)[M]. 北京: 化學(xué)工業(yè)出版社, 2008: 14-12?14-20.
CHENG Daxian. Handbook of mechanical design(Vol 3)[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2008: 14-12?14-20.

[13] 鮑洪, 安琦. 漸開線直齒輪輪齒載荷及應(yīng)力計(jì)算方法[J]. 華東理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 38(1): 116?122.
BAO Hong, AN Qi. A method of calculating load and stress of involute spur gear[J]. Journal of East China University of Science and Technology, 2012, 38(1): 116?122.

Evaluation method of fatigue life for split torque transmission spur gears in helicopter

DING Sheng, LIU Shaojun, HU Yun

(State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing, School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

To obtain the fatigue life evaluation method for split torque transmission spur gears in helicopter’s main reducer, an mathematical model of single pinion tooth based on Lundberg?Palmgren fatigue life theory (L?P theory) and Hertz contact theory was established. The parameters of this model were mostly related to the maximum Hertz contact stress. To solve the stress by the software of ANSYS, the boundary points and the regularities of loading distributions on the meshing area were determined, including the force and angle of loading at any point in this area. According to the data above, the fatigue life evaluation method for pinion under varieties of working conditions based on loading spectrum was finally obtained, and an example which proves the method reasonable of pinion under one working condition was given. The results show that the evaluation result calculated by this method is securer than the test result, which indicate that the method is a safe and effective evaluation method of fatigue life.

spur gears; fatigue life; L?P theory; Hertz contact theory; loading distribution

TH132.4；V215.5

A

1672?7207(2015)01?0135?06

2014?02?10；

2014?04?22

國(guó)防預(yù)研項(xiàng)目(81302XXXX) (Project(81302XXXX) supported by the National Defense Beforehand Research Project)

劉少軍，教授，博士生導(dǎo)師，從事深海礦產(chǎn)資源勘探與開采技術(shù)及直升機(jī)疲勞壽命與可靠性分析方法研究；E-mail: liumen503@gmail.com

10.11817/j.issn.1672?7207.2015.01.019

(編輯 陳燦華)