郜舒竹

編者按

在“變教為學(xué)”的課堂教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生的積極性被充分調(diào)動起來后，就會生成各式各樣的問題。這些問題的答案往往超出教師的知識范圍，也就是教師難以回答的問題。教學(xué)中面對學(xué)生的問題，切忌急于回答。有效的應(yīng)對方式是首先鼓勵學(xué)生，而后記錄下來，與學(xué)生共同思考研究。把學(xué)生課堂中生成的問題作為教師教學(xué)的資源。

在“變教為學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常會有學(xué)生提出各式各樣的問題。有些問題表面看與本節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容無關(guān)，因此常常被教師認(rèn)為是“沒有意義的問題”而被忽略。事實(shí)上，應(yīng)當(dāng)相信學(xué)生提出的任何問題都是因?yàn)轭^腦中思考的某種不順暢而導(dǎo)致的，這樣的問題不僅應(yīng)當(dāng)被視為是合理的，而且應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)研究的素材。

比如數(shù)學(xué)運(yùn)算中的“加”與“減”，在數(shù)學(xué)中表達(dá)運(yùn)算過程的含義與日常用語的含義基本是一致的，但對于乘法運(yùn)算中的“乘”，學(xué)生熟悉的含義可能是“乘車”“乘風(fēng)破浪”等等，而在數(shù)學(xué)中表達(dá)的是“相同加數(shù)求和”，這兩個含義似乎風(fēng)馬牛不相及。這時自然就會產(chǎn)生“為什么用‘乘’表示相同加數(shù)求和呢？”這樣的問題。諸如此類的問題表面看與數(shù)學(xué)計算無關(guān)，但其中蘊(yùn)含著豐富的歷史、語言文字方面的知識，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的文化特征。比如考察“乘”的歷史演變，可以發(fā)現(xiàn)其最初的含義是“人在樹上”，有“升高”的意思。這個意思就與乘法所說的“相同加數(shù)求和”可以溝通聯(lián)系了。因此這樣的問題不僅不應(yīng)當(dāng)忽略，而且應(yīng)當(dāng)融入到數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中。下面通過對一些學(xué)生提出的問題的研究，進(jìn)一步說明這一點(diǎn)。

一、“幾何”與“方程”究竟何義？

“幾何”一詞是明代學(xué)者徐光啟（1562—1633）在與意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552—1610）合作翻譯古希臘歐幾里得的《原本》的時候首次使用的。關(guān)于徐光啟選用這個詞的原因，經(jīng)過考證主要有兩種觀點(diǎn)，第一種認(rèn)為是在翻譯《原本》中“Geometry”這一英文單詞時考慮了兩方面因素，其一是這個詞匯具有“測量地球”的意思，而測量的過程實(shí)際上就是想知道“多少”的問題，古漢語中“多少”通常用“幾何”這個詞匯來表達(dá)，這是意譯;其二是英文單詞的前綴“Geo”的發(fā)音接近漢字“幾”的發(fā)音，所以“幾何”是意譯和音譯兼容的翻譯。[1]另一種觀點(diǎn)認(rèn)為“幾何”是對“Magnitude”這一英文單詞的意譯。[2]“Magnitude”是“量”的意思，而研究量其實(shí)關(guān)心的就是“多少”，所以用“幾何”。兩種觀點(diǎn)的共同之處就是“幾何”與測量以及數(shù)量的多少直接相關(guān)。姑且不論哪一種觀點(diǎn)是正確的，這些內(nèi)容起碼包含了語言及其文化方面的知識，這些知識對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是很重要的。

“方程”這一數(shù)學(xué)術(shù)語與“幾何”不同，并非外來語的翻譯，而是由我國古人命名并沿用至今的。由于時間久遠(yuǎn)，其一般意義與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系已經(jīng)不明顯了。就是說從“方程”的字面上很難聯(lián)想出其“含有未知數(shù)的等式”這一數(shù)學(xué)意義。在古漢語中“程”最初是一種度量單位，后來引申有度量的意思。比如，“程者，權(quán)衡丈尺斛斗之平法”[3]的說法，就把“程”理解為各種不同大小的計量工具之間如何平衡（其實(shí)就是互相轉(zhuǎn)化）的方法。這樣的理解在許多詞匯中都有所體現(xiàn)，比如“路程”就是度量所走路的結(jié)果。按迄今的考證，“方程”一詞在我國數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中使用最早的是《九章算術(shù)》第八章。劉徽在其注釋本中對方程的解釋為：“群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)，另每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！盵4]這句話的大意是說，多個未知數(shù)的時候，就需要分別排列出來共同考慮。兩個未知數(shù)排兩行，三個未知數(shù)排三行，有幾個未知數(shù)就排幾行，有行有列，所以叫作方程。其中“方”指的是排列出來的形狀，“程”就是度量方法的意思。這實(shí)際上就是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的線性方程組。在《九章算術(shù)·音義》中對“方程”的解釋為：“方者，左右也。程者，課率也。左右課率，總統(tǒng)群物，故曰方程?！盵5]這句話的意思是說給未知量配上相應(yīng)的系數(shù)，使得左右相等就是方程。其中的“方”是左右，“課率”用現(xiàn)在的語言說就是配上系數(shù)。 這樣的解釋與現(xiàn)在所說的“含有未知數(shù)的等式”十分接近。

二、加法的結(jié)果為什么是“和”，而不是“合”？

數(shù)學(xué)術(shù)語是前人命名或者翻譯，經(jīng)過長時間歷史沿革沿用至今的。由于文字本身含義的逐步變遷，原始的含義發(fā)生了變化。比如，為什么加法的結(jié)果用“和”而不是“合”？按照一般的理解，似乎“合”更為恰當(dāng)。按照何金松所著《漢字文化解讀》的解釋，[6] “和”最初的意思是樹上的小鳥此唱彼和的場景，后來引申為很多人演唱或演奏時樂音的諧和，所謂樂音的諧和是多種聲音聽起來就像一個聲音。由此可以推斷“和”是“兩個或多個在一起就像一個”的意思。比如日常生活中所說的“和面（音：huó miàn）”，其意義就是面粉和水融為一體。中國傳統(tǒng)的娛樂項(xiàng)目“打麻將”中的“和牌（音：hú pái）”是把零散的牌融為一個互相關(guān)聯(lián)的整體。這顯然與數(shù)學(xué)中加法的意思相吻合。而“合”字起初的意思是“關(guān)閉”，后來引申為“聚集”，才有了現(xiàn)在聯(lián)合的意思。

三、為什么一定要把“6÷2”讀作“6除以2”？

按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋，“除”字的一般意義有“去掉”或“減少”的意思，又可以引申為“分”的意思。[7]如果把除法運(yùn)算理解為“逐步減少”，就與乘法的“逐漸升高”相對應(yīng)為互逆關(guān)系，也就是數(shù)學(xué)中所說的“互逆運(yùn)算”了。至于為什么要把“6÷2”讀作“6除以2”，或“2除6”，而不能讀作“6除2”，其實(shí)是古漢語中倒裝的習(xí)慣，所謂“6除以2”，用現(xiàn)在習(xí)慣的讀法應(yīng)當(dāng)是“以2除6”?！?除6”實(shí)際上是省略了“以”，也是“以2除6”，都是用2去分6的意思。類似的例子還有分?jǐn)?shù)的讀法，讀作“三分之二”實(shí)際上是“分三之二”，“之”在古漢語中有“的”意思，所以“分三之二”就是“分為三份中的兩份”，與分?jǐn)?shù)的意義基本上是一致的。

類似的問題還有，除法的結(jié)果為什么叫作“商”？一般意義下這個字往往與“商量”“經(jīng)商”這些用語的意思聯(lián)系在一起。我國古代有一種計時儀器，叫作漏壺，也叫作漏刻。壺內(nèi)有一浮標(biāo)部件，上面刻有刻度，隨水浮沉，稱為漏箭。人們只需察看漏箭外表所顯露的刻度，便可掌握壺內(nèi)水位的高低，從而知道當(dāng)下的時辰。我國古代字書《正字通·口部》對“商”有這樣的解釋：“商乃漏箭所刻之處”。[8]由此看出，“商”在古代表示計時工具漏刻中的刻度?？潭葘?shí)際上就是確定標(biāo)準(zhǔn)，也就是指明“一”，以便于測量“幾”。所謂“商量”，其實(shí)就是先確定“商”，然后“量（音：liáng）”。小學(xué)數(shù)學(xué)中整數(shù)的“等分除法”實(shí)際上就是“已知幾倍是多少，求一倍”。這樣就溝通了“商”的一般意義與數(shù)學(xué)意義之間的聯(lián)系。

四、“小數(shù)”是很小的數(shù)嗎？

“小數(shù)”并不是指很小的數(shù)。在十三經(jīng)之一的《禮記·內(nèi)則第十二》中有這樣的記載：“億之?dāng)?shù)有大小二法，其小數(shù)以十為等，十萬為億，十億為兆也。其大數(shù)以萬為等，萬至萬，是萬萬為億，又從億而數(shù)至萬億曰兆?！盵9]大意是說，有大小兩種方法得到“億”和“兆”，一種是用小數(shù)十，那么十萬就是億，十億就是兆。另一種是用大數(shù)萬，那么萬萬就是億，萬億就是兆。這里的“小數(shù)”和“大數(shù)”指的都是我們現(xiàn)在所說的進(jìn)率。因此，“小數(shù)”實(shí)際上是“小率”，也就是“進(jìn)率小于1”的數(shù)。在十進(jìn)制的小數(shù)體系中，這個進(jìn)率就是。

五、“正比例”和“反比例”是比例嗎？

“正比例”和“反比例”分別用“正”和“反”來限定“比例”。那么正比例和反比例是不是比例？首先來看“比例”的含義，這個詞匯并不是用“比”限定“例”。《說文解字·人部》對“例”字的解釋為：“例，比也”，[10]這說明“比例”實(shí)際上是兩個字義相同的字組合而成的，隱喻的數(shù)學(xué)意義是“兩個比相同”。所以“比例”這個數(shù)學(xué)術(shù)語指稱的數(shù)學(xué)對象是兩個比的相等關(guān)系，比如“1：2=2：4”就是一個比例。這種比例在19世紀(jì)的歐洲叫作“幾何比例（Geometrical Proportion）”。當(dāng)時，還有一種比例叫作“算術(shù)比例（Arithmetical Proportion）”，[11]表達(dá)的是兩個“差”相等的關(guān)系，比如“19-7=127-115”就是一個算術(shù)比例。算術(shù)比例的一個重要性質(zhì)就是，如果把符合算術(shù)比例的四個數(shù)按順序?qū)懗鰜恚?9，7，127，115。那么首尾兩個數(shù)的和與中間兩個數(shù)的和相等，也就是19+115=7+127這個性質(zhì)與幾何比例中“內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積”的性質(zhì)非常類似。正比例和反比例與比例是不是屬種關(guān)系？也就是說正比例和反比例是不是特殊的比例？數(shù)學(xué)教科書中把“正比例”定義為兩個量的比值是固定不變的數(shù)，則稱這兩個量成正比例;如果兩個量的乘積為固定不變的數(shù)，那么這兩個量成反比例。從定義來看，正比例和反比例這兩個數(shù)學(xué)術(shù)語所指稱的數(shù)學(xué)對象是“兩個量之間的關(guān)系”，而不是兩個“比”之間的關(guān)系。因此應(yīng)當(dāng)說正比例和反比例都不是比例?！罢迸c“反”對比例的限定，使得比例這一數(shù)學(xué)術(shù)語的語義發(fā)生了變化。盡管如此，正比例、反比例和比例還是有著密切關(guān)系的。

古時算術(shù)中正比例和反比例的含義與現(xiàn)在不同。首先有“正比”和“反比”的概念，如果把“a：b”視為正比，那么“b：a”或者“：”就是反比。這里反比中的“反”相對于“正”有兩種含義，第一種是比的前項(xiàng)和后項(xiàng)交換位置，比如把正比“a：b”改為“b：a”變?yōu)榉幢龋@種反比對應(yīng)的英文是“Inverse Ratio”;第二種是對比的前項(xiàng)和后項(xiàng)取倒數(shù)，順序不變。比如把正比“a：b”改為“：”也成為反比，對應(yīng)的英文是“Reciprocal Ratio”。一個非常有趣的性質(zhì)是，如果對一個正比分別按以上兩種方式連續(xù)取反比，比值是不變的，用符號表示就是：

a：b=：

這樣就可以延伸出當(dāng)時正比例和反比例的概念。如果把“a：b=c：d”叫作正比例，那么就把“a：b=：”叫作反比例。英文中“反比例”有兩種說法，一種是“Inverse Proportion”，另一種是“Reciprocal Proportion”。其中前者是比例的前項(xiàng)和后項(xiàng)交換位置的意思，后者是取倒數(shù)的意思。在晚清時期的一本《師范講習(xí)社師范講義》中還可以看到下面的例證。[12]（見圖1）

圖1 晚清師范講義圖

（當(dāng)時連接兩個比不用現(xiàn)在的等號“=”，而是四個點(diǎn)“：：”）

由此看出，正比例和反比例起初是一對相關(guān)的概念。之所以有正比例的用語，是因?yàn)榇嬖谂c它比值相等的反比例。無論是正比例還是反比例，都是特殊的比例，與現(xiàn)在的意義不一樣了。

六、“函數(shù)”是數(shù)嗎？

“函數(shù)”一詞，表面看是用“函”限定“數(shù)”。但其數(shù)學(xué)意義并不是指稱數(shù)，也不是對數(shù)的限定。這一詞匯是清代學(xué)者李善蘭（1811-1882）在1859年翻譯Augustus Demorgan所著的《代數(shù)學(xué)原理》（The Elements of Algebra）一書時，首次使用的數(shù)學(xué)術(shù)語。原書中“Function”一詞的解釋為：“以任何方式包含x的表達(dá)式都是x的函數(shù)，所以和都是x的函數(shù)。（Any expression which contains x in any way is called a function of x. Thus， andare functions of x.）”[13]。李善蘭把 “Function”翻譯為“函數(shù)”，解釋為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)。”[14]這一解釋更接近李善蘭翻譯的另一本名為《代微積拾級》（Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus）的書中對“Function”的定義：“當(dāng)一個變量等于一個包含另一個變量的表達(dá)式的時候，第一個變量就叫作第二個變量的函數(shù)。（One variable is said to be a function of another variable， when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second.）”[15]綜上可以看出，李善蘭用“函數(shù)”這個詞匯的用意，其中的“數(shù)”是“變數(shù)”，也就是現(xiàn)在所說的“變量”，而“函”是包含的意思。二者組合在一起叫作“函數(shù)”，表達(dá)的就是“變量包含變量”的關(guān)系，比如“a+x”是一個變量，包含著變量“x”，那么“a+x”就是 “x”的函數(shù)。所以“函數(shù)”指稱的不是數(shù)，而是變量之間的包含關(guān)系，與當(dāng)時人們對“函數(shù)”的認(rèn)識是吻合的?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)中對函數(shù)的理解事實(shí)上已經(jīng)發(fā)生了變化，是集合與集合之間的“對應(yīng)”關(guān)系，而不僅僅是變量之間的“包含”關(guān)系。

按照通常的認(rèn)識，數(shù)學(xué)屬于科學(xué)，強(qiáng)調(diào)真理性和邏輯性。而語文屬于人文學(xué)科，更強(qiáng)調(diào)“人”的因素。人文學(xué)科的知識一般具有規(guī)定性和可變性的特征。所謂規(guī)定性，體現(xiàn)的是人的主觀意志占主導(dǎo)地位，一旦為多數(shù)人所認(rèn)可，就成為約定俗成的知識了。所謂可變性，指的是隨著人們對事物認(rèn)識的不斷變化，這種約定俗成的知識也會發(fā)生變化。比如前面論及的“幾何”這一詞匯，在如今的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中就變成了“空間與圖形”?，F(xiàn)在所使用的“質(zhì)數(shù)”，過去曾經(jīng)是“數(shù)根”。莫紹揆先生曾經(jīng)建議分?jǐn)?shù)的讀法應(yīng)當(dāng)改變，[16]比如應(yīng)當(dāng)讀作“五分以六”，這樣更符合人自左至右、自上而下的閱讀習(xí)慣，而且與除法算式的讀法相一致。

應(yīng)當(dāng)相信，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的問題都是有價值的，而且是有意義的，這些問題的研究應(yīng)當(dāng)成為新的課程資源的源泉。因此在“變教為學(xué)”的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵任何學(xué)生提出任何問題，珍惜任何學(xué)生提出的任何問題，認(rèn)真研究任何學(xué)生提出的任何問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 松村勇夫. 關(guān)于代數(shù)和幾何的字源[J]. 數(shù)學(xué)通報，1951.1.

[2] 杰. 幾何不是Geo的譯音[J]. 數(shù)學(xué)通報，1959.1.

[3] 司馬遷.史記·卷一百三十[M]（集解引如淳語）.北京：中華書局，1999：2508.

[4] 杜石然. 《九章算術(shù)》中關(guān)于“方程”解法的成就[J]. 數(shù)學(xué)通報，1956.12.

[5] 李繼閔. 《九章算術(shù)》導(dǎo)讀與譯注[M]. 陜西：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998：624.

[6] 何金松. 漢字文化解讀[M]. 湖北：湖北人民出版社，2004：391-369.

[7] 中國社會科學(xué)院語言研究所. 現(xiàn)代漢語詞典[M]. 北京：商務(wù)印書館，1978：187.

[8] 邵啟昌. 中國數(shù)學(xué)若干概念漢語詞義研究[J].四川師范學(xué)院學(xué)報（ 自然科學(xué)版） ，1998.6.

[9] 鄭玄注、孔穎達(dá)疏.禮記正義[M].北京：北京大學(xué)出版社，1999：828.

[10] 許慎.說文解字[M].北京：中華書局，1963：167.

[11] Augustus De Morgan. Elements of Arithmetic[M]. Fourth Edition. Printed for Taylor and Walton， London. 1839：99.

[12] 晚清文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫. http：//www.cnbksy.com/ShanghaiLibrary/pages/jsp/fm/index/index.jsp.

[13] Augustus De Morgan. The Elements of Algebra[M]. Second Edition. Printed for Taylor and Walton， London. 1837：168.

[14] 燕學(xué)敏. 晚清數(shù)學(xué)翻譯的特點(diǎn)——以李善蘭、華蘅芳譯書為例[J]. 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006.5.

[15] Elias Loomis. Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus[M]. Nineteen Edition. Harper & Brothers Publishers， New York. 1865：113.

[16] 莫紹揆. 試論初等數(shù)學(xué)符號的改進(jìn)[J]. 數(shù)學(xué)通報， 2000.12.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 ?100048）