張奠宙

平行和平移，都是小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)名詞。二者之間存在著內(nèi)在的邏輯順序，即先有平行，才有平移。小學(xué)數(shù)學(xué)盡管需要深入淺出，卻不宜違背這一邏輯順序。

讓我們看某現(xiàn)行教材中關(guān)于平行直線的定義。

這一段教材，通過(guò)移動(dòng)的門(mén)窗、上升的國(guó)旗，以及鉛筆的水平移動(dòng)的觀察，就說(shuō)“像這樣的兩條直線互相平行”。顯然，這是從物體的平移，給直線的平行作定義式的陳述。這樣處理，會(huì)出現(xiàn)不少問(wèn)題。

首先，門(mén)窗、國(guó)旗都是立體或平面的實(shí)體，抽象之后，乃是二維的平面，怎樣和一維的“直線”聯(lián)系起來(lái)呢？像國(guó)旗升起的畫(huà)面中，平行線在哪里？不加以明確指出，讓學(xué)生如何理解編寫(xiě)意圖？

其次，若從兩支鉛筆抽象為幾何圖形，不過(guò)是一條線段，怎能說(shuō)是直線呢？線段和其所在的直線，需要有所區(qū)分。這里的斷語(yǔ)，應(yīng)該是“像這樣的兩條線段互相平行”。至于說(shuō)這也是它們所在的兩條直線互相平行，那是另一種約定，在界定一個(gè)對(duì)象時(shí)要分清楚，不能混同起來(lái)。

第三，最為嚴(yán)重的混淆是用平移來(lái)界定平行，把二者的邏輯順序弄顛倒了。說(shuō)到底，究竟是先有“平行”，還是先有“平移”呢？

先來(lái)看什么是平移。百度詞典這樣定義：

“在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移?！?/p>

這里的一個(gè)關(guān)鍵詞是“所有點(diǎn)按同一個(gè)方向”，它的意義就是每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的直線都彼此平行。這就是說(shuō)，教材圖上那支平移的鉛筆，其上的每個(gè)點(diǎn)都要沿“水平方向”移動(dòng)一個(gè)固定的距離。如果將鉛筆頭移動(dòng)前后兩點(diǎn)的連線線段（記為ab），鉛筆底部點(diǎn)前后形成的兩點(diǎn)連線（記為cd）那么因?yàn)槭峭环较颍员仨氂衋b∥cd。這時(shí)，abcd四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)矩形。進(jìn)一步，那支鉛筆也可以沿45度角向“東北”方向平移，鉛筆各點(diǎn)掃過(guò)的圖像就是一個(gè)平行四邊形。

這就是說(shuō)，作平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形中無(wú)限多的點(diǎn)都要保持“同一方向”，也就是要形成無(wú)限多條的平行線。因此，先有平行概念和平行判斷準(zhǔn)則，才能作平移運(yùn)動(dòng)。用平移定義平行，在邏輯上有誤，混而有錯(cuò)。

在這頁(yè)教材上，還可能會(huì)產(chǎn)生另外一些誤解。

1.以為可以用兩條線段彼此間是否為平移來(lái)判斷是否平行。但這是做不到的。事實(shí)上，判斷兩線段是不是平移，必須把平移的那個(gè)“統(tǒng)一方向”找出來(lái)。為了找這個(gè)方向，最后不得不依賴同位角相等的那些平行線判定法則。因此，想用平移概念，繞開(kāi)平行線的嚴(yán)格定義和判別準(zhǔn)則是做不到的。

2.教材的那兩支鉛筆，是向水平方向和垂直方向平移。容易產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué)是，平移就是水平方向的移動(dòng)，或者是垂直方向的移動(dòng)。這就會(huì)造成平行線都是水平的或垂直的錯(cuò)誤印象。

3.教材呈現(xiàn)的平移操作，只能在方格紙上向水平或垂直兩個(gè)方向移動(dòng)。 那么，要在方格紙上作45度、60度方向的移動(dòng)怎么辦？教材沒(méi)有交代，也無(wú)法說(shuō)清楚。

綜上所述，用線段平移來(lái)界定線段平行， 在邏輯上有誤，既不能實(shí)際操作，又會(huì)帶來(lái)一些誤解，應(yīng)予修正改進(jìn)。

筆者認(rèn)為，平行線教學(xué)要和“方向”概念聯(lián)系起來(lái)，用直線的方向相同來(lái)定義直線的平行，即用直觀的、相當(dāng)于同位角判定準(zhǔn)則的情境來(lái)進(jìn)行處理，那要另文探討了。

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ? 200241）