張奠宙

小學數(shù)學里的“小數(shù)的意義”的教學內容，所承載的數(shù)學思想方法在于擴充自然數(shù)，使得可以用“數(shù)”來表示小于“單位1”的量。因此，我們不能滿足于會認、會讀、會寫小數(shù)，而要回答一些更為本源的問題，例如：為什么要學習小數(shù)？小數(shù)與分數(shù)的區(qū)別在哪里？小數(shù)和自然數(shù)是什么關系？盡量把構建“小數(shù)”背后的數(shù)學思想方法用孩子們易懂的方式表示出來。

一、不能滿足于直接指認式

北師大版用直接指認的方式認識小數(shù)。 “小數(shù)的意義（一）”首先用人民幣的元、角、分來引進小數(shù)（見圖1）。開宗明義的三句話就是直接指認：

“ 1.11元是1元1角1分。”

“1角是1元的，也可以寫成0.1元?！?/p>

“1分是1元的，也可以寫成0.01元。”

這一段教材反復地讓學生知道，“以10 或100、1000為分母的分數(shù)表示的量，也可以改寫成用“ 0.1，0.01，0.23，0.059”那樣形式的數(shù)來表示它。 隨后，又將抽象的數(shù)1作10等分，再次說，“也可以”寫成0.1;“也可以”寫成0.01。 接著的練習，要求學生模仿，“也可以”寫成0.064。用圖形表示的分數(shù)，“也可以”寫成2.13和1.04。教材的內容全在分數(shù)的改寫上。 至于為什么要學習小數(shù)，憑什么將分數(shù)“也可以寫成”小數(shù)，沒有任何解說。無目的地寫來寫去，灌輸?shù)奈兜牢疵馓亓恕?/p>

到了“小數(shù)的意義（二）”（見圖2），通過量黑板、稱鴕鳥蛋，將測量得來的量，按照度量衡的制度將換算時的分數(shù)寫成小數(shù)。例如，用米尺量黑板時，1米之外多出的36厘米，寫成0.36米;12克重鵪鶉蛋寫成0.012千克?？傊?，還是將換算得到的分數(shù)改寫成小數(shù)。

到了“小數(shù)的意義（三）”（見圖3），忽然在計數(shù)器上打出22.222，直接問每個2分別表示多少，據(jù)此認識小數(shù)點、十分位、百分位，、千分位等等。認知跨度相當大。然而，小數(shù)在計數(shù)器上位于何處？本身是一個需要探究思考的問題，現(xiàn)在直接在計數(shù)器上撥出22.222，一一指認各個數(shù)位上的2是什么意思，又是一通灌輸。

總之，整段教材，從指認開始，強調“也可以”把分數(shù)寫成小數(shù)，在練習中依樣模仿，重在能認得小數(shù)，會進行單位換算，會改寫成小數(shù)，然后直接給出數(shù)位表。至于這些內容背后所承載的數(shù)學思想方法，特別是小數(shù)乃是自然數(shù)位置計數(shù)的擴展與延伸，幾乎沒有觸及。這與“四基”教學的要求相去甚遠。

圖3

二、做好鋪墊工作，揭示小數(shù)意義的本質

人教版教材四下中的“小數(shù)的意義”的教學內容（見圖4），從度量講臺桌的高及課桌面的長入手，發(fā)現(xiàn)量出1米之后，還分別多出1分米和2分米。于是，提出問題：如果“用米作單位，不夠1米怎么辦？” 問題是提出來了，但是沒有展開。教材接著也是把米、米、米改寫為0.1米、0.01米、0.001米。

盡管學生只認識了0.1、0.01、 0.001三個小數(shù)，教材緊接著就提出小數(shù)的記數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是10。最后，給出數(shù)位順序表（見圖5）。這樣做，沒有任何鋪墊，同樣沒有說明數(shù)學思想方法。

《數(shù)學課程標準（2011年版）》 關于小學數(shù)學中“小數(shù)的意義”的內容，只有一句話：“結合具體情境，理解分數(shù)和小數(shù)的意義?！辈贿^，理解是要求很高的行為動詞。那么，對于“小數(shù)的意義”而言，要理解哪幾點呢？筆者認為可以有以下幾個方面。

1.引進小數(shù)是為了表示小于“單位1”的量。

2.除0之外，自然數(shù)中最小的是1，所以自然數(shù)不能表示小于1的量。

3.一個數(shù)的小數(shù)部分是小于1的數(shù)。（在《初等數(shù)論》中可以找到有關一個小數(shù)的“整數(shù)部分”和“小數(shù)部分”概念的表述）

4.小數(shù)是分母為10，100，1000……的一類特殊分數(shù)。（注：在剛剛接觸小數(shù)的時候，小數(shù)就是指有限小數(shù)。本文所指的小數(shù)，都是指有限小數(shù)）

5. 一個小數(shù)可以記為整數(shù)部分和小數(shù)部分，小數(shù)中的小圓點叫小數(shù)點。

6. 小數(shù)使用十進制位值原則記數(shù)法，滿十進一，但分數(shù)不是。

三、一個具體的設計方案

第一段 小數(shù)的意義

（一）開首語

華羅庚： 大哉，數(shù)學之為用，宇宙之大，粒子之微……數(shù)學無處不在。

（二）自然數(shù)和小數(shù)

宇宙很大，我們可以用自然數(shù)描寫很遠的地方，一米，十米，百米，萬米，億米……萬億米……

粒子很小，用自然數(shù)不能描寫。因為自然數(shù)里最小的數(shù)就是1（0 除外）。因此我們需要引進比1還要小的數(shù)，才能描寫很小的粒子。

（旁白：比1還小的數(shù)有沒有？有啊，分數(shù)！、都比1小）

（現(xiàn)在，讓我們特別注意一類分數(shù)：，，，，……，……）（旁白：10億分之一，多么小啊?。?/p>

具有這樣分母的一類特殊分數(shù)，我們稱之為小數(shù)。

（三）小數(shù)采用新的記法

例如：

= 0.1 ; ? ? ? ? ? ? = 0.3;

= 0.01， ? ? ? ?= 0.06; ? ? ? ? = 0.34;

= 0.001， ? = 0.007; ?= 0.087;

= 0.543;

……

這樣記法，我們注意到：有小數(shù)點。

小數(shù)點后面一位處的1，表示。

小數(shù)點后面兩位處的1，表示。

0.2 就是兩個0.1。

10個0.1就是1。

（旁白：這樣記法的好處是和自然數(shù)很相似，都是一串數(shù)字，不同位置上的數(shù)字意義不同，也是滿十進一）

第二段 ?測量與小數(shù)

（一） 測量問題：書桌面有多長

（旁白：以1米為單位。量得準確些）

甲：1米多。量了1米，還剩下一段。

乙：我量出剩下的一段有2分米還多一點。

丙：我仔細量，結果是2分米之外，還多出6厘米。

（二） 書桌面長度的三種表述方法

1.書桌面長度是1米加2分米，再加6厘米。

2.利用分數(shù)和長度單位可以表示出來：（1+ + ）米。

3.利用小數(shù)和長度單位表示出來：1.26米。

（旁白：好簡單啊?。?/p>

（三）在計數(shù)器上表示小數(shù)

1.在計數(shù)器上看1.26，見圖6。

圖6

因為以1米為單位，書桌面長是1米多，所以個位數(shù)是1（在計數(shù)器的個位上撥1粒珠）。

2.剩下的2分米，可以在計數(shù)器的哪一位置上表示？大家思考一下，和同伴交流。

（旁白：比1小的數(shù)，這里可以在個位的右邊一格，撥2粒珠表示（中間用小數(shù)點隔開）。

3.還有剩余的6厘米，可在個位右邊的第二格，撥6粒珠表示。

小數(shù)寫法有小數(shù)點，小數(shù)點右邊的2，它的位置在十分位上，2表示。同樣，6 寫在百分位的位置上，表示。

（這時，可用22.222的各個不同位置上的2來加深對小數(shù)的理解。22是它的整數(shù)部分，0.222是它的小數(shù)部分）

第三段 數(shù)位順序表

有了以上的鋪墊，數(shù)位順序、計數(shù)單位、進率及滿十進一就自然地得出來了。這里只要加一句總結的話（這是有關數(shù)學美的教育）：數(shù)位順序表，顯示了自然數(shù)和小數(shù)的完美統(tǒng)一。

以上的處理建議，著重說明了小數(shù)和自然數(shù)的關系。小數(shù)可以用來表示微小的量。分數(shù)和小數(shù)的發(fā)生，都是由于在測量過程中出現(xiàn)了比單位1更小的量。真分數(shù)和一個數(shù)的小數(shù)部分都是小于1的數(shù)。有限小數(shù)是一些特殊的分數(shù)，不是分數(shù)的全部。一般地說，分數(shù)的表示方式，關注整體和部分的關系，簡單明確。但是小數(shù)的表示方式采用“滿十進一”的十進位制，可以和自然數(shù)的表述方式相匹配。這是小數(shù)的顯著優(yōu)點，也是要將分數(shù)改寫為小數(shù)的緣由。

這些有關小數(shù)的本質，小學數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法，在《教師教學用書》里要深入論述。教材里則要盡量用小學生能夠理解的淺顯方式呈現(xiàn)出來。事實上，對小學生而言，數(shù)學思想方法并不是可以自己悟出來的。我們雖然不可大段地說教，但在關鍵地方必須點穿，用適切淺近的語言加以表述。總之，落實“四基”不能只是一句空話。

四、一些具體的建議

讀過兩份教材，有以下一些具體的建議。

1. 關于在數(shù)直線上表示小數(shù)。

人教版在練習中要求把0.4、1.6、2.3、3.85 標記在數(shù)直線上。北師大版只要求在刻度尺上標記小數(shù)。

在數(shù)直線上標記小數(shù)，能夠體現(xiàn)數(shù)形結合，使小學生對“小數(shù)”有一個總體的、直觀的認識。如前所說，數(shù)的小數(shù)部分是小于1的數(shù)，我們把0.1、 0.01、 0.001…在數(shù)直線上標出來，就可以看到它們所處的位置越來越接近 0點。另一方面，整數(shù)1、10、100…則是越來越大，位置越來越向右。進一步，學生會直觀地留意到有了小數(shù)，數(shù)直線上就不只是一個個孤立的整點，而是密密麻麻地布滿了數(shù)。

2. 北師大版教材，強調“小數(shù)”也是滿十進一，非常必要。人教版則采用進率的說法。然而，滿十進一，比“進率”這樣的專用名詞要好理解，更貼近小學生的認知水平。

3. 關于“也可以寫成”的說法，值得商榷。

小數(shù)，并不是將分數(shù)改寫而產(chǎn)生的，而是自然數(shù)的十進位值制記數(shù)規(guī)則的加以擴展的結果。0.1是對的一種新的表述方法。我們還要問，為什么要將分數(shù)寫為0.1 呢？實際上，這是為了與自然數(shù)寫法相匹配。我們不妨將0.1與1相比較。如果從1開始數(shù)10個數(shù)進位到10，即10個1就是1個10。那么，我們從0.1開始數(shù)10個數(shù)：0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1 也是進位到1。10個 0.1 就等于1，這樣，小數(shù)就和自然數(shù)的寫法一致起來了。

（華東師范大學數(shù)學系 ? 200241）