彭艷亮

摘 要： 解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。本文論述了高中階段學(xué)拋物線的主要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)拋物線圖像和性質(zhì)時(shí)存在的問題進(jìn)行了認(rèn)真的分析，提出了拋物線圖像和性質(zhì)的教學(xué)辦法，以供參考。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 解析幾何 教學(xué)方法

解析幾何是利用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，它包括平面解析幾何和空間解析幾何兩部分。拋物線作為解析幾何的一部，其思想代表研究曲線和曲面的一般方法和手段，即用代數(shù)為工具解決幾何問題。

1.高中階段學(xué)拋物線的主要內(nèi)容

1.1拋物線中的“坐標(biāo)法”

“坐標(biāo)法”是拋物線思想的主要組成部分，因?yàn)榻⒘俗鴺?biāo)系，就能把拋物線的性質(zhì)用代數(shù)表示，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決。適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系可以大大簡(jiǎn)化對(duì)拋物線性質(zhì)的研究，但拋物線的性質(zhì)不會(huì)隨著坐標(biāo)系的變化而改變。我們要研究的是那些和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的性質(zhì)；或者說建立坐標(biāo)系正是為了擺脫拋物線對(duì)坐標(biāo)系的依賴，這在代數(shù)上表現(xiàn)為在某個(gè)線性變換群下的不變量和不變關(guān)系。

1.2拋物線中的運(yùn)算思想

拋物線的運(yùn)算，往往有較強(qiáng)的綜合性，涉及相應(yīng)的代數(shù)方程知識(shí)（包括消元思想、整體代換、函數(shù)思想、同解原理、韋達(dá)定理、方程組的解、構(gòu)造不等式、參變量代換、求解不等式）等內(nèi)容，對(duì)計(jì)算能力要求較高。在解決拋物線問題時(shí)，要注重“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，在計(jì)算時(shí)，要結(jié)合拋物線圖像自身的特點(diǎn)，充分挖掘拋物線的幾何結(jié)論，這是解決問題的突破口和簡(jiǎn)化解題過程的有效方法。拋物線獨(dú)有的特點(diǎn)，對(duì)培養(yǎng)運(yùn)算能力能起到獨(dú)特的作用。

1.3拋物線的解題步驟

用解析幾何的思想方法研究拋物線問題，思維過程可以表示為以下步驟：第一，用代數(shù)的語言來描述拋物線圖形，例如“點(diǎn)”可以用“數(shù)對(duì)”表示，“曲線”可以用方程表示等；第二，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，例如，拋物線圖形中“一條直線與拋物線沒有交點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“兩直線方程組成的方程組無解”等；第三，實(shí)施代數(shù)運(yùn)算，求解代數(shù)問題；第四，將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。

2.學(xué)生在學(xué)習(xí)拋物線圖像和性質(zhì)時(shí)存在的問題

2.1學(xué)生的逆向思維能力不強(qiáng)

在學(xué)生探究拋物線的圖像和性質(zhì)的過程中，要將平面圖形順利的轉(zhuǎn)化為題中的信息，一定要依靠較強(qiáng)的逆向思維能力，這對(duì)于剛剛接觸到解析幾何的學(xué)生來說，是不具備的，因此這一點(diǎn)就會(huì)成為教師提高學(xué)生分析拋物線圖像和性質(zhì)抽象能力的阻礙。

2.2數(shù)形結(jié)合能力不強(qiáng)

在做題過程中，學(xué)生不能依照題中的條件畫出能夠幫助解題的圖形，即便反復(fù)讀題，一般也不能找到問題的切入點(diǎn)，特別在證明與圖形有關(guān)的定理及問答題時(shí)就會(huì)感到非常困難。

3.拋物線圖像和性質(zhì)的教學(xué)辦法

3.1貼近生活進(jìn)行教學(xué)

在現(xiàn)實(shí)生活中有許多的拋物線的模型，教師在講課過程中要注意與學(xué)生的生活聯(lián)系起來。例如在教師講述時(shí)首先問學(xué)生有多少男生喜歡打籃球，在他們打籃球或觀看籃球比賽時(shí)，是否注意投籃時(shí)球的運(yùn)行路線？我們把這種形如物體拋出后所經(jīng)過的路線，叫拋物線。拋物線在生活中無處不在，比如噴泉水流經(jīng)過的路線，搖動(dòng)的大繩在空中靜態(tài)時(shí)所呈現(xiàn)的圖形等。它們與函數(shù)有聯(lián)系嗎？首先讓學(xué)生在生活中結(jié)識(shí)拋物線，然后讓學(xué)生動(dòng)手在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=x■和y=-x■的圖像，從而從感性上結(jié)識(shí)拋物線，再后對(duì)兩個(gè)特殊的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行歸納和總結(jié).再由特殊到一般總結(jié)y=ax■的圖像和性質(zhì)，從而從理性上再次結(jié)識(shí)拋物線。最后針對(duì)鞏固二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了鞏固練習(xí)。教師將畫出的拋物線圖像通過利投影儀進(jìn)行展評(píng)，這樣能夠方便學(xué)生理解和接受，達(dá)到很好的效果。

3.2讓學(xué)生進(jìn)行自主的探索

在學(xué)習(xí)拋物線的圖像和性質(zhì)時(shí)，需要學(xué)生動(dòng)手操作較多，因此親身體驗(yàn)也比較多。教師應(yīng)該注意在學(xué)生動(dòng)手操作的時(shí)候應(yīng)讓學(xué)生之間進(jìn)行相互的交流合作和自主探索，這樣就可以使有關(guān)圖形及數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)得到有效積累。例如，在教師講述正方體表面展開的過程中，首先應(yīng)讓學(xué)生對(duì)正方體進(jìn)行仔細(xì)的觀察，之后再在腦海中繪制出它的展開圖，然后動(dòng)手操作，這樣可以考查學(xué)生的圖形空間想象力。

例如在課堂上教師讓學(xué)生三角板和直尺各一個(gè)，細(xì)繩一根。讓三角板較短的直角邊完全靠在直尺邊沿上。設(shè)直角頂點(diǎn)為C。將細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處。取繩長(zhǎng)等于AC。將繩的另一端固定在點(diǎn)F處。用鉛筆尖將繩拉緊，并且筆尖始終靠在三角板的AC邊上。上下移動(dòng)三角板。這時(shí)讓同學(xué)觀察：筆尖處動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡是什么曲線？點(diǎn)M滿足的幾何條件是什么？讓兩名同學(xué)到講臺(tái)前在黑板上演示畫拋物線的過程，其他同學(xué)在前后桌四人一組親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)。通過上述實(shí)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)拋物線的直觀形象進(jìn)行觀察和類比，再結(jié)合拋物線本來的定義，讓同學(xué)們用自己的話描述出這條軌跡。等同學(xué)們完成之后在讓他們自己總結(jié)拋物線的定義，即是在平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。這樣一方面讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，另一方面讓學(xué)生在動(dòng)手的實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)以下問題，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。可以讓學(xué)生對(duì)橢圓的概念有清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和全面深刻的理解，不僅使他們知其然，更知其所以然，具體形象地學(xué)數(shù)學(xué)。

3.3化難為易，輕松學(xué)習(xí)解析幾何

由于拋物線的特點(diǎn)，許多學(xué)生認(rèn)為其單調(diào)、高深，自認(rèn)為不是學(xué)數(shù)學(xué)的料，產(chǎn)生畏難的心理甚至產(chǎn)生厭學(xué)情緒。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師應(yīng)該對(duì)癥下藥，一個(gè)重要的途徑是不讓學(xué)生感到拋物線太抽象、太難學(xué)。我們都有這樣的體會(huì)：當(dāng)我們對(duì)某種東西陌生時(shí)就會(huì)覺得很難，相反，熟悉的就會(huì)覺得比較簡(jiǎn)單。因此，我們?cè)诮探o學(xué)生新知識(shí)時(shí)，如果先仔細(xì)分析一下學(xué)生頭腦中與新知識(shí)相關(guān)聯(lián)的熟悉事物是什么，然后再?gòu)乃麄兪煜さ氖挛锍霭l(fā)，利用知識(shí)的遷移讓他們進(jìn)入一個(gè)新的領(lǐng)域，那么學(xué)生就會(huì)比較容易接受和掌握新的內(nèi)容。當(dāng)然，到底用那些熟悉的東西講拋物線的圖形與性質(zhì)，需要教師自己不斷地學(xué)習(xí)、積累和探索。如在講解拋物線時(shí)，因?yàn)閽佄锞€與雙曲線、橢圓同屬于圓錐曲線，它們的研究方法是一樣的，幾何性質(zhì)都是從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)角度研究的。然后圍繞著漸近線的各種題型展開討論，這樣就會(huì)讓學(xué)生感到容易接受取得較好的教學(xué)效果。

3.4數(shù)形結(jié)合，直觀的學(xué)習(xí)拋物線

在拋物線教學(xué)中，數(shù)與形是不可分離地結(jié)合在一起的，這是直觀與抽象、感知與思維的結(jié)合。這部分內(nèi)容，既需要從“數(shù)”的角度去理解，又需要從“形”的角度去理解；不僅要學(xué)會(huì)用它的“形”特征去理解它的“數(shù)”特征，還要學(xué)會(huì)用它的“數(shù)”特征去理解它的“形”。教師加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)理解和感悟能力的培養(yǎng)，學(xué)生對(duì)圖形的把握是指可以直觀地從圖形中提取有價(jià)值的信息，并對(duì)它們進(jìn)行合情推理。

在學(xué)習(xí)拋物線的圖像與性質(zhì)時(shí)，應(yīng)確保學(xué)生有足夠的思考想象空間，在初學(xué)拋物線的時(shí)候鼓勵(lì)學(xué)生在進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐之后思考，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)。同時(shí)還要求學(xué)生將拋物線的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，使學(xué)生解決問題的能力得到有效提高。

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