翟琬平 郜舒竹

“三角形的穩(wěn)定性”在小學(xué)階段屬于“認(rèn)識(shí)三角形”中的一個(gè)內(nèi)容。在人教版教科書(shū)中，這一內(nèi)容安排在四年級(jí)下冊(cè)。這一內(nèi)容的教學(xué)通常是通過(guò)“拉一拉”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生得到“三角形拉不動(dòng)，具有穩(wěn)定性；四邊形可以拉動(dòng)，不具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。這樣的教學(xué)其實(shí)并沒(méi)有反映出“穩(wěn)定”的數(shù)學(xué)意義。

一、“三角形穩(wěn)定性”的本質(zhì)

“穩(wěn)定”的本義是“不易傾倒”，英譯為“stability”，比如照相機(jī)三腳架能夠穩(wěn)定地立在地面上，其數(shù)學(xué)原理是三點(diǎn)能夠確定一個(gè)平面。這一含義并不是三角形穩(wěn)定性中“穩(wěn)定”的含義。三角形穩(wěn)定性中的“穩(wěn)定”英譯為“rigidity”或“rigid”，其本義是“堅(jiān)固”，表達(dá)的是“不易變形”的意思，與“柔韌（flexibility）”或者“易變形”相對(duì)。在力學(xué)中被看作物體在外力的作用下其形狀和大小絕對(duì)不變，[1]在幾何學(xué)中表達(dá)的是圖形的形狀和大小不變。

1979年，L. Asimow和B. Roth在《American Mathematical Society》雜志上發(fā)表的一篇題為“圖形的穩(wěn)定性（The Rigidity of Graphs）”的文章，其中對(duì)怎樣的圖形具有穩(wěn)定性作出了詳細(xì)解說(shuō)：我們將一個(gè)圖形看作是由頂點(diǎn)和邊組成的集合，如果這個(gè)圖形中的每?jī)蓷l連續(xù)的邊，起始于點(diǎn)P，終止于點(diǎn)Q，且這兩條邊的長(zhǎng)度保持不變（如圖1所示），那么就說(shuō)這個(gè)圖形是穩(wěn)定的。[2]也就是說(shuō)，由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成的角，由于邊可隨意旋轉(zhuǎn)，角的大小也就可以任意改變。如用第三條邊固定PQ的長(zhǎng)度，那么角的大小就被固定了。構(gòu)成的三角形的三個(gè)角都被固定后，其形狀、大小自然不會(huì)再改變。而其他多邊形，由于角度可以變化，其形狀也隨之變化，因此，這個(gè)圖形就不穩(wěn)定。

那么，如圖2所示，在任意△ABC中，保證三邊長(zhǎng)度不變，三個(gè)頂點(diǎn)分別被三邊固定，形狀和大小不能改變，符合圖形穩(wěn)定的標(biāo)準(zhǔn)，所以三角形是穩(wěn)定的。

在A. García的一篇關(guān)于二維圖形穩(wěn)定性的文章中，對(duì)如何判定圖形是否具有穩(wěn)定性進(jìn)行了進(jìn)一步闡釋：若圖形具有穩(wěn)定性，它必須由Laman圖組成。Laman圖是指：在平面內(nèi)，一類最小的具有穩(wěn)定性的圖形，其邊和頂點(diǎn)的關(guān)系是，若有n個(gè)頂點(diǎn)，則必須有2n-3條邊。若n≥3，圖形的每?jī)蓷l邊都要相連。[3]通過(guò)計(jì)算可以得出三角形的頂點(diǎn)與邊的個(gè)數(shù)及結(jié)構(gòu)都符合Laman圖的定義，所以三角形是穩(wěn)定的。四邊形若要穩(wěn)定，要有4×2-3=5條線段，為使每?jī)蓷l邊都相連，需要在其對(duì)角線處加一條邊，變成兩個(gè)三角形。同理，五邊形、六邊形均需要添加邊的條數(shù)才可以穩(wěn)定（如圖3所示）。

二、與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系

“三角形的穩(wěn)定性”在人教版教科書(shū)中位于四年級(jí)下冊(cè)第三單元第二課，是學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)概念后的第一個(gè)內(nèi)容。在學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)角、三角形、四邊形和圖形的運(yùn)動(dòng)（主要是旋轉(zhuǎn)）有了初步認(rèn)識(shí)，在四年級(jí)上冊(cè)中了解到平行四邊形易變形，為突出三角形不易變形做鋪墊。但在四年級(jí)上冊(cè)介紹梯形的時(shí)候，用梯子、隔離墩這些看似十分穩(wěn)定的實(shí)物為例引入梯形的概念，易使學(xué)生產(chǎn)生梯形同樣具有穩(wěn)定性的誤解，在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)注意到這一點(diǎn)。

“三角形的穩(wěn)定性”不僅是三角形的特性之一，其本質(zhì)更與初中將要學(xué)習(xí)的全等三角形有著緊密的聯(lián)系。雖然小學(xué)生無(wú)需掌握全等三角形的知識(shí)，但作為教師，要明確二者之間的關(guān)系，并將全等三角形的知識(shí)滲透在教學(xué)過(guò)程之中。據(jù)史料記載，第一個(gè)應(yīng)用全等三角形的人是古希臘時(shí)期的泰勒斯。他證明了第一個(gè)全等三角形的判定定理：若一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等，則這兩個(gè)三角形全等。[4]三百年后，歐幾里得在其著作《原本》中對(duì)三角形的全等進(jìn)行了整理，其中，公理4為“彼此重合的物體是全等的”；命題4、8、26提出了全等三角形的三種判定方法，即角邊角、邊邊邊、角角邊。[5]其中“邊邊邊”的判定方法與三角形的穩(wěn)定性其實(shí)就是一碼事，即如果三角形的三條邊的長(zhǎng)度固定不變，那么三角形的形狀和大小也隨之確定。

三角形的穩(wěn)定性在建筑學(xué)中的應(yīng)用眾所周知。除此之外，在外交戰(zhàn)略中也大有用處。利用三角穩(wěn)定原理處理外交事務(wù)的基本思路是：如果要建立和維持穩(wěn)定，則要努力構(gòu)建三角關(guān)系。如果要打破穩(wěn)定、防止穩(wěn)定，則要主動(dòng)破壞或制止建立三角關(guān)系。[6]

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

“三角形的穩(wěn)定性”是三角形所具有的客觀屬性，屬于規(guī)律性知識(shí)。學(xué)習(xí)目標(biāo)可以確定為“了解三角形三條邊的長(zhǎng)度確定，三角形的形狀、大小不變”。為了達(dá)到這樣的目的，可以設(shè)計(jì)如下的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在活動(dòng)中逐步認(rèn)識(shí)三角形的穩(wěn)定性。

第一是理解“穩(wěn)定性”的概念。人教版教科書(shū)中缺少對(duì)穩(wěn)定性的解釋，且上文提到四年級(jí)上冊(cè)中有從看似穩(wěn)定的物品中抽象出梯形的內(nèi)容，學(xué)生很難將“穩(wěn)定”與“形狀不變”聯(lián)系起來(lái)。所以第一個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)為：你認(rèn)為“穩(wěn)定”一詞是什么意思，請(qǐng)舉例說(shuō)明。幫助學(xué)生理解固定不變即穩(wěn)定。期間可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“圖形的穩(wěn)定指的是什么？”讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖形的穩(wěn)定指的是形狀、大小不變，為之后的探究做鋪墊。這一環(huán)節(jié)，學(xué)生需要根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)，提出想法（Inferring），從實(shí)際生活中抽象出穩(wěn)定的概念。

第二是通過(guò)操作，理解角的對(duì)邊固定角的大小，進(jìn)而了解三角形三邊的長(zhǎng)度確定三角形的形狀、大小，提出猜想。在《Mathematics for Junior High School》一書(shū)中用角的全等引入三角形的全等，[7]且上文中圖形穩(wěn)定性定義中的“兩條連續(xù)的邊”可以看作一個(gè)角。受此啟發(fā)，探索、發(fā)現(xiàn)三角形穩(wěn)定性的過(guò)程可以由角來(lái)引入，提出與“用你手中的學(xué)具制作一個(gè)角，想一想怎樣讓這個(gè)角的大小保持不變？這樣做會(huì)出現(xiàn)一個(gè)怎樣的新圖形？”類似的問(wèn)題，幫助學(xué)生確立觀察對(duì)象，由固定角的大小引出三角形。再通過(guò)如“換一條不同長(zhǎng)度的邊固定這個(gè)角，會(huì)發(fā)生什么變化？組成的圖形又會(huì)發(fā)生什么變化？”“四人一組，說(shuō)一說(shuō)通過(guò)上面的活動(dòng)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”這樣的任務(wù)讓學(xué)生在操作中體驗(yàn)三角形三邊的長(zhǎng)度與其形狀大小的關(guān)系，與第一個(gè)環(huán)節(jié)中“穩(wěn)定”的概念相聯(lián)系，通過(guò)組內(nèi)交流，提出三角形具有穩(wěn)定性的猜想。

此外，上文提到四邊形、五邊形、六邊形的形狀和大小均需要添加輔助線，變成幾個(gè)三角形后才能保持不變，布置諸如“用你手中的學(xué)具做一個(gè)四邊形，它的形狀會(huì)任意改變嗎？如果會(huì)，如何讓它的形狀保持不變？做一做五邊形、六邊形，重復(fù)上一個(gè)任務(wù)”的任務(wù)，讓學(xué)生體驗(yàn)需將多邊形分割成若干個(gè)三角形才能穩(wěn)定，進(jìn)一步體會(huì)三角形具有穩(wěn)定性。第二環(huán)節(jié)，學(xué)生需要經(jīng)歷的活動(dòng)是觀察（Observing）學(xué)具的變化，發(fā)現(xiàn)三角形邊與角、邊與形的關(guān)系；提出想法（Inferring）并相互交流（Communicating）。

第三是驗(yàn)證猜想，得出使三角形穩(wěn)定的條件，回應(yīng)學(xué)習(xí)目標(biāo)。通過(guò)完成上一環(huán)節(jié)的任務(wù)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到如果三角形三邊的長(zhǎng)度確定，這個(gè)三角形就唯一確定。本環(huán)節(jié)就要充分給學(xué)生時(shí)間去驗(yàn)證自己的結(jié)論。由于三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)與全等三角形的判定密切相關(guān)，學(xué)生在初中還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)全等三角形的判定定理，在這一環(huán)節(jié)中應(yīng)盡可能地鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的使得三角形穩(wěn)定的條件，為升入中學(xué)后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。學(xué)生經(jīng)歷的活動(dòng)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)（Experimenting），整合信息，驗(yàn)證猜想，并記錄（Recording）實(shí)驗(yàn)過(guò)程、觀察發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（記錄單見(jiàn)表1）。與全班同學(xué)進(jìn)行交流（Communicating），最終基于觀察、經(jīng)驗(yàn)、思考作出判斷（Judgment）。教師在組織學(xué)生進(jìn)行小組合作的時(shí)候，應(yīng)明確要求和紀(jì)律，幫助小組長(zhǎng)分好工，讓每個(gè)小組成員都有作出貢獻(xiàn)的機(jī)會(huì)。

結(jié)論

第四是對(duì)三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用。由于每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力不同，在應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)進(jìn)行分層設(shè)計(jì)，使不同程度的學(xué)生都能得到發(fā)展。針對(duì)學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，設(shè)計(jì)諸如“列舉生活中利用三角形穩(wěn)定性制成的物品”的活動(dòng)。針對(duì)中等水平的學(xué)生，設(shè)計(jì)類似“利用三角形的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)一個(gè)物品，畫(huà)出你的設(shè)計(jì)圖，講出設(shè)計(jì)思路和用途”的開(kāi)放性活動(dòng)。針對(duì)程度較好的學(xué)生，利用三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)與外交策略的聯(lián)系，將其他學(xué)科的知識(shí)融入其中，設(shè)計(jì)更加開(kāi)放的活動(dòng)。例如，今年恰逢萬(wàn)隆會(huì)議舉辦60周年，這個(gè)會(huì)議在歷史上有重要的地位，讓學(xué)生分小組查閱資料，利用今天所學(xué)的知識(shí)，想一想作為一名外交官在萬(wàn)隆會(huì)議上發(fā)言，將如何分析我國(guó)的外交策略？這個(gè)任務(wù)也可聚焦為分析中美俄三大國(guó)關(guān)系。作業(yè)的層次可以全部由學(xué)生自主選擇，也可以由教師根據(jù)學(xué)生本節(jié)課的整體接受程度和資源配備情況來(lái)確定其中的兩個(gè)任務(wù)，再由學(xué)生選擇一個(gè)完成。這一環(huán)節(jié)學(xué)生經(jīng)歷的活動(dòng)因任務(wù)的不同而不同，最好能作為作業(yè)讓學(xué)生利用課余時(shí)間完成，再利用一節(jié)課的時(shí)間進(jìn)行匯報(bào)。

以上設(shè)計(jì)可以用表格（見(jiàn)表2）清晰地呈現(xiàn)出來(lái)。

在三角形穩(wěn)定性教學(xué)中，教師要使學(xué)習(xí)活動(dòng)既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律又符合數(shù)學(xué)本質(zhì)，并且讓學(xué)生的觀察、操作等學(xué)習(xí)活動(dòng)與數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立關(guān)聯(lián)，從而使學(xué)生正確掌握三角形的穩(wěn)定性的概念。綜觀本節(jié)課的設(shè)計(jì)，將更多的時(shí)間留給了學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識(shí)方面，理解了三角形三條邊的長(zhǎng)度確定，三角形的形狀、大小不變，并對(duì)全等三角形的判定定理有了初步認(rèn)識(shí)。在個(gè)人能力方面，小組合作時(shí)既有分工又有共同探究，提高學(xué)生的溝通、協(xié)作能力。最后環(huán)節(jié)學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)程度和意愿自由選擇作業(yè)，尊重、信任學(xué)生，鍛煉自主能力；選擇“外交官”作業(yè)的學(xué)生要查閱資料、深入思考，提出自己的見(jiàn)解，鍛煉了學(xué)生進(jìn)行批判性思維的能力。

需要指出的是，任何知識(shí)的教學(xué)方法不可能是唯一確定的。教師需要針對(duì)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況，選擇或者設(shè)計(jì)最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王同億，主編譯.英漢辭海下冊(cè)[S].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000.

[2] L. Asimow ， B.Roth. The Rigidity of Graphs[J]. American Mathematical Society，1979.

[3] A. García ， J. Tejel. Augmenting the Rigidity of a Graph in R2[J]. Springer Science and Business Media， 2009（3）.

[4] 徐傳勝.全等三角形判定的歷史追溯[J].中學(xué)生數(shù)理化，2014（7-8）.

[5] 歐幾里得著.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.幾何原本[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[6] 吳殿廷，等.三角穩(wěn)定原理與中國(guó)的外交策略[J]. 北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（2）.

[7] Anderson R. D. Mathematics for Junior High School（Volume 2）[M]. Yale University Press， 1960.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）