張明軍 顧偉民

隨著第二輪課程改革的深入，拓展性課程的開發(fā)也越來越受到學(xué)校與教師的重視，它的數(shù)學(xué)教育價值也越來越受到一線教師的肯定。對此，筆者執(zhí)教了“韓信分油”一課，進行了一次拓展性內(nèi)容的課堂教學(xué)嘗試，具體執(zhí)教思路有以下幾個方面。

一、選材，鑿鑿有據(jù)

為什么要選擇“韓信分油”作為拓展性教學(xué)內(nèi)容呢？在選課開始，筆者就考慮教學(xué)的內(nèi)容一定要源于教材，于是將目光投向教材的“邊角料”。人教版五上教材第10頁有一道思考題，題目是：有兩個水桶，小水桶能盛水4千克，大水桶能盛水11千克。不用秤稱，應(yīng)該怎樣使用兩個水桶盛出5千克水？筆者通過分析與實踐，發(fā)現(xiàn)此題在培養(yǎng)學(xué)生模型思想、發(fā)展抽象思維、提升有序思考能力方面有很高的價值。那如何包裝一下呢？

近幾期的前沿數(shù)學(xué)雜志都在探討數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義。特別是數(shù)學(xué)歷史名題，有利于營造一種探索與研究的課堂氣氛，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，極大地調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性，從而完成其蘊含的數(shù)學(xué)方法的傳授、思想方法的滲透。

因此，筆者又將目光聚焦在古代的經(jīng)典趣題上。數(shù)學(xué)史上最早記載的有關(guān)分油問題的是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家馮坦那提出的：有8斤香油一瓶，想從中倒出4斤，但沒有4斤的容器，僅有一個5斤裝、一個3斤裝的空油瓶，問如何倒，僅用這兩個油瓶從8斤的瓶中倒出4斤油？

正好我國也有這樣一個流傳已久，被稱作“韓信分油”的算術(shù)游戲：“3斤葫蘆、7斤罐、10斤油簍分一半”，就是利用3斤、7斤和10斤這樣三種容器來分出兩個5斤。因此，便有“韓信分油”這一教學(xué)內(nèi)容。

二、拓展，各有所得

對于五上教材中本內(nèi)容的設(shè)計意圖，教參說明如下：要求學(xué)生應(yīng)用圖示、想象等模擬操作方法，解決問題，是對學(xué)有余力的學(xué)生提供的思維訓(xùn)練。 教材的定位是“就題論題”，多數(shù)一線教師對于本內(nèi)容的教學(xué)也僅僅停留于此。但源于歷史名題的這一內(nèi)容，其蘊含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，真的讓人無法割舍。因此，筆者想立足教材，“借題發(fā)揮”一下，通過“韓信分油”的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，重點培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，發(fā)展抽象思維的能力。

那么，拓展的對象該如何確定？是按教參所說面向?qū)W有余力的學(xué)生，還是面向全體？經(jīng)過激烈的思想斗爭，最終覺得還是面向全體的意義更大。華師大鐘啟泉教授在《靜悄悄的課堂革命》報告中也提出，第八次課程改革的理念：為了中華民族的偉大復(fù)興，為了每位學(xué)生的發(fā)展。我們無法剝奪孩子的學(xué)習(xí)權(quán)。

因此，本次拓展性教學(xué)要讓不同的孩子有不同的收獲與發(fā)展。要讓部分孩子感受數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;也要讓部分孩子經(jīng)歷生活問題“數(shù)學(xué)化”的過程，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;更要讓盡量多的孩子優(yōu)化思維，學(xué)會用表格法與算式來解決“分油問題”，發(fā)展模型思想。

三、分油，分出智慧

和所有教師一樣，剛開始對“韓信分油”的分法有一點茫然，沒有目標(biāo)感，只是機械地往下分，直到分出5斤為止。如果僅僅是這樣，經(jīng)典題所具有的數(shù)學(xué)的魅力、蘊含的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想如何體現(xiàn)？教師尚且如此，學(xué)生勢必更加混沌。

因此，必須要深入思考分油問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。通過分析，分油問題可以借助模型7A-3B=5或3B-7A=5來解決：即幾個7和幾個3的差（或幾個3與幾個7的差）可以得到5。這可以為學(xué)生提供分油的策略、思路。余下的只要借助表格法來實施具體的分油過程即可。

由此可見，教學(xué)中需要突破的就是引導(dǎo)學(xué)生嘗試用算式模型勾畫分油思路，再借助表格法進行描述、驗證。所以要精心設(shè)計教學(xué)流程，讓分油的過程具有方向性、簡潔性。使學(xué)生學(xué)習(xí)韓信分油，分出智慧！

第一步：嘗試著分

客觀地說，韓信分油對于學(xué)生有較大的挑戰(zhàn)性。所以故事引入后，引導(dǎo)學(xué)生難的不會就想簡單的，體現(xiàn)由易及難的思想。并巧妙借鑒馮坦那的分油問題里的數(shù)據(jù)，出示小河邊有容量分別為5升和3升的兩個空桶，你能獲得幾升的水？有的說5+3=8升，有的說5-3=2升，還有的說能得到1升。這一過程看似隨意，實則是讓學(xué)生借助已有的經(jīng)驗，思考、經(jīng)歷簡單的模擬分的過程，獲得一定的體驗。有了初步的嘗試，學(xué)生就有話能說。

第二步：比較著分

要求學(xué)生嘗試用簡潔、明了的方式記錄自己的模擬操作獲得1升的過程。根據(jù)學(xué)生最典型的三種記錄方式：文字描述法、圖示法和簡易表格式。引導(dǎo)學(xué)生分析比較，感受表格法的簡潔，完成對學(xué)生抽象思維的優(yōu)化。并在此基礎(chǔ)上再現(xiàn)表格記錄全過程，力爭簡潔、規(guī)范、有序。至此，通過比較，大部分學(xué)生對于表格法記錄應(yīng)該說已經(jīng)比較清楚。但不能只滿足于此，要求學(xué)生再次觀察表格記錄的操作過程，用一個更簡單的算式來概括，引領(lǐng)學(xué)生從表格到算式，再從算式回到表格，從具體到概括，從算式到意義，讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)的簡潔美，感受算式模型的魅力。

第三步：模仿著分

剛才是3升桶取水，5升桶倒水?，F(xiàn)在要求學(xué)生用5升桶取水，3升桶倒水，合理遷移，合情模仿。允許一部分學(xué)生選用算式想象著分，一部分學(xué)生選用表格具體地模擬著分，但無論哪一種方式分，都能做出合理的解釋。當(dāng)然，反饋的過程中要表揚既選擇算式又用表格法的同學(xué)。因為，這是為下一環(huán)節(jié)鋪墊。

第四步：有序地分

如果取水4升，可以怎么思考？這樣的安排原因有三：①能力強的孩子會在前面1升的基礎(chǔ)上再取一次3升即可;②相信大多數(shù)學(xué)生會選擇重頭來過，通過追問一句“你先想到算式還是表格”，來引導(dǎo)學(xué)生先思考再驗證;③順便解決16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家馮坦那的“分油問題”。前兩種都側(cè)重于算式與表格的相互說明，引導(dǎo)學(xué)生有序分油。

第五步：靈活地分

學(xué)到這里，學(xué)生會借助5升桶和3升桶倒出1升和4升水的。這與韓信分油到底有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？抓住這一要點鼓勵學(xué)生自己去觀察分析。學(xué)生說現(xiàn)在有3個容器。師追問：那剛才呢？立馬會有學(xué)生說，剛才也是3個容器，可以把池子看作是一個很大的容器。讓學(xué)生明白其實這個簍子相當(dāng)于剛才題目中的池子，倒來倒去時可以忽略10斤簍這一容器，主要目標(biāo)是空著的7斤罐和3斤葫蘆就行。分析到這里，學(xué)生一下子釋然了，感覺有勁了，自然會靈活地分油了。

對于拓展性課程的教學(xué)，拓展的對象要面向全體，實現(xiàn)不同層次的發(fā)展;選材，要面向教材，巧妙借助數(shù)學(xué)名題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透數(shù)學(xué)思想;教學(xué)，要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，精心設(shè)計，才能使拓展走向?qū)嵭А?/p>

（浙江省余姚市東風(fēng)小學(xué)教育集團 ? 315400）