劉道梅

對(duì)于高中生來講，雖然已經(jīng)掌握了平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，但要進(jìn)一步學(xué)好立體幾何并不容易.因?yàn)閺钠矫嬗^念過渡到立體觀念，即：平面上的“立體”感，對(duì)一般學(xué)生來說，困難較多.原因是立體幾何比平面幾何研究的基本對(duì)象多了一個(gè)“面”，而這多出的一個(gè)“面”，使得在平面幾何中點(diǎn)和直線之間的三種位置關(guān)系（即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、直線與直線）拓展為立體幾何中點(diǎn)、直線和平面之間的六種位置關(guān)系.在教學(xué)中，學(xué)生把空間角看做平面角、不會(huì)在紙上畫立體圖形等現(xiàn)象頻頻出現(xiàn)，影響了學(xué)習(xí)的積極性和效果，甚至使一些學(xué)生畏懼這門課.針對(duì)教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常發(fā)生的這些問題，筆者認(rèn)為，要學(xué)好立體幾何，必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生空間想象力、邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)，才能有效突破立體幾何學(xué)習(xí)瓶頸.

一、建立立體觀念，培養(yǎng)空間想象力

做到能想象出空間圖形并把它畫在一個(gè)平面（如紙面或黑板）上，能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形想象出原來空間圖形的真實(shí)形狀.為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)動(dòng)手制作一些簡單的實(shí)物模型，如直線、平面、正方體、長方體等，或觀察所坐的教室，直觀地感受點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，逐步培養(yǎng)自己對(duì)空間圖形的想象能力和識(shí)別能力，想象這些圖形畫在紙上是什么模樣的；同時(shí)要掌握畫直觀圖的規(guī)則，掌握實(shí)線、虛線的使用方法，可從簡單的圖形（如直線和平面的各種位置關(guān)系）、簡單的幾何體（如正方體）畫起，由對(duì)照模型畫圖，逐步過渡到?jīng)]有模型擺在面前，也能正確地畫出空間圖形的直觀圖，而且能由直觀圖想象出空間圖形.在這個(gè)“想圖、畫圖、識(shí)圖”的過程中，不僅空間想象能力得到提高，抽象思維能力也得到很大提高.

二、依據(jù)公理、定理，培養(yǎng)邏輯推理方法能力

立體幾何的研究方法與平面幾何類似，即培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在立體幾何證明的過程中，常出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤：一個(gè)是學(xué)生邏輯思維能力差而導(dǎo)致的證題思路上的錯(cuò)誤，另一個(gè)是學(xué)生的語言表達(dá)能力差而導(dǎo)致的書面表達(dá)上的錯(cuò)誤.例如立體幾何課本第5頁公理3的推論1：“經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.”學(xué)生常常這樣證明：A是直線a外一點(diǎn)，在a上任取兩點(diǎn)B、C，則A、B、C三點(diǎn)不共線.根據(jù)公理3，經(jīng)過不共線三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面a，又點(diǎn)B、C都在平面a內(nèi)，即過直線a和點(diǎn)A有且只有一個(gè)平面.當(dāng)然，這樣證明是不全對(duì)的，它的證明過程有這樣一個(gè)邏輯錯(cuò)誤：即把過A、B、C三點(diǎn)的平面構(gòu)成的集合與過直線a和點(diǎn)A的平面構(gòu)成的集合先承認(rèn)是兩個(gè)相等的集合，從而由第一個(gè)集合有且只有一個(gè)元素導(dǎo)出第二個(gè)集合有且只有一個(gè)元素.正確的邏輯推理應(yīng)該是這樣的：先證明上面的第二個(gè)集合包含于第一個(gè)集合，從而由第一個(gè)集合有且只有一個(gè)元素導(dǎo)出第二個(gè)集合最多只一個(gè)元素；其次證明第二個(gè)集合確實(shí)只有一個(gè)元素，最后得出第二個(gè)集合有且只有一個(gè)元素的結(jié)論.

由此不難看出，要學(xué)好立體幾何，必須注重邏輯推理能力的培養(yǎng)，那些看起來簡單的基本概念、公理和定理，不僅要理解它們，還要熟練地記憶它們，掌握它們之間的聯(lián)系.同時(shí)對(duì)基礎(chǔ)的題目必須從一開始就認(rèn)真書寫證明（或求解）過程，包括已知、求證、證明、作圖等，證明過程要特別注意所運(yùn)用的公理、定理的條件，符號(hào)表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論.在論證問題時(shí)，思考應(yīng)多用分析法，即逐步找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法，掌握定理證明的邏輯推理過程及滲透的教學(xué)方法.

三、舉一反三，培養(yǎng)“化歸”、“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)能力

解立體幾何的問題，要充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的.例如：面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化.同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直.通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以大大簡化.如將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，又如將求點(diǎn)到平面距離的問題，或轉(zhuǎn)化為求直線到平面距離的問題，再繼而轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面距離的問題；或轉(zhuǎn)化為體積的問題.一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋求正反兩個(gè)方面的知識(shí)銜接點(diǎn)——一個(gè)固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系.在求異面直線所成的角時(shí)可以通過找或作平行線轉(zhuǎn)化為平面幾何的知識(shí).

上述三種能力的培養(yǎng)，是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)、不可分割的.同時(shí)在對(duì)學(xué)生這些能力的培養(yǎng)中應(yīng)循序漸進(jìn)、堅(jiān)持不懈，把對(duì)這些能力的培養(yǎng)貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的全過程.