戴鋒

【摘要】 筆者在本文中由一道考試題展開論述，并提出了自己的一些思考。

【關(guān)鍵詞】 考試題 教學方法 思考

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）04-076-01

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一、問題的提出：

考試題目：求函數(shù)y=（cosx+1）（sinx+1）的值域。

高一學生剛學過必修4三角函數(shù)的學生，600人參考，能完全解決該題的只有83人，解答的正確率不高。從學生的解答情況看，在解答正確的學生中，大多數(shù)用的換元法解決的，而沒有解決的學生基本都能化簡到y(tǒng)=sinxcosx+sinx+cosx+1（*）。詢問做對的同學怎么想到解決問題的方法時，他們中大多數(shù)的回答是老師教的，用換元法做。至于為什么這樣做？或者怎么想到這樣做？他們都講不清楚。這值得我們老師反思，為什么會出現(xiàn)這樣的情況？

筆者和幾位老師交流，多數(shù)老師在講解該題時直接告訴學生用換元法，并沒有幫學生分析清楚為什么用換元法。大多數(shù)老師認為無需多啰嗦，這種題只要記得就行了。那這道題可不可以分析一下解法的來由呢？

二、對問題的幾點思考：

思考一：

函數(shù)（*）式中出現(xiàn)了sinxcosx和sinx+cosx，從次數(shù)上看，sinxcosx是二次，而sinx+cosx是一次，那么函數(shù)（*）就是一個矛盾的組合體，如何解決這一矛盾呢？我們還得從他們的次數(shù)入手，必須將2個矛盾的部分統(tǒng)一。是統(tǒng)一成一次還是統(tǒng)一成二次呢？經(jīng)過推敲，很快可以想到，統(tǒng)一成二次比較方便。只需平方即可，再借助于我們熟知的sin2x+cos2x=1，矛盾可以統(tǒng)一。這一思維過程的構(gòu)建，就是“換元法”的本質(zhì)所在。

由以上分析，只要抓住主要矛盾，令sinx+cosx=t，平方得到：sinxcosx=t2-12，這樣（*）就變成了一個二次函數(shù)y=t2-12+t+1，當然t的范圍也是一個小小的坎，只要越過這個小小的坎，問題就不在話下了。

思考二：

在解題的過程中，也有不少同學沒有想到換元，而是試著把sinx+cosx=2sin（x+π4），將sinxcosx=12sin2x，接下來就做不下去了。那我們能不能沿著這種思路考慮下去呢？考慮到出現(xiàn)了2個不同的角x+π4和2x，倘若我們能將這2個角統(tǒng)一的話就好了。角x+π4和2x有什么關(guān)系呢？有！2x+π4=2x+π2，所以函數(shù)

y=sin2x2+2sinx+π4+1

=-cos2（x+π4）2+2sinx+π4+1

=2sin2x+π4-12+2sinx+π4+1

=sin2x+π4+2sinx+π4+12

下面問題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，應(yīng)該不難解決。實際上，在教學過程中，很多教師并沒有發(fā)現(xiàn)這一“起死回生”的解法，甚至扼殺了讓學生尋找變量之間關(guān)系的良好機會。所以我們老師講解這一題時，并不一定要逼著學生往“換元法”上走。以上突破過程，比固定模式的的換元法更有意義，更能讓學生留下深刻的印象，也是讓學生進行思維提升的良好素材。

思考三：

以上我們拿到式子后就將式子展開，是否一定要展開呢？展開之前有2個式子cosx+1和sinx+1，而展開后出現(xiàn)了sinx，cosx和sinxcosx三個式子，變多了。能不能不展開直接處理呢？式子中出現(xiàn)了sinx與cosx，它們能否統(tǒng)一成同一個函數(shù)呢？

我們可以想到萬能代換，sinx和cosx這2個異名函數(shù)都可以統(tǒng)一成tanx2，即

y=2tanx21+tan2x2+11-tan2x21+tan2x2+1=21+tanx221+tan2x22

不難想到，下面可以用求導求函數(shù)的最值，剩下的就是計算了！

三、對我們教學的啟示：

以上三種思考體現(xiàn)了對同一問題的不同視角，貫穿始終的就是化歸思想。

至此，我們冷靜地思考一下平時的教學，我們教師是不是講得太多，學生參與思維的體驗太少了？在教學過程中如何突顯學生的主體地位？我們教師如何做一個出色的組織者，引導者，讓學生通過親身經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生過程。從而加深對數(shù)學知識的理解。

在平時教學過程中，我們有沒有在新課程理念的指導下組織教學。對于那種“灌輸式”、“填鴨式”教學，學生依然是被動式接受，學生并不能從數(shù)學學習中體會到數(shù)學的本質(zhì)，而是一種死記硬背式的學習，這并不符合建構(gòu)主義的認知規(guī)律。這就意味著我們教師要從關(guān)注教學內(nèi)容的結(jié)論性向關(guān)注知識生成的過程性上轉(zhuǎn)變，教師應(yīng)該通過合理的數(shù)學活動讓學生在其最近發(fā)展區(qū)感悟數(shù)學知識的生成，這樣的數(shù)學教學活動才能使學生留下深刻的印象。

作為老師，我們要幫組學生從“死胡同”里走出來或者越過去，這個過程需要老師的正確引導，需要師生的共同分析。這一過程處理得好，可以激發(fā)學生的學習動機，塑造學生良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。