王旭，林忠義，尤云祥

(1.上海交通大學(xué)海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240;2.嘉興南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江嘉興314003)

Spar平臺(tái)是當(dāng)今深海資源開發(fā)中的主力深海平臺(tái)之一，由于通常永久系泊于特定海域進(jìn)行作業(yè)，海洋環(huán)境對(duì)其安全性有很大影響，因此必須對(duì)其在各種海洋環(huán)境中下的水動(dòng)力性能進(jìn)行研究［1］。南海油氣資源豐富，已成為我國深海資源開發(fā)的主戰(zhàn)場(chǎng)，但南海內(nèi)孤立波活動(dòng)頻繁。1990年，在流花油田就曾發(fā)生過因內(nèi)孤立波導(dǎo)致纜繩拉斷、船體碰撞，甚至拉斷和擠破漂浮軟管的事故［2］。同年，在南海陸豐油田也發(fā)生過因內(nèi)孤立波導(dǎo)致半潛鉆井船與錨定油輪在連接輸油管道時(shí)發(fā)生困難等問題［3］。因此，內(nèi)孤立波已成為南海深海資源開發(fā)中需要考慮的海洋環(huán)境因素之一。內(nèi)孤立波是一種最大振幅發(fā)生在密度穩(wěn)定層化海洋內(nèi)部的波動(dòng)，由于非線性和色散效應(yīng)在一定尺度上的平衡，在其傳播過程中可以保持波形和傳播速度不變，一般地可以用 KdV(Korteweg-de Vries)、eKdV(extended KdV)［4］和MCC(Miyata-Choi-Camassa)［5］等理論模型來描述。這3類理論中弱非線性和弱色散這2個(gè)條件僅僅為定性描述，為此，黃文昊等以系列實(shí)驗(yàn)為依據(jù)給出了這兩個(gè)條件的定量表征方法［6］。

直立圓柱型結(jié)構(gòu)是Spar等各種深海平臺(tái)的主體結(jié)構(gòu)形式，因此研究內(nèi)孤立波作用下直立圓柱體的載荷特性，具有現(xiàn)實(shí)的理論和工程意義。程友良等［7］和蔡樹群等［8-9］將Morison公式與KdV理論結(jié)合，而Xie等［10］則將Morison公式與MCC理論結(jié)合，研究了內(nèi)孤立波作用下直立圓柱體的載荷特性問題。尤云祥等［11-12］將Morison公式與eKdV理論結(jié)合，研究了內(nèi)孤立波作用下張力腿和半潛式平臺(tái)的載荷與動(dòng)力響應(yīng)問題，而宋志軍等［13］則將Morison公式與KdV理論結(jié)合，研究了內(nèi)孤立波作用下Spar平臺(tái)的載荷與動(dòng)力響應(yīng)問題。需要指出的是，在這些文獻(xiàn)中，關(guān)于Morison公式中慣性力和拖曳力系數(shù)都是參照表面波的方法選取的，但這種選取方法缺乏理論和實(shí)驗(yàn)依據(jù)。為此，黃文昊等以系列實(shí)驗(yàn)為依據(jù)對(duì)圓柱型結(jié)構(gòu)及張力腿平臺(tái)給出了這兩個(gè)系數(shù)的選取方法［14-15］。計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics，CFD)應(yīng)用方面，關(guān)輝等［16-18］分別利用 KdV、MCC、eKdV 理論解作為初始條件，采用CFD方法分別研究了內(nèi)孤立波作用下水下潛體和海洋立管的載荷特性等問題。但需要指出的是，在這些文獻(xiàn)中，由于沒有考慮KdV、eKdV和MCC理論的適用性條件等問題，致使其數(shù)值模擬結(jié)果均不同程度地出現(xiàn)了內(nèi)孤立波振幅及其波形不可控等問題。

鑒于此，本文采用Navier-Stokes方程，結(jié)合文獻(xiàn)［6］中提出的KdV、eKdV和MCC理論的適用性條件，建立振幅及其波形可控的內(nèi)孤立波CFD數(shù)值模擬方法。對(duì)內(nèi)孤立波與直立圓柱體的相互作用特性進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)而分析內(nèi)孤立波作用下直立圓柱體各種載荷成分的形成機(jī)理及其影響程度，直立圓柱體對(duì)內(nèi)孤立波的波形及其流場(chǎng)特性的影響，以及Morison公式的適用性等問題。

1 數(shù)值方法

考慮兩層流體中內(nèi)孤立波與直立圓柱體的相互作用問題。設(shè)各層均為不可壓流體，上層流體深度與密度分別為h1和ρ1，下層流體深度與密度分別為h2和ρ2。內(nèi)孤立波為平面前進(jìn)波，界面位移為ζ，沿ox軸正方向傳播，圓柱體直徑為D，吃水為d。建立直角坐標(biāo)系oxyz，其中oxy平面位于流體靜止時(shí)兩層流體的界面上，oz軸與圓柱體中心軸重合且以豎直向上為正。

采用求解Navier-Stokes方程的方法對(duì)內(nèi)孤立波誘導(dǎo)流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，其中流場(chǎng)控制方程為

式中:(u1，u2，u3)為速度，p為動(dòng)壓力，t為時(shí)間，ρ為流體密度，當(dāng) ζ＜z＜h1時(shí)，ρ=ρ1;當(dāng)-h2＜z＜ζ時(shí)，ρ=ρ2。

將圓柱體直立置于兩層流體中，圓柱體壁面取為無滑移不可穿透邊界條件，而水面和水底要求滿足如下壁面條件:

流場(chǎng)計(jì)算的控制區(qū)域如圖1所示，包括內(nèi)孤立波生成傳播區(qū)和消波區(qū)2個(gè)區(qū)域。采用速度入口方法生成內(nèi)孤立波，當(dāng)造波區(qū)中形成穩(wěn)定的內(nèi)孤立波后，對(duì)所生成內(nèi)孤立波的傳播特性進(jìn)行監(jiān)測(cè)分析，并對(duì)直立圓柱體的內(nèi)孤立波載荷進(jìn)行計(jì)算。設(shè)相速度為c，則其誘導(dǎo)上下層流體中的層深度平均水平速度分別為［5］

速度入口處速度分布為:在上層流體入口處，速度取為u-

1;在下層流體入口處，速度取為u-2。在內(nèi)孤立波生成與傳播過程中，兩層流體的界面會(huì)發(fā)生變化，采用VOF(volume of fluid)方法追蹤兩層流體界面的變化。利用海綿層消波方法對(duì)水槽尾部的內(nèi)孤立波進(jìn)行消波處理，該方法在消波區(qū)中通過在動(dòng)量方程右端添加源項(xiàng)-μ(x)ui的方式實(shí)現(xiàn)，其中μ(x)為海綿層衰減系數(shù)。

圖1 數(shù)值水槽示意圖Fig.1 Schematic diagram of numerical flume

直立圓柱體的內(nèi)孤立波水平力由摩擦力和壓差力組成:

直立圓柱體的內(nèi)孤立波垂向力同樣由表面摩擦力和壓差力組成，如下:

式中:S為直立圓柱體浸濕側(cè)表面積;式中第一項(xiàng)為直立圓柱體側(cè)表面和底部的載荷摩擦力;第二項(xiàng)為直立圓柱體側(cè)表面的載荷壓差力;Ut為表面切向速度，(nx，ny，nz)為直立圓柱體表面法向分量，正方向指向直立圓柱體內(nèi)部。

在數(shù)值模擬中，如何選擇合適的內(nèi)孤立波理論來計(jì)算入口速度是一個(gè)需要解決的關(guān)鍵問題。為此，定義非線性參數(shù) ε=a/h和色散參數(shù) μ=(h/λ)2，其中λ為內(nèi)孤立波特征寬度。根據(jù)上下層流體深度、密度及內(nèi)孤立波振幅等條件，利用KdV、eKdV和MCC理論解，分別計(jì)算相應(yīng)的內(nèi)孤立波非線性參數(shù)ε和色散參數(shù)μ，根據(jù)文獻(xiàn)［6］中3類內(nèi)孤立波的適用性條件，入口速度(3)的計(jì)算方法如下。

利用商業(yè)軟件Fluent進(jìn)行數(shù)值模擬與分析。采用有限體積法離散動(dòng)量和連續(xù)性方程，對(duì)流項(xiàng)離散采用QUICK(quadratic upstream interpolation for convective kinetics)格式，壓力插值格式采用徹體力加權(quán)(body force weighted)方法，壓力速度耦合迭代采用PISO(pressure implicit with splitting of operators)算法，兩層流體界面的構(gòu)造方法選用幾何重構(gòu)法。初始時(shí)間步長為Δt=0.005 s，計(jì)算過程中根據(jù)每個(gè)時(shí)間步長的收斂情況逐漸增加時(shí)間步長以縮短計(jì)算時(shí)間。

2 結(jié)果與分析

文獻(xiàn)［14］利用大型密度分層水槽，對(duì)內(nèi)孤立波作用下直立圓柱體的載荷特性進(jìn)行了系列實(shí)驗(yàn)。其中，圓柱體直徑D=0.15 m，吃水d=0.535 m，實(shí)驗(yàn)水槽長為30 m，水深為1 m，上下層流體密度分別為ρ1=998 kg/m3和ρ2=1 025 kg/m3，上下層流體深度比分別為h1∶h2=1 ∶9、2 ∶8、3 ∶7，本文將結(jié)合該文獻(xiàn)中的相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬與分析。為此，數(shù)值水槽主尺度、上下層流體密度及其深度比均與該文一致。在數(shù)值模擬中，內(nèi)孤立波生成傳播區(qū)的長度為18 m，而消波區(qū)的長度為12 m，圓柱體中心軸距速度入口端9 m。計(jì)算區(qū)域采用六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行離散，沿圓柱體周向的單元數(shù)為80個(gè)，總的單元數(shù)量為1 468 472個(gè)。

2.1 內(nèi)孤立波數(shù)值模擬結(jié)果

對(duì)內(nèi)孤立波生成傳播特性進(jìn)行數(shù)值模擬與分析。在利用CFD方法對(duì)內(nèi)孤立波進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，流體粘性對(duì)其生成與傳播特性的影響是一個(gè)需要重點(diǎn)考慮的重要問題。為此，在數(shù)值模擬中考慮了如下兩種情況:一種為考慮流體粘性的情況，運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)取為ν=1.0×10-6m2/s，稱為 N-S模擬;另一種為不考慮流體粘性的情況，即運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)取為ν=0，稱為Euler模擬。

圖2中給出了當(dāng)h1∶h2=3∶7和ad/h=0.101時(shí)，采用N-S方程和Euler方程對(duì)內(nèi)孤立波生成與傳播特性的數(shù)值模擬結(jié)果，其中ad為內(nèi)孤立波設(shè)計(jì)振幅。由圖可知，在入口處上層流體向右而下層流體向左運(yùn)動(dòng)過程中，為保持流體質(zhì)量的守恒，上層流體產(chǎn)生向下塌陷現(xiàn)象，形成一個(gè)下凹型鼓包;在約化重力作用下凹型鼓包逐漸形成一個(gè)向水槽右方傳播的內(nèi)孤立波，在有粘和無粘兩種情況下，數(shù)值模擬所得內(nèi)孤立波在其傳播過程中均保持波形穩(wěn)定、振幅衰減很小，沒有明顯的尾波現(xiàn)象。結(jié)果表明，在有粘和無粘兩種情況下，數(shù)值模擬所得內(nèi)孤立波振幅與其設(shè)計(jì)振幅的相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)，因此對(duì)內(nèi)孤立波的CFD數(shù)值模擬，采用基于N-S和Euler方程的兩種方法均是合適與可靠的。為此，在下文中，如無特別聲明，所有數(shù)值模擬均是在有粘情況下進(jìn)行的。

圖2 兩種不同模擬工況下內(nèi)孤立波數(shù)值模擬結(jié)果Fig.2 The numerical results for internal solitary wave waveforms between two cases

圖3 內(nèi)孤立波波形數(shù)值模擬結(jié)果與理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.3 Comparisons of the numerical results for internal solitary wave waveforms with theoretical and experimental ones

圖3給出了在3種工況下，內(nèi)孤立波波形的數(shù)值模擬結(jié)果，并與相應(yīng)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果取自文獻(xiàn)［14］。其中，工況A為h1∶h2=3∶7和ad/h=0.101，此時(shí)內(nèi)孤立波為中等非線性和弱色散的，選擇eKdV理論計(jì)算入口速度;工況B為h1∶h2=2∶8和ad/h=0.052，此時(shí)內(nèi)孤立波為弱非線性和弱色散的，選擇KdV理論計(jì)算入口速度;工況C為h1∶h2=1∶9和ad/h=0.086，此時(shí)內(nèi)孤立波為強(qiáng)非線性和弱色散的，選擇MCC理論計(jì)算入口速度。結(jié)果表明，在各工況下，數(shù)值模擬所得內(nèi)孤立波的波形，不僅與初始內(nèi)孤立波理論解波形一致，而且與實(shí)驗(yàn)所得波形吻合，這表明依據(jù)3類內(nèi)孤立波理論的適用性條件，采用本文所述數(shù)值模擬方法所得內(nèi)孤立波的波形是準(zhǔn)確可控的。

2.2 內(nèi)孤立波載荷特性

為后文陳述方便，記Fx、Fz和My分別為內(nèi)孤立波作用下直立圓柱體的水平力、垂向力及其力矩，其中力矩轉(zhuǎn)動(dòng)中心至圓柱體底部距離為d-=d+0.15。定義和分別為無因次內(nèi)孤立波水平力、垂向力及其力矩。

圖4 內(nèi)孤立波無因次水平力、垂向力及其力矩幅值數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.4 Results of numerical and experimental amplitudes for dimensionless loads(horizontal forces，vertical forces，torques)due to internal solitary waves

圖5給出了在A工況下，內(nèi)孤立波無因次水平力、垂向力及其力矩時(shí)歷的數(shù)值模擬結(jié)果，并與文獻(xiàn)［14］中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。由圖可知，直立圓柱體內(nèi)孤立波載荷時(shí)歷數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)時(shí)歷結(jié)果吻合，表明采用本文所述直立圓柱體內(nèi)孤立波載荷的計(jì)算方法合理可行。結(jié)果同時(shí)表明，對(duì)水平力、垂向力絕對(duì)值及其力矩，在內(nèi)孤立波波谷到達(dá)直立圓柱體中心軸之前的某個(gè)時(shí)刻達(dá)到其最大值，在該時(shí)刻之前隨時(shí)間增加而增大，在該時(shí)刻之后則隨時(shí)間增大而減小;在A工況下，直立圓柱體底部始終位于內(nèi)孤立波的波面下方，由于在波面下方內(nèi)孤立波誘導(dǎo)水平速度方向與其傳播方向相反，因此波面下方的流體動(dòng)壓力是負(fù)的，從而導(dǎo)致直立圓柱體的垂向力是負(fù)值。

圖5 Case A工況內(nèi)孤立波無因次水平力、垂向力及力矩時(shí)歷特性Fig.5 The time-variant characteristics for dimensionless loads(horizontal forces，vertical forces，torques)due to internal solitary waves for Case A

下面考慮直立圓柱體內(nèi)孤立波水平和垂向力中壓差力和摩擦力兩種成分的特性。在圖6中，給出了A工況下，內(nèi)孤立波無因次水平壓差力Fpx及其摩擦力fx，無因次垂向壓差力Fpz及其摩擦力fz時(shí)歷特性的數(shù)值模擬。結(jié)果表明，無論是直立圓柱體內(nèi)孤立波水平力還是垂向力，摩擦力與壓差力相比都是一個(gè)小量，可以忽略。這意味著直立圓柱體內(nèi)孤立波水平和垂向力的主要成分為壓差力。

圖6 內(nèi)孤立波無因次壓差力及摩擦力時(shí)歷特性Fig.6 The time-variant characteristics for pressure forces and friction forces due to internal solitary waves

對(duì)直立圓柱體的內(nèi)孤立波水平和垂向壓差力，可以進(jìn)一步將其分為波浪壓差力和粘性壓差力兩個(gè)部分。其中，波浪壓差力與內(nèi)孤立波誘導(dǎo)的水質(zhì)點(diǎn)波動(dòng)有關(guān)，可以采用Euler模擬方法得到;粘性壓差力為由于流體粘性效應(yīng)導(dǎo)致的壓差力增量，將N-S模擬所得壓差力減去波浪壓差力即得粘性壓差力。在圖7中，給出了在A工況下，內(nèi)孤立波無因次水平波浪壓差力及其粘性壓差力，無因次垂向波浪壓差力及其粘性壓差力時(shí)歷特性的數(shù)值模擬。結(jié)果表明，對(duì)直立圓柱體內(nèi)孤立波水平壓差力，其波浪壓差力和粘性壓差力量級(jí)相當(dāng);對(duì)直立圓柱體內(nèi)孤立波垂向壓差力，其粘性壓差力與波浪壓差力相比是一個(gè)小量，可以忽略。這意味著對(duì)直立圓柱體的內(nèi)孤立波水平力必須考慮流體的粘性效應(yīng)，但對(duì)其垂向力則可以忽略流體的粘性效應(yīng)。

圖7 內(nèi)孤立波無因次波浪壓差力及粘性壓差力時(shí)歷特性Fig.7 The time-variant characteristics for wave pressure forces and viscous pressure forces due to internal solitary waves

3 結(jié)論

基于兩層流體KdV、eKdV和MCC理論解的適用性條件，以Navier-Stokes方程為流場(chǎng)控制方程，以內(nèi)孤立波在上下層流體中誘導(dǎo)的深度平均水平速度作為入口條件，建立了內(nèi)孤立波與直立圓柱體強(qiáng)非線性作用的數(shù)值模擬方法。結(jié)果表明:

1)該方法對(duì)直立圓柱體內(nèi)孤立波水平力、垂向力和力矩幅值及其時(shí)歷變化特性的數(shù)值模擬結(jié)果與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，可以用于內(nèi)孤立波與海洋浮式結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性作用的數(shù)值模擬。

2)直立圓柱體內(nèi)孤立波水平和垂向力由波浪壓差力、粘性壓差力和摩擦力組成。其中，水平摩擦力、垂向摩擦力及其粘性壓差力均很小，可以忽略。

3)水平力的主要成分為波浪壓差力和粘性壓差力，而垂向力的主要成分為波浪壓差力。對(duì)于直立圓柱體內(nèi)孤立波水平力必須考慮流體的粘性效應(yīng)，但對(duì)于其垂向力則可以忽略流體的粘性效應(yīng)。

［1］黃維平，白興蘭，孫傳棟，等.國外Spar平臺(tái)研究現(xiàn)狀及中國南海應(yīng)用前景分析［J］.中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，38(4):675-680.HUANG Weiping，BAI Xinglan，SUN Chuandong，et al.State of the art of studies on spar platforms abroad and outlook of their application in the South China Sea［J］.Periodical of Ocean University of China，2008，38(4):675-680.

［2］陳景輝.南海流花11-1深海油田開發(fā)工程［J］.中國海洋平臺(tái)，1996，11(1):43-45.CHEN Jinghui.Liuhua 11-1 deepwater fields development project in the South China Sea［J］.China offshore Platform，1996，11(1):43-45.

［3］BOLE J B，EBBESMEYER C C，ROMEA R D.Soliton currents in the South China Sea:measurements and theoretical modeling［C］//The 16th Offshore Technology Conference.Houston，America，1994:367-376.

［4］HELFRICH K R，MELVILLE W K.Long nonlinear internal waves［J］.Ann Rev Fluid Mech，2006，38:395-425.

［5］CHOI W，CAMASSA R.Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system ［J］.J Fluid Mech.，1999，396:1-36.

［6］黃文昊，尤云祥，王旭，等.有限深兩層流體中內(nèi)孤立波造實(shí)驗(yàn)及其理論模型［J］.物理學(xué)報(bào)，2013，62(8):084705:1-14.HUANG Wenhao， YOU Yunxiang， WANG Xu， et al.Wave-making experiments and theoretical models for internal solitary waves in a two-layer fluid of finite depth［J］.Acta Phys.Sin.，2013，62(8):08475:1-14.

［7］CHENG Y L，LI J C，LIU Y F.Recent Advances in fluid Mechanics［M］.Berlin:Springer，2004.

［8］CAI S Q，LONG X M，GAN Z J.A method to estimate the forces exerted by internal solitons on cylinder piles［J］.O-cean Engineering，2003，30(5):673-689.

［9］CAI S Q，LONG X M，WANG S G.Force and torques exerted by internal solitions in shear flows on cylinder piles［J］.Applied Ocean Research.2008，30(1):72-77.

［10］XIE J S，JIANG Y J，YANG L G，et al.Strongly nonlinear internal solution load on a small vertical circular cylinder in two-layer fluids［J］.Applied Mathematical Modelling，2010，34(8):2089-2101.

［11］尤云祥，李巍，時(shí)忠民，等.海洋內(nèi)孤立波中張力腿平臺(tái)的水動(dòng)力特性［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44(1):12-17.YOU Yunxiang，LI Wei，XIANG Zhongmin，et al.Hydrodynamic characteristics of tension leg platforms in ocean internal solitary waves［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2010，44(1):12-17.

［12］尤云祥，李巍，胡天群，等.內(nèi)孤立波中半潛平臺(tái)動(dòng)力響應(yīng)特性［J］.海洋工程，2012，30(2):1-7.YOU Yunxiang，LI Wei，HU Tianqun，et al.Dynamic responses of a semi-submersible platform in internal solitary waves［J］.The Ocean Engineering，2012，30(2):1-7.

［13］宋志軍，勾瑩，滕斌，等.內(nèi)孤立波作用下Spar平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)［J］.海洋工程，2010，32(2):12-19.SONG Zhijun，GOU Ying，TENG Bin，et al.The motion responses of a Spar platform under internal solitary wave［J］.The Ocean Engineering，2010，32(2):12-19.

［14］黃文昊，尤云祥，王旭，等.圓柱型結(jié)構(gòu)內(nèi)孤立波載荷實(shí)驗(yàn)及其理論模型［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45(5):1-13.HUANG Wenhao，YOU Yunxiang，WANG Xu，et al.Internal solitary wave loads experiments and its theoretical model for a cylindrical structure［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，45(5):1-13.

［15］黃文昊，尤云祥，王竟宇，等.張力腿平臺(tái)內(nèi)孤立波載荷及其理論模型.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，47(10):1494-1502.HUANG Wenhao，YOU Yunxiang，WANG Dingyu.Internal solitary wave loads and its theoretical model for a tension leg platform［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2013，47(10):1494-1502.

［16］關(guān)暉，蘇曉冰，田俊杰.分層流體中內(nèi)孤立波數(shù)值造波方法及其應(yīng)用［J］.力學(xué)季刊，2011，32(2):218-223.GUAN Hui，SU Xiaobing，TIAN Junjie.Numerical method of solitary wave generation in a stratified flow and its applications［J］.chinese quarterly of mechanics，2011，32(2):218-223.

［17］高原雪，尤云祥，王旭，等.基于MCC理論的內(nèi)孤立波數(shù)值模擬［J］.海洋工程，2012，30(4):29-36.GAO Yuanxue，YOU Yunxiang，WANG Xu，et al.Numerical simulation for the internal solitary wave based on MCC theory［J］.The Ocean Engineering，2012，30(4):29-36.

［18］陳杰，尤云祥，劉曉東，等.內(nèi)孤立波與有航速潛體相互作用數(shù)值模擬［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，2010，25(3):344-350.CHEN Jie，YOU Yunxiang，LIU Xiaodong，et al.Numerical simulation of interaction of internal solitary waves with a moving submarine［J］.Chinese Journal of Hydrodynamics，2010，25(3):344-350.