楊繼超，戴宗妙

(1.哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001;2.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一三研究所，河南鄭州450015)

優(yōu)化設(shè)計(jì)是指在特定約束條件下，獲得結(jié)構(gòu)某種性能指標(biāo)(如體積、質(zhì)量或擾度等)最優(yōu)。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，往往建立在確定性模型基礎(chǔ)上，沒(méi)有考慮變量參數(shù)實(shí)際值與名義值存在的差異，得到的優(yōu)化解位于可行域邊界。當(dāng)實(shí)際工程中變量參數(shù)(如載荷)發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，理論最優(yōu)解很可能落在不可行區(qū)域，給設(shè)計(jì)帶來(lái)潛在風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)工程設(shè)計(jì)中不確定性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出許多設(shè)計(jì)理論和方法。其中穩(wěn)健設(shè)計(jì)基本思想是在不消除不確定性源的前提下，提高產(chǎn)品對(duì)不確定因素抵抗力［1］。結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化一個(gè)難點(diǎn)是對(duì)不確定性力的分析及對(duì)優(yōu)化過(guò)程影響，即建立不確定性優(yōu)化模型。

目前，基于概率不確定模型應(yīng)用比較成熟。文獻(xiàn)［2-4］通過(guò)構(gòu)造約束和目標(biāo)函數(shù)靈敏度分析，進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì);文獻(xiàn)［5］采用Kriging模型，建立以目標(biāo)性能指標(biāo)均值和方差為優(yōu)化目的優(yōu)化模型;文獻(xiàn)［6］將穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì);為了提高計(jì)算效率，文獻(xiàn)［7］基于隨機(jī)響應(yīng)量前四階矩建立穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型?；诟怕誓Ｐ头椒ㄐ枰罅繕颖緮?shù)據(jù)估算參數(shù)的不確定度或分布函數(shù)，而這些數(shù)據(jù)在實(shí)際工程中往往很難實(shí)現(xiàn)。然而獲得不確定因素的邊界，是相對(duì)容易的。非概率方法就是根據(jù)不確定參數(shù)未知但有界的特點(diǎn)進(jìn)行建模。文獻(xiàn)［8-10］提出了基于凸集理論的非概率不確定模型分析方法，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)健性分析。文獻(xiàn)［11］在非概率凸模型可靠性約束下，通過(guò)超橢球域界定不確定參量，進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［12-13］運(yùn)用區(qū)間模型對(duì)不確定性參數(shù)進(jìn)行非概率性描述，建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計(jì)方法。目前，在集合理論凸模型中，大多方法都是求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)上下界解析解的近似值［14］;對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，區(qū)間模型計(jì)算量往往非常大，計(jì)算效率低下甚至無(wú)法實(shí)行。

20世紀(jì)90年代，Ben-Haim提出非概率Information-Gap(I-G)理論描述不確定性模型，并以系統(tǒng)承受最大不確定性波動(dòng)作為評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性的指標(biāo)。文獻(xiàn)［15-16］給出了非概率的I-G模型處理不確定性的理論方法，文獻(xiàn)［17-18］基于I-G理論，對(duì)地下結(jié)構(gòu)在非確定因素影響下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性進(jìn)行分析。為此，本文針對(duì)剛架體結(jié)構(gòu)承受不確定載荷特點(diǎn)，引入I-G理論，建立結(jié)構(gòu)非概率穩(wěn)健性模型，并結(jié)合優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)剛架體結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高對(duì)不確定因素的抵抗能力。

1 不確定載荷I-G模型

1.1 剛架體應(yīng)力約束方程

在實(shí)際工程中，剛架體結(jié)構(gòu)通常會(huì)受到不確定載荷作用，且結(jié)構(gòu)需要滿足最基本應(yīng)力約束要求。令一個(gè)線彈性的三維剛架體結(jié)構(gòu)自由度為n，則系統(tǒng)平衡方程為

式中:u∈Rn和f∈Rn分別表示節(jié)點(diǎn)的位移和外載荷矢量，K∈Sn為剛度矩陣。對(duì)于有m個(gè)桿件的剛架體結(jié)構(gòu)，桿截面積a=(ai)∈Rm，則K可以寫(xiě)成如下形式:

式中:b=(bij)∈Rn是常向量。則由上述關(guān)系式，應(yīng)力約束方程為

式中:E表示彈性模量，表示第i桿許用應(yīng)力。根據(jù)位移表示約束方程，則有

式中:dl∈R，常量vl∈R。為了保證剛架體結(jié)構(gòu)的安全穩(wěn)定，桿件必須滿足式(3)或式(4)。當(dāng)上述約束關(guān)系式滿足時(shí)，不確定變量允許一定的變化幅度。這里通過(guò)穩(wěn)健函數(shù)來(lái)度量，它與影響剛度矩陣的桿截面積和不確定程度相關(guān)。

1.2 不確定性因素I-G分析

I-G模型是由凸集理論基礎(chǔ)發(fā)展而來(lái)。根據(jù)I-G理論，不確定度是采用已知信息與未知信息的偏離程度或斷缺狀態(tài)描述。由于外在環(huán)境的不可控性以及所需解決問(wèn)題信息掌握貧乏，結(jié)合剛架體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立不確定性影響因素的I-G模型。不確定參數(shù)不確定性程度可表達(dá)為［17］

式(6)表明，當(dāng)不考慮載荷不確定性(α=0)時(shí)，名義載荷即為實(shí)際載荷f，I-G模型退化成確定性模型。式(7)表明，不確定參數(shù)α決定不確定因素真實(shí)值和名義值之間的偏離程度，當(dāng)α小時(shí)，和f越接近;反之偏離程度大。相比較其他非概率模型，如固定區(qū)間模型或凸集模型，I-G模型U(α，)的嵌套凸集特性能更好反應(yīng)不確定性載荷的動(dòng)態(tài)變化。

1.3 基于I-G模型穩(wěn)健函數(shù)構(gòu)造

穩(wěn)健性反映結(jié)構(gòu)對(duì)不確定性因素的抵抗程度，如果結(jié)構(gòu)能夠允許較大不確定性變化而不失效，就認(rèn)為該結(jié)構(gòu)穩(wěn)健強(qiáng)。上一節(jié)，建立了不確定載荷的I-G模型，定義參數(shù)α表示不確定性變化幅度。

在滿足約束條件式(3)或(4)的前提下，結(jié)合I-G理論，剛架體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的平衡方程(1)所有可能解集可表示成

結(jié)合式(4)、(8)，式(9)的最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可表示為

式(10)即為穩(wěn)健函數(shù)。對(duì)于兩組不同剛架體截面積向量a1∈Rn和a2∈Rn，如果則a1比a2穩(wěn)健。

2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化模型

2.1 一般優(yōu)化模型形式

傳統(tǒng)的確定性問(wèn)題數(shù)學(xué)優(yōu)化模型可以表示為

式中:f(x)為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，x優(yōu)化設(shè)計(jì)變量;gi(x)和n分別為約束條件以及約束條件數(shù)量;x1、x2為設(shè)計(jì)變量的取值范圍。

當(dāng)存在不確定因素時(shí)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化不但要考慮不確定因素對(duì)優(yōu)化模型的影響，還要考慮目標(biāo)函數(shù)的穩(wěn)健性，即能抵御不確定因素的影響。結(jié)合上一節(jié)的分析，注意到穩(wěn)健函數(shù)值大的結(jié)構(gòu)更為強(qiáng)健?；趦?yōu)化理論，建立穩(wěn)健函數(shù)最大化問(wèn)題的優(yōu)化模型?？紤]結(jié)構(gòu)體積(質(zhì)量)約束條件，橫截面向量a應(yīng)該滿足:

式中:li＞0 表示第i個(gè)桿長(zhǎng)，為體積上限。對(duì)限定的位移uc和，應(yīng)力約束下魯棒函數(shù)最大化問(wèn)題優(yōu)化模型可以寫(xiě)為

優(yōu)化目標(biāo)為穩(wěn)健性函數(shù)最優(yōu)，即結(jié)構(gòu)抵抗不確定性載荷最大化。

2.2 半定規(guī)劃模型

上述過(guò)程中，基于I-G模型處理不確定載荷，則載荷集中包含無(wú)窮多載荷，常規(guī)方法很難對(duì)上式進(jìn)行求解。因此通過(guò)半定規(guī)劃對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化模型進(jìn)行重新構(gòu)造。傳統(tǒng)半定規(guī)劃的數(shù)學(xué)形式為［14］

式中 c，x∈Rn，F(xiàn)i(i=0，…，n)為n階常對(duì)稱矩陣，x 為設(shè)計(jì)變量，矩陣F(x)?0為正定。

結(jié)合本文優(yōu)化模型式(13)，令F?Rn表示滿足上述應(yīng)力約束(4)的力集合:

進(jìn)行如下定義:

其中，p，t∈R，a∈Rm。將新參數(shù)(t，p)引入穩(wěn)健函數(shù)(a，uc)中，則可以得到:

半定規(guī)劃算法有成熟的商業(yè)計(jì)算軟件包，可直接方便快捷調(diào)用，避免如牛頓法那樣推導(dǎo)雅可比矩陣和海森堡矩陣。

3 數(shù)值仿真

3.1 三桿系穩(wěn)健性優(yōu)化

考慮如圖1所示的三桿件架體。其形式為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，桿件個(gè)數(shù)和自由度分別為m=3，n=2。為了結(jié)果分析方便，這里將單位歸一化處理。桿件3的長(zhǎng)度l3=15且垂直于水平方向，θ=45°。桿件所受力狀態(tài)如圖1所示，名義載荷大小為100?？紤]應(yīng)力約束式(3)=3.0(i=1，2，3)。設(shè)定結(jié)構(gòu)初始變量為a0=(20，20，20)，以a=a0時(shí)結(jié)構(gòu)體積為基準(zhǔn)，則結(jié)構(gòu)體積約束為≤1 148.53。

圖1 三桿架體Fig.1 3-bar structure

已知初始變量值a0，對(duì)式(18)進(jìn)行求解，得到(a0，σc)=0.822。通過(guò)半定規(guī)劃模型式(19)，對(duì)架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到優(yōu)化迭代過(guò)程如表1。

表1 優(yōu)化迭代過(guò)程Table 1 Iteration history of the optimization

對(duì)結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)a0進(jìn)行分析。隨機(jī)產(chǎn)生一組力f，使其落在穩(wěn)健函數(shù)(a0，σc)限定的不確定載荷集之中。則結(jié)構(gòu)中桿件應(yīng)力σi(i=1，2，3)分布狀態(tài)如圖2所示。

經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，桿件3在應(yīng)力σ3=3.0附近有分布，而桿件1(或桿件2)應(yīng)力值始終沒(méi)有發(fā)揮最大功效。

剛架經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，最優(yōu)解為a=a*，經(jīng)過(guò)計(jì)算和分析，得到結(jié)構(gòu)桿件應(yīng)力σi(i=1，2，3)分布狀態(tài)如圖3所示。其中，應(yīng)力約束σi≤σc(i=1，2，3)在3個(gè)桿件中均產(chǎn)生作用，優(yōu)化后改善了結(jié)構(gòu)性能，最大程度發(fā)揮了剛架體結(jié)構(gòu)的潛力。

圖2 當(dāng)a=a0時(shí)桿件應(yīng)力分布Fig.2 Stress states of the 3-barstructure with a=a0

圖3 當(dāng)a=a*時(shí)桿件應(yīng)力分布Fig.3 Stress states of the 3-barstructure with a=a*

3.2 多桿系剛架體結(jié)構(gòu)

如圖4所示多桿架體結(jié)構(gòu)，桿件個(gè)數(shù)和自由度分別為m=100，n=90。桿件在x軸和z軸方向的長(zhǎng)度均為100，在y軸方向有桿長(zhǎng)100和30(即中部連接處短桿)2種規(guī)格，其余為連接斜桿。結(jié)構(gòu)底座完全約束。載荷作用于如圖4所示位置，垂直方向載荷名義值為=(0，10，0);水平方向名義值=(2，0，0)。

圖4 多桿架結(jié)構(gòu)Fig.4 Complex frame structure

圖5 架體優(yōu)化設(shè)計(jì)Fig.5 Optimal design of the frame structure

為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果，觀察后標(biāo)記如圖6所示，對(duì)部分桿件進(jìn)行分析。當(dāng)結(jié)構(gòu)中a=a0和a=a*時(shí)，產(chǎn)生一組隨機(jī)攝動(dòng)載荷分別滿足應(yīng)力約束式(3)要求。

圖6 架體平面結(jié)構(gòu)Fig.6 2-D structure of the frame structure

圖7 隨機(jī)攝動(dòng)載荷下最大應(yīng)力Fig.7 Fluctuation stress under random loading

圖7表示優(yōu)化前后對(duì)比，即對(duì)應(yīng)a=a0、a*時(shí)，圖6中標(biāo)記對(duì)應(yīng)桿桿件最大應(yīng)力變化范圍。其中淺色為設(shè)計(jì)變量初始取值，深色為優(yōu)化后取值。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在隨機(jī)攝動(dòng)載荷下，最大應(yīng)力變化幅值總體上小于優(yōu)化前，結(jié)構(gòu)保持較大的安全富裕度，能更好抵抗不確定載荷的影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于穩(wěn)健性函數(shù)構(gòu)建了剛架體結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化算法。該方法充分考慮了載荷的不確定因素，利用I-G理論處理不確定載荷，構(gòu)造應(yīng)力約束下的穩(wěn)健性函數(shù)最大值優(yōu)化模型，利用半定規(guī)劃松弛技術(shù)重新將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成半定規(guī)劃問(wèn)題，降低工程設(shè)計(jì)人員求解的難度，提高求解效率。通過(guò)數(shù)值仿真可以發(fā)現(xiàn)在優(yōu)化過(guò)程中約束條件發(fā)揮作用，在同等體積(質(zhì)量)條件下，雖結(jié)構(gòu)局部一些桿件應(yīng)力有所增加，但總體應(yīng)力狀態(tài)得到改善，提高了結(jié)構(gòu)抗擾動(dòng)載荷的能力。

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