梁翠萍 孫一銘 岳曉峰 董曉云

（河南師范大學，河南 新鄉(xiāng) 453007）

1 模型假設(shè)

1）月球表面附近沒有大氣，著陸器的動力學模型中沒有大氣阻力項。

2）軟著陸過程一般在幾百秒的范圍內(nèi)，所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等因素均忽略不計，該過程可以在二體模型下描述。

3）主減速發(fā)動機的推力在主減速階段大小恒定為7500N。

2 模型的建立與求解

2.1 針對著陸準備軌道近遠月點的位置及速度問題模型的建立與求解

2.1.1 模型的建立與求解

近月點速度

由火箭反射及其變軌的理論知識，可知火箭在不同的軌道的重合位置上速度是相等的。同理，位于橢圓準備軌道上的近月點的速度等于圓周繞月軌道經(jīng)過該點時的速度。物體做圓周運動時滿足：F向＝m

由分析可知，此時的向心力只有萬有引力，所以有：F向＝F萬＝G

其中，r為近月點距月心的距離，M為月球的質(zhì)量，m為著陸器的質(zhì)量，G為萬有引力常數(shù)。

2.2 針對嫦娥三號著陸軌道及6個階段最優(yōu)控制問題模型的建立與求解

2.2.1 主減速階段的著陸軌道及最優(yōu)控制策略的求解

（1）模型建立

這一過程可以在二體模型下描述。其中為σ月球質(zhì)心，x軸方向為月心指向著陸器的初始位置，y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

其動力學方程如下：r＝v；θ＝ω；v＝（F/m）sinψ－μ/r2+rω2；

ω=-（（F/m）cosψ+2vω）/r；m=-F/Isp

在上式中r為著陸器與月心距離，v為著陸器徑向速度，θ為著陸器極角，ω為著陸器極角角速度，μ為月球引力常數(shù)，F(xiàn)著陸器制動發(fā)動機推力，m為著陸器質(zhì)量，ψ為制動發(fā)動機推力方向角，其定義為F與當?shù)厮椒较驃A角，Isp為制動發(fā)動機比沖。

根據(jù)動力下降段的起點位置即近月點的位置可以確定動力學方程初始條件，如下

其中rp，ra分別為近月點和遠月點的半徑。

終端條件為到達高度為 3km 的位置，即：rf＝R＋3km；v＝57m/s

其中R為月球半徑。優(yōu)化變量為制動發(fā)動機推力方向角ψ（t）。優(yōu)化的性能指標為在滿足初始條件和終端條件的前提下，使著陸過程中燃料消耗最少，即：

（2）模型求解

求解DACA算法應(yīng)用過程的具體步驟如下：

1）設(shè)置初始參數(shù)，包括螞蟻數(shù) num＿ant，循環(huán)次數(shù) num＿clc，揮發(fā)系數(shù)ρ，調(diào)節(jié)系數(shù)，所有路徑信息素量初值τ0，螞蟻初始位置。初始化數(shù)據(jù)如下：rp＝1752.013km，ra＝1837.013km，R＝1737.013km，m0＝2400kg，F(xiàn)＝7500N，Isp＝2940m/s

用函數(shù)逼近法進行參數(shù)化的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：前面已經(jīng)說明將軌跡離散化為9段，那么待優(yōu)化參數(shù)共11個，即10個推力方向角和1個終端時刻tf。在用蟻群算法進行優(yōu)化過程中需要確定這11個優(yōu)化參數(shù)的搜索范圍。對于10個方向角，由經(jīng)驗可知，推力方向角的變化范圍為：0°＜ψi＜90°，i＝1，2，…，10

對于終端時刻tf，根據(jù)齊奧爾科夫斯基公式和軟著陸初始條件，可由下式估計：tf=1-exp（（Vf－V0）/Isp）（Ispm0/F）

式中Vf和V0分別表示著陸器的終端速度和初始速度，經(jīng)計算確定搜索范圍為：500＜tf＜700

十進制蟻群算法中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：

num＿ant＝1000，num＿clc＝50，K＝5，Q＝0.5，ρ＝0.2，τ0＝5

2）根據(jù)轉(zhuǎn)移概率公式計算每只螞蟻的轉(zhuǎn)移概率，然后依據(jù)賭輪原則為每只螞蟻選擇下一個路經(jīng)城市。重復(fù)上述操作直至所有螞蟻均完成一次循環(huán)。

3）將每只螞蟻的路徑解碼為優(yōu)化參數(shù)值，計算目標函數(shù)值，找出最好的前10只螞蟻的路徑。然后，計算依據(jù)信息素更新規(guī)則更新相關(guān)路徑上的信息素。

4）判斷是否滿足終止條件，不滿足則重復(fù)前三步，否則結(jié)束計算輸出結(jié)果。

根據(jù)算法最終求得終端時刻tf的最終優(yōu)化值.為：573.13s。并且，嫦娥三號距離月心的距離隨時間的遞增呈現(xiàn)遞減趨勢（從1772000米降到1752000米），其下降速度也在不斷下降。

（3）結(jié)果分析

1）分析蟻群算法優(yōu)化后的值，可以發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)遞增趨勢，符合現(xiàn)實，說明模型求解的正確性。

2）探測器距月心的距離隨時間的變化其下降的速度逐漸遞減，這是因為速度在不斷減小，所以距離變化的速度也在不斷的減小,符合實際。反映該模型結(jié)果的合理性。

3 模型優(yōu)缺點

3.1 優(yōu)點

1）我們的模型具有堅實可靠的數(shù)學和物理基礎(chǔ)，很多物理理論能夠簡明的解出所需求得的物理量，能夠快速滿足人們的需求。

2）模型充分考慮了能耗問題，找出了能耗最優(yōu)的方法。

3.2 缺點

1）我們的模型因為追求高效，所以忽略了一些次要因素，模型建立的較為理想化。

2）我們在考慮問題時將一些次要的階段簡要考慮，沒有詳細分析次要階段。

［1］段佳佳,徐世杰,朱建豐.基于蟻群算法的月球軟著陸軌跡優(yōu)化[J].宇航學報,2008,29(2):476-480.

［2］新華網(wǎng).嫦娥三號落月在即解密如何實現(xiàn)月球軟著陸[OL].http://www.js.xinhuanet.com/2013-12/12/c_118520433.htm，2014-9-15.

［3］韓中庚.數(shù)學建模方法及應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2005:1-200.