鄭 堂， 李世平， 程雙江， 鄔肖敏

（第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025）

為檢測(cè)微弱周期信號(hào)對(duì)二次采樣隨機(jī)共振相關(guān)參數(shù)的研究

鄭 堂， 李世平， 程雙江， 鄔肖敏

（第二炮兵工程大學(xué)，陜西西安710025）

分析了二次采樣隨機(jī)共振中涉及到的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率，結(jié)合理論推導(dǎo)與仿真，得出了這兩個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出效果的具體影響，同時(shí)分析了造成這些影響的原因，提出了這兩個(gè)參數(shù)選取的方法，為更好地應(yīng)用二次采樣隨機(jī)共振檢測(cè)微弱周期信號(hào)提供了依據(jù)。

計(jì)量學(xué)；微弱信號(hào)檢測(cè)；二次采樣隨機(jī)共振；采樣頻率；二次采樣頻率

1 引 言

隨機(jī)共振概念是1981年Benzi及其團(tuán)隊(duì)在研究古氣候冰川問(wèn)題時(shí)提出的［1］，用以解釋地球氣候以10萬(wàn)年為周期進(jìn)行冰川期與暖氣候期的交替現(xiàn)象，簡(jiǎn)要描述如下：對(duì)于淹沒(méi)于噪聲中的周期信號(hào)，當(dāng)通過(guò)某些非線性系統(tǒng)處理后，噪聲和周期信號(hào)能達(dá)到一種協(xié)同作用，使得噪聲能量向周期信號(hào)轉(zhuǎn)換，從而使得系統(tǒng)輸出得到優(yōu)化，輸出信號(hào)中周期成分得以凸顯，這正是將隨機(jī)共振用于檢測(cè)微弱信號(hào)的機(jī)理所在。與傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法不同，隨機(jī)共振是利用噪聲而非抑制噪聲，這使得它在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)具有很多其它方法所不具備的優(yōu)勢(shì)。目前用于研究隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型主要包括：雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)、閾值系統(tǒng)、離散時(shí)間系統(tǒng)和帶參數(shù)的神經(jīng)模型等［2～8］。本文選用非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，具體就是非線性朗之萬(wàn)方程（Langevin Equation，LE）。

絕熱近似條件要求信號(hào)具有小參數(shù)特性，尤其是周期信號(hào)頻率f，由于系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)頻率的適應(yīng)性直接決定了采用隨機(jī)共振方法檢測(cè)微弱周期信號(hào)的有效性，如果隨機(jī)共振僅對(duì)極小頻率信號(hào)有效，則顯然不能適應(yīng)各頻率段信號(hào)檢測(cè)需求。針對(duì)這一問(wèn)題，冷永剛等人提出了二次采樣隨機(jī)共振［9～12］，本文重點(diǎn)研究與二次采樣隨機(jī)共振效果相關(guān)的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率對(duì)系統(tǒng)輸出效果的影響。

2 二次采樣隨機(jī)共振

本文用于研究隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型是非線性朗之萬(wàn)方程，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中，a和b為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，Γ（t）為強(qiáng)度為D的高斯白噪聲，cos（ωt）為輸入信號(hào)中的周期成分。

由絕熱近似理論可知，在發(fā)生隨機(jī)共振時(shí)，要求周期信號(hào)頻率f等于克萊默斯躍遷率（Kramers Rate，KR）rK的一半，即f應(yīng)滿足f＝rK／2，這一頻率匹配條件將周期信號(hào)頻率限制在0.1 Hz這一數(shù)量級(jí)，要想產(chǎn)生隨機(jī)共振，f必須小于這一數(shù)值，對(duì)于過(guò)大頻率信號(hào)，非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)將顯得無(wú)能為力。

冷永剛等人提出的二次采樣隨機(jī)共振方法的基本思想是將大頻率信號(hào)按照一定壓縮比對(duì)頻率尺度進(jìn)行壓縮，將頻率壓縮后的信號(hào)輸入隨機(jī)共振系統(tǒng)中處理，最后再對(duì)輸出信號(hào)按照原頻率壓縮尺度進(jìn)行頻率還原，從而達(dá)到檢測(cè)大頻率微弱周期信號(hào)的目的，其算法過(guò)程如圖1所示。

圖1 二次采樣隨機(jī)共振算法過(guò)程

該方法的具體操作步驟如下：對(duì)于一個(gè)大頻率信號(hào)，根據(jù)信號(hào)頻率f和采樣頻率fs確定一個(gè)二次采樣頻率fsr，頻率壓縮比例為：

按照二次采樣頻率fsr所確定的計(jì)算步長(zhǎng)代入龍格-庫(kù)塔計(jì)算公式中計(jì)算，得出非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出，記凸顯出的頻率為f0，這一頻率是被壓縮了的，壓縮比例正是R，最后按照壓縮比例對(duì)信號(hào)頻率進(jìn)行還原即可得出輸入信號(hào)中周期成分的頻率為：

該方法通過(guò)頻率壓縮，將大頻率信號(hào)當(dāng)作小頻率信號(hào)進(jìn)行處理，從理論上看是可以實(shí)現(xiàn)大頻率周期信號(hào)檢測(cè)的，具體效果通過(guò)仿真進(jìn)行分析：采用4階龍格-庫(kù)塔算法，首先選取如下參數(shù)：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取a＝1，b＝100，噪聲強(qiáng)度為D＝0.006，周期信號(hào)幅值為A＝0.01 V，頻率為f＝1 Hz，采樣頻率fs＝5 Hz，仿真得到系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻圖如圖2所示。

圖2 周期信號(hào)頻率f＝1 Hz時(shí)輸入輸出時(shí)頻域圖

該圖中X（t）為時(shí)間t所對(duì)應(yīng)幅值，X（f）為頻率f所對(duì)應(yīng)幅值，單位均為V。圖2（d）中右上角為f＝1 Hz處的放大圖，可以看出，在周期信號(hào)頻率f＝1 Hz處雖然存在一個(gè)譜值尖峰，但是這一譜值大小已經(jīng)低至10-3數(shù)量級(jí)，大約是輸入信號(hào)中周期成分幅值的1／10，說(shuō)明在f＝1 Hz的頻率條件下，周期成分幅值不僅沒(méi)有得到增強(qiáng)反而衰減得十分厲害，想通過(guò)非線性雙位系統(tǒng)將周期成分凸顯出來(lái)已經(jīng)十分困難，可以認(rèn)為此時(shí)系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生隨機(jī)共振現(xiàn)象，用它來(lái)檢測(cè)微弱周期信號(hào)已經(jīng)無(wú)能為力。

下面采用二次采樣方法，對(duì)于圖2中的仿真參數(shù)，取采樣頻率為fs＝500 Hz并保持其它參數(shù)不變，二次采樣頻率取為fsr＝5 Hz，由上面的推導(dǎo)可知，頻率壓縮比為R＝fs／fsr＝100，那么在未進(jìn)行頻率尺度還原時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出應(yīng)在f0＝f／R＝0.01 Hz處有一個(gè)頻率凸起，此時(shí)的仿真效果如圖3所示。

圖3 頻率還原前二次采樣隨機(jī)共振系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻域圖

圖3中，（a）和（b）分別為輸入信號(hào)時(shí)頻域圖，（c）和（d）分別為頻率還原前二次采樣隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出時(shí)頻域圖。從圖3（d）中可以明顯看出，頻率f0＝0.01 Hz處有一個(gè)凸出的譜峰，該頻率處的周期信號(hào)得到很好的放大，根據(jù)頻率壓縮比可以算出，這一凸出譜峰所對(duì)應(yīng)原周期信號(hào)頻率為f＝R·f0＝1 Hz，正是輸入信號(hào)中周期信號(hào)的頻率。

相比于圖2中的檢測(cè)效果，經(jīng)過(guò)二次采樣后系統(tǒng)輸出有明顯改善，成功將f＝1 Hz處的信號(hào)檢測(cè)了出來(lái)，這說(shuō)明，二次采樣能夠較為有效地解決因頻率增大而引起的系統(tǒng)輸出效果變差問(wèn)題。

3 采樣頻率及二次采樣頻率對(duì)系統(tǒng)輸出的影響

二次采樣隨機(jī)共振中，涉及到采樣頻率fs和二次采樣頻率fsr。這兩個(gè)參數(shù)的選取直接決定了頻率尺度的壓縮比R，這就決定了是否能將大頻率周期信號(hào)的頻率壓縮至能有效發(fā)生隨機(jī)共振的頻段內(nèi)。因此，這兩個(gè)參數(shù)的選取對(duì)二次采樣隨機(jī)共振效果有著很大影響，下面研究這兩個(gè)參數(shù)選取與系統(tǒng)輸出效果之間的關(guān)系。

首先考慮二次采樣頻率fsr對(duì)系統(tǒng)輸出效果的影響。下面的仿真中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取a＝1，b＝100，噪聲強(qiáng)度為D＝0.006，周期信號(hào)幅值為A＝0.01 V，頻率為f＝50 Hz，采樣頻率fs＝2 500 Hz，圖4（a）中取二次采樣頻率fsr＝2.5 Hz，圖4（b）中取二次采樣頻率fsr＝5 Hz，仿真結(jié)果如圖4所示。

對(duì)比圖4（a）和圖4（b）可看出，在僅增大二次采樣頻率后，圖4（b）中f＝50 Hz處雖有一個(gè)凸出頻譜，但其譜值大小已低于低頻區(qū)段的譜值，而無(wú)法判斷這一頻率是否就是周期信號(hào)頻率，也無(wú)法準(zhǔn)確檢測(cè)出輸入信號(hào)中的周期成分，即二次采樣頻率由2.5 Hz增大為5 Hz后，系統(tǒng)輸出性能變差。

從以上輸出效果變化可以看出，二次采樣頻率對(duì)系統(tǒng)輸出性能有著很大影響，在其他參數(shù)保持不變的情況下，隨著二次采樣頻率升高，系統(tǒng)輸出性能變差，過(guò)高的二次采樣頻率會(huì)使得周期成分無(wú)法在輸出信號(hào)中凸顯出來(lái)，進(jìn)而使得二次采樣隨機(jī)共振方法在大頻率微弱周期信號(hào)的檢測(cè)中失效。

其中除了周期信號(hào)頻率處譜值的變化外，還能看到噪聲分布形式的顯著變化，從表觀上說(shuō)，隨著二次采樣頻率升高，系統(tǒng)輸出信號(hào)中噪聲的洛倫茲分布形式變得越來(lái)越“陡峭”，這實(shí)際上說(shuō)明隨著二次采樣頻率升高，能量正朝著低頻區(qū)域集中，二次采樣頻率越高，低頻區(qū)域能量越大，譜值越高，這就使得周期信號(hào)頻率處譜峰更加難以超越低頻處譜值而凸顯出來(lái)，從而更加難以判斷出周期成分的存在。

圖4 二次采樣頻率變化時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻域圖

接下來(lái)考察采樣頻率fs對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，在圖4（a）的參數(shù)條件下，降低采樣頻率至fs＝2 000 Hz，保持其它參數(shù)不變，此時(shí)系統(tǒng)輸出效果如圖5（a）所示。從圖中可以看到，周期信號(hào)頻率f＝50 Hz處有一個(gè)凸出的譜峰，但此處的譜值已經(jīng)不是全局最高點(diǎn)了，將該圖與圖4（a）相比可以看出，采樣頻率降低后，輸出信號(hào)中噪聲分布形式基本沒(méi)變，但周期信號(hào)頻率處譜值降低了，這使得周期信號(hào)頻率處的譜值不能像圖4（a）那樣清晰地凸顯出來(lái)，這對(duì)判斷這一頻率是否為周期成分造成了困難，可以認(rèn)為，采樣頻率由2 500 Hz變?yōu)? 000 Hz后，系統(tǒng)對(duì)微弱周期成分的檢測(cè)效果變差了。

繼續(xù)降低采樣頻率，保持其它參數(shù)不變，當(dāng)fs＝1 000 Hz時(shí)系統(tǒng)輸出效果如圖5（b）所示。與圖5（a）相比，圖5（b）中周期信號(hào)頻率處譜峰變得更低，同時(shí)，噪聲分布形式基本沒(méi)有發(fā)生變化，從圖5（b）中也更難判斷出周期信號(hào)成分的存在。

圖5 采樣頻率變化時(shí)雙穩(wěn)系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻域圖

從圖4（a）到圖5（a）再到圖5（b）的變化可以看出，隨著采樣頻率fs的降低，噪聲分布形式基本保持不變，但系統(tǒng)輸出信號(hào)中周期信號(hào)頻率所在處的譜值卻逐漸變小，這對(duì)于辨別周期成分的存在不利，即隨著采樣頻率fs降低，系統(tǒng)輸出性能下降，亦即對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)能力變差。

4 結(jié)果分析

上面主要研究了與二次采樣密切相關(guān)的兩個(gè)參數(shù)——采樣頻率和二次采樣頻率對(duì)系統(tǒng)輸出性能的影響，總結(jié)起來(lái)，二次采樣頻率升高會(huì)導(dǎo)致輸出信號(hào)中能量朝著低頻區(qū)域集中，使得噪聲分布形式變得更加“陡峭”，同時(shí)也會(huì)使得周期信號(hào)頻率處的譜值變小，這兩個(gè)變化的綜合效應(yīng)使得周期信號(hào)更加難以辨認(rèn)，系統(tǒng)輸出性能下降；采樣頻率降低雖然對(duì)噪聲分布形式?jīng)]有產(chǎn)生影響，但它使得周期信號(hào)頻率處譜值變小，這同樣也使周期信號(hào)難以辨認(rèn)，對(duì)微弱周期信號(hào)的檢測(cè)產(chǎn)生消極影響。

從式（2）中可以看到，頻率壓縮比R是與采樣頻率和二次采樣頻率密切相關(guān)的一個(gè)參數(shù)，即R＝fs／fsr，事實(shí)上，不論是二次采樣頻率fsr升高還是采樣頻率fs降低，最終都會(huì)使得頻率壓縮比R減小，而從式（3）中可以知道，輸入信號(hào)中周期成分頻率f與二次采樣后周期信號(hào)頻率f0之間存在關(guān)系f0＝f／R，因此頻率壓縮比R的減小會(huì)直接導(dǎo)致二次采樣后周期信號(hào)頻率f0升高，從而導(dǎo)致這一頻率距離易發(fā)生隨機(jī)共振的低頻區(qū)域較遠(yuǎn)，系統(tǒng)輸出中周期信號(hào)頻率處譜值自然會(huì)變小。

至于二次采樣頻率升高會(huì)導(dǎo)致輸出信號(hào)中能量朝著低頻區(qū)域集中，使得噪聲分布形式變得更加“陡峭”，這是由算法特點(diǎn)決定的，二次采樣頻率直接決定了龍格-庫(kù)塔算法中的計(jì)算步長(zhǎng)，計(jì)算步長(zhǎng)越短，會(huì)使得輸出信號(hào)中噪聲能量越向低頻區(qū)域集中。

通過(guò)以上分析，得出二次采樣頻率fsr和采樣頻率fs變化分別對(duì)系統(tǒng)輸出所產(chǎn)生的影響，二者改變對(duì)系統(tǒng)輸出中噪聲分布形式和周期信號(hào)頻率處譜值大小變化有顯著作用，直接影響系統(tǒng)檢測(cè)微弱周期信號(hào)的效果。由絕熱近似理論可知，傳統(tǒng)的隨機(jī)共振方法僅對(duì)于滿足頻率f＜0.1 Hz的周期信號(hào)具有較好的檢測(cè)效果，根據(jù)這一結(jié)論，在進(jìn)行二次采樣隨機(jī)共振時(shí)，應(yīng)考慮將經(jīng)過(guò)二次采樣后的信號(hào)頻率f0控制在0.01～0.05Hz這一易發(fā)生隨機(jī)共振的區(qū)域以保證系統(tǒng)輸出的效果，這可以通過(guò)同時(shí)調(diào)整二次采樣頻率和采樣頻率以控制頻率壓縮比R的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)。在確保了二次采樣后信號(hào)頻率f0處在合適的頻段后，還應(yīng)考慮使輸出信號(hào)中噪聲分布形式不過(guò)于“陡峭”，這樣更有利于周期成分凸現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)前面的仿真可知，這可以通過(guò)適當(dāng)降低二次采樣頻率fsr來(lái)實(shí)現(xiàn)（不可過(guò)低，仿真表明，在圖4（a）的參數(shù)條件下，當(dāng)把二次采樣頻率降低到1.7 Hz以下后程序會(huì)出現(xiàn)溢出）。在進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)時(shí)，通過(guò)選擇合適的二次采樣頻率和采樣頻率，可以得到一個(gè)最優(yōu)的系統(tǒng)輸出，使得周期信號(hào)更好地凸顯出來(lái)。

5 結(jié) 論

本文著重對(duì)二次采樣隨機(jī)共振中所涉及到的重要參數(shù)采樣頻率和二次采樣頻率作了分析，結(jié)合理論推導(dǎo)與仿真，得出了這兩個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出效果的具體影響，同時(shí)分析了造成這些影響的原因，為更好地運(yùn)用二次采樣隨機(jī)共振檢測(cè)微弱周期信號(hào)提供了一定的參考依據(jù)。

］

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The Research of Related Parameters in Tw ice Sam pling Stochastic Resonance Used in Week Signal Detection

ZHENG Tang， LIShi-ping， CHENG Shuang-jiang， WU Xiao-min
（The Second Artillery Engineering University，Xi’an，Shaanxi710025，China）

Two important parameters，the sample frequency and twice sample frequency，is analyzed.The effects of these two parameters on the output of system is concluded based on the theoretical analysis and simulation.At the same time，the cause of these effects are analyzed and then put forward a method of how to select these two parameters.It provides a basis for a better use of twice sampling stochastic resonance in weak signal periodic detection.

Metrology；Weak signal detection；Twice sampling stochastic resonance；Sample frequency；Twice sample frequency

TB973

：A

：1000-1158（2015）03-0313-05

10.3969／j.issn.1000-1158.2015.03.19

2013-08-08；

：2014-03-26

鄭堂（1989-），男，湖北京山人，第二炮兵工程大學(xué)碩士研究生，主要從事微弱信號(hào)檢測(cè)的研究。1054208386＠qq.com