郭新翠

(天津大學(xué)理學(xué)院，天津300072)

記D為復(fù)平面C中的單位圓盤H(D)和S(D)分別表示D上的全純函數(shù)和全純自映射的全體.任意的 f∈H(D)，若)|f'(z)| ＜∞，則f屬于Bloch空間.若定義范數(shù)‖f‖B=|f(0)|+βf，則 Bloch空間是不變的 Banach空間.Bloch空間上的函數(shù)f滿足:

另一類我們常見的M?bius不變空間是解析Besov空間(1＜p＜∞)，用Bp表示

其中dA表示單位圓盤的標(biāo)準(zhǔn)化面積測度.而在這里bp是一個半范數(shù)，并且可以驗證Besov空間在定義Besov范數(shù)‖f‖Bp=|f(0)|+bp(f)的意義下是Banach空間.對任意f∈Bp，由文獻(xiàn)[1]中的定理9和文獻(xiàn)[2]中的引理可知，對任意z∈D，有‖f‖Bp，記 Zygmu`nd 空間為 Z，有

眾所周知，f∈Z當(dāng)且僅當(dāng)f'∈B，且Z在定義下列范數(shù)意義下是Banach空間

對任意的 φ∈S(D)，u∈H(D)，f∈H(D)，z∈D，加權(quán)復(fù)合算子定義為

特殊的，當(dāng)u=1和Cφ=I時，其為復(fù)合算子Cφ和乘積算子Mu，即

近幾十年來函數(shù)空間上的復(fù)合算子理論[3-5]研究發(fā)展是很迅速的.就加權(quán)復(fù)合算子來說，不僅出現(xiàn)很多單位圓盤上的刻畫，還有多圓柱和單位球上的刻畫[6].研究的算子性質(zhì)也是各不相同，包括有界性和緊性[7-9]、本性范數(shù)[10]、等距同構(gòu)[11]等，本文研究的是復(fù)合算子有界性和緊性.當(dāng)然由加權(quán)復(fù)合算子，可以直接得到乘積算子和復(fù)合算子的對應(yīng)性質(zhì)，這一點不再特別說明.本文主要受到文獻(xiàn)[8]的啟發(fā)，在文獻(xiàn)[8]的定理1和定理3證明過程中，F(xiàn)·Colonna和S·Li應(yīng)用了文獻(xiàn)[7]中的定理1作為引理2，而文獻(xiàn)[3]中定理6和定理7是應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的定理2作為引理5.但注意到文獻(xiàn)[8]中的引理2和引理5與文獻(xiàn)[7]中的定理1和定理2有所差別，并且在文獻(xiàn)[8]中定理1證明過程中出現(xiàn)一些計算錯誤，從而導(dǎo)致其結(jié)論的等價性推倒不能嚴(yán)密成立，因此導(dǎo)致后面結(jié)論也出現(xiàn)類似的問題.在與F·Colonna通信之后確認(rèn)存在偏差，針對這些問題，下面通過修改引理和相關(guān)檢驗函數(shù)給出了合理的等價性說明.

在有界性部分，定理1和定理2用‖uφk‖Z刻畫了Bloch空間和Besov空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的有界性并給出等價條件;在緊性部分，定理3和定理4用‖uφk‖Z刻畫了Bloch空間和Besov空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的緊性，并給出等價條件.另外注意到 Bloch空間和Besov空間的情況是一致的，即{hp，a}(p=∞)很適合刻畫Bloch空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性，而這是文獻(xiàn)[8]所否定的.

1 有界性

為了刻畫Bloch空間和Besov空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的有界性，我們先給出引理1.固定 a∈D 和 z∈D，取和.容易驗證它們都屬于Bloch空間.

引理1[7]若u∈Z且 φ∈S(D)，則下列條件是等價的.

(a)這里pk(z)=zk，k為非負(fù)整數(shù).

(b)N1∶uCφfφ(w)，j‖Z，j=1，2，3 都有界.

(c)M3∶和M2有界.

定理1 若u∈Z且φ∈S(D)，則下列條件是等價的.

(a)加權(quán)復(fù)合算子uCφ∶B→Z有界.

(c)Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 以及 H 都有界.

(d)M1，M2和 M3有界，其中 M1=szupD(1-|z∈

證明:因為此定理應(yīng)用引理1，并且證明大部分與文獻(xiàn)[8]中的定理1類似，這里只證由(c)推得(d).

若 Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 以及 H 有界，由引理1，M2和M3有界，下面僅需要證明M1有界.對任意正整數(shù)n＞0和a∈D，由直接的計算可知

因此，由式(1)～(3)計算可以得到

于是由式(4)～(7)得到

對式(8)左右兩側(cè)乘(1-|w|2)并取模得到

在式(9)中對w∈D取上確界，即得M1有界.

下面的定理刻畫了Besov空間Bp(1＜p＜∞)到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的有界性，這與文獻(xiàn)[8]中定理3的等價結(jié)論也不同.由于證明基本一致，這里省略具體過程.對固定的a∈D和z∈D，定義，容易驗證 hp，a(z)∈Bp.

定理2 若u∈Z，φ∈S(D)，對1＜p＜∞，則下列條件等價.

(a)加權(quán)復(fù)合算子uCφ∶Bp→Z有界.

(b)且 Hp∶，其中pk(z)=zk，k為非負(fù)整數(shù).

(c)定理 1.2 中的 Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3有界，且有Hp界.

(d)M4，M2和M3都有界，其中M4=szupD(1-|∈

2 緊性

為了刻畫Bloch空間和Besov空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的緊性，我們先給引理，再給定理，其中的引理3代替文獻(xiàn)[8]中的引理5.

在下面定理3證明中，用到引理2和3以及公式(7)，這是與文獻(xiàn)[8]所不同的，但是證明思路與文獻(xiàn)[8]中定理6基本一致，故省略.

定理4給出Besov空間到Zygmund空間加權(quán)復(fù)合算子的緊性的等價刻畫，由于與定理3相似的理由，省略具體的證明過程.

引理2 若 u∈H(D)，φ∈S(D)，1＜p＜∞，則加權(quán)復(fù)合算子 uCφ∶B→Z(或者 uCφ∶Bp→Z)緊的充分必要條件是uCφ∶B→Z(或者uCφ∶Bp→Z)有界且B(或者Bp)上在單位圓盤D的緊子集上一致收斂于0的有界序列{fk}，當(dāng)k→∞時，有‖uCφfk‖Z→0.

引理3[7]若 u∈Z，φ∈S(D)，則下列條件等價.

定理3若u∈Z，φ∈S(D)并且 uCφ∶B→Z設(shè)有界，則下列條件等價.

(a)加權(quán)復(fù)合算子uCφ∶B→Z是緊的.

其中 pk(z)=zk，k 為非負(fù)整數(shù).

(c)‖Z=0，其中 j=1，2，3.

(d)=0，且

定理4 若u∈Z，φ∈S(D)，1＜p＜∞ 假設(shè)加權(quán)復(fù)合算子uCφ∶Bp→Z有界，則下列條件是等價的.

(a)加權(quán)復(fù)合算子uCφ∶Bp→Z是緊的.

且

3 結(jié)語

本文糾正了原有文獻(xiàn)的多處錯誤，其中不僅包括兩次引用的錯誤，還包含定理敘述錯誤和證明計算推理多次.總結(jié)出下面兩個可以由定理1～4直接得到的推論，這也證明了文獻(xiàn)[8]中的一處錯誤表述.

推論1 若 u∈Z，φ∈S(D)，對1＜p≤∞，則下列條件等價.

(a)且Hp∶

(b)Ni，i=1，2 和 Aj，j=1，2，3 有界，且 Hp有界.

(c)M4，M2和 M3有界，其中 M4=supz∈D(1-

推論2 若 u∈Z，φ∈S(D)，1 ＜p≤∞，則下列條件等價.

[1]ZHU K H.Analytic Besov spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications.1991，157(2):318-336.

[2]TJANI M.Compact composition operators on some M?bius invariant Banach spaces[D].Michigan:Michigan State University，1996.

[3]COWEN C C，MACCLUER B D.Composition operators on spaces of analytic functions[M].Boca Raton:CRC Press，1995.

[4]ZHU K H.Operator Theory on Function Spaces[M].New York:Marcel Dekker，1990.

[5]SHAPIRO J H.Composition Operators and Classical Function Theory[M].Springer-Verlag，1993.

[6]STEVIC S，CHEN R Y，ZHOU Z H.Weighted composition operators between Bloch-type spaces in the polydisc[J].Sbornik:Mathematics，2010，201(2):289-319.

[7]COLONNA F，LI S.Weighted composition operators frominto the Zygmund spaces[J].Complex Analysis and Operator Theory，2012，7(5):1495-1512.

[8]COLONNA F，LI S.Weighted Composition Operators from the Bloch Space and the Analytic Besov Spaces into the Zygmund Space[J].Journal of Operators，2013，doi:10.1155/2013/154029.

[9]COLONNA F，LI S.Weighted composition operators from the minimal M?bius invariant space into the bloch space[J].Mediterranean Journal of Mathematics，2013，10(1):395-409.

[10]ZHAO R.Essential norms of composition operators between Bloch type spaces[J].Proc.American Mathematical Society，2012，138(7):2537-2546.

[11]HYVARINEN O，LINDSTROM M，NIEMINEN I，et al.Spectra of weighted composition operators with automorphic symbols[J].Journal of Functional Analysis，2013，265(8):1749-1777.