祖克熱古麗·吾斯曼，夏米西努爾·阿布都熱合曼

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺陷綜合征”(英文縮寫AIDS)，是由艾滋病病毒(人類免疫缺陷病毒－HIV)引起的一種嚴(yán)重傳染病。艾滋病病毒侵入人體后會(huì)破壞人體的免疫功能，使人體發(fā)生多種難以治愈的感染和腫瘤，最終導(dǎo)致死亡。艾滋病病毒對(duì)外界環(huán)境的抵抗力較弱，離開人體后，常溫下只能生存數(shù)小時(shí)至數(shù)天。高溫、干燥以及常用消毒藥品都可以殺滅這種病毒。據(jù)專家介紹，艾滋病病毒感染者從感染初期算起，要經(jīng)過數(shù)年、甚至長(zhǎng)達(dá)10年或更長(zhǎng)的潛伏期后才會(huì)發(fā)展成艾滋病病人。艾滋病病人因抵抗能力極度下降會(huì)出現(xiàn)多種感染，如帶狀皰疹，口腔霉菌感染，肺結(jié)核，特殊病原微生物引起的腸炎、肺炎、腦炎，念珠菌、肺囊蟲等多種病原體引起的嚴(yán)重感染等，后期常常發(fā)生惡性腫瘤，直至因長(zhǎng)期消耗導(dǎo)致全身衰竭而死亡。隨著人類對(duì)艾滋病認(rèn)識(shí)的加深，越來(lái)越多的人開始研究艾滋病，數(shù)學(xué)家們也不例外。

艾滋病傳播方式主要有3種，其中垂直傳播(母嬰傳播)是主要傳播形式。文獻(xiàn)［1－4］研究了艾滋病垂直傳播模型并得到相應(yīng)的結(jié)果。事實(shí)上，加時(shí)滯的垂直傳播模型更接近于實(shí)際。因此，本文研究加時(shí)滯垂直傳播模型。

本文討論了一類帶有時(shí)滯垂直傳播的HIV/AIDS傳播模型，給出了2個(gè)平衡點(diǎn)。研究了當(dāng)R0＜1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定和地方病平衡點(diǎn)時(shí)滯等于零時(shí)的全局穩(wěn)定性。第1部分給出了模型;第2部分證明了解的正性，找出了解集;第3部分求出平衡點(diǎn)和基本再生數(shù);第4部分討論無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;第5部分研究地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

1 模型的建立

本節(jié)對(duì) Swarnali Sharma［5］的垂直傳播模型增加時(shí)滯考慮，建立了一類具有時(shí)滯垂直傳播的HIV模型，根據(jù)條件考慮了模型的2個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，研究了無(wú)病平衡的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

研究中把高危人群分為5種類型:易感者S(t);有癥狀的感染者I1(t);無(wú)癥狀的感染者I2(t);在接受治療的感染者T(t);艾滋病患者A(t)。

這里，假設(shè)易感者和感染者為同性戀且發(fā)生率為雙線性。根據(jù)以上假設(shè)得到數(shù)學(xué)模型為:

式中:Λ是易感者的輸入率;β1是易感者和無(wú)癥狀的感染者接觸時(shí)的平行傳播發(fā)生率;β2是易感者和有癥狀的感染者接觸時(shí)的平行傳播發(fā)生率;η是垂直傳播率，即新出生的感染的嬰兒進(jìn)入無(wú)癥狀階段的比例;α是無(wú)癥狀的人群發(fā)展到有癥狀的階段的比例;ρ是有癥狀的人群進(jìn)入接受治療的感染者人群的比例;σ是有癥狀的人群直接進(jìn)入艾滋病患者的比例;γ是接受治療的人群進(jìn)入艾滋病患者的比例;d是艾滋病患者的因病死亡率;μ是自然死亡率。

模型(1)的初始條件為:S(θ)=φ1(θ)，I1(θ)=φ2(θ)，I2(θ)=φ3(θ)，T(θ)=φ4(θ)，A(θ)=φ5(θ)，且 φi(θ)≥0，i=1，2，3，4，5，對(duì)任意 θ∈［－ τ，0］。由生物意義還可得到 φi＞0，i=1，2。

2 解的正性及解集

定理1 對(duì)任意t≥0，在初值條件下，模型(1)的所有解為正解，且所有解進(jìn)入集合:

證明 解的正性顯然，省略。下面證有界性。

模型(1)的5個(gè)方程相加得

以下討論始終假設(shè)μ＞η。綜上可得定理1的結(jié)論。

3 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

模型(1)的前3個(gè)方程不包含T(t)和A(t)，因此以下只討論三維的情形:

顯然，如果R0＞1，則模型(2)存在一個(gè)正的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*，)，且:

4 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 如果R0＜1，那么模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Γ內(nèi)局部漸近穩(wěn)定。

證明 模型(2)在E0處的雅克比矩陣的特征方程為:

顯然一個(gè)特正根為λ=－μ。因此，只需討論如下方程:

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(4)可寫成:

式(5)中令λ的系數(shù)為C1，常數(shù)項(xiàng)為C2，則由R0＜1可得

由此可得C2＞0。由

由Hurwitz判據(jù)［6］可得:當(dāng)τ=0時(shí)，E0局部漸近穩(wěn)定。

如果τ＞0，假設(shè)(4)存在λ=iω(ω＞0)形式的根，則ω應(yīng)滿足等式

分離實(shí)部和虛部得

將式(7)的2個(gè)方程平方相加得

其中

當(dāng)R0＜1時(shí)可得a1＞0，R0＜1意味著

這說明

兩邊平方后左邊剛好是a0，因此方程(8)無(wú)正根。這說明方程(4)沒有λ=iω形式的根，故其所有根具有負(fù)實(shí)部。由時(shí)滯微分方程一般理論［7－10］知:當(dāng)R0＜1時(shí)，模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。

下面證明無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。

定理3 如果R0＜1，那么模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下:

對(duì)L沿著模型(2)求導(dǎo)數(shù)得

當(dāng) R0＜1 時(shí)，L'|(2)≤0，等式 L'|(2)=0，當(dāng)且僅當(dāng) I1=0 時(shí)成立。因此，集合{(S，I1，I2):L'|(2)=0}的最大不變集為單點(diǎn)集{E0}。由LaSalle不變形原理［5］知:無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

5 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

本節(jié)對(duì)τ=0時(shí)的模型進(jìn)行討論。當(dāng)τ=0時(shí)在文獻(xiàn)［5］中已證明了地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。下面用Lyapunov函數(shù)的方法證明地方病平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。

定理4 如果R0＞1，那么模型(2)的地方病平衡點(diǎn)E*在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

證明 構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)如下，

其中D是待定常數(shù)。對(duì)V沿模型(2)求導(dǎo)得

下面進(jìn)行變量替換，令

整理可得

D定義為

則有

由算數(shù)平均數(shù)大于或等于幾何平均數(shù)可得

因此，在Γ內(nèi)有V'|(2)≤0，等式當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)成立，即S=S*，I1=，I2=。模型(2)集合{(S，I1，I2):V'|(2)=0}上的最大不變集為單點(diǎn)集{E*}。由 LaSalle不變?cè)恚?］知:當(dāng) R0＞1時(shí)，模型(2)的地方病平衡點(diǎn)E*在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

6 數(shù)值仿真

下面通過數(shù)值仿真來(lái)說明本文結(jié)論的正確性和方法的有效性。數(shù)值仿真采用Matlab軟件。表1和2中的一些參數(shù)取自相關(guān)文獻(xiàn)［5］，另外一些參數(shù)由估計(jì)所得。

圖1、2說明:對(duì)于不同的初始值，兩類平衡點(diǎn)都是全局漸近穩(wěn)定的。

表1 仿真參數(shù)1

圖1 R0=0.607 7

表2 仿真參數(shù)2

圖2 R0=3.698 3

7 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一類帶時(shí)滯垂直傳播的HIV/AIDS傳播模型的穩(wěn)定性。微分方程的性態(tài)由基本再生數(shù)控制。若R0＜1，則無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0＞1且τ=0時(shí)，得到了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性;當(dāng)τ＞0時(shí)，通過數(shù)值模擬可得地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。其理論證明有待進(jìn)一步研究。

［1］Naresh R，Sharma D.An HIV/AIDS model with vertical transmission and time delay［J］.World Journal of Modeling and Simulation，2011(7):230 －240.

［2］Naresh R，Tripathi A，Omar S.Modelling the spread of AIDS epidemic with vertical transmission［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，178:262 －272.

［3］Liming Cai，Xuezhi Li.Stability analysis of an HIV/AIDS epidemic model with treatment［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，229:313 －323.

［4］Elaiw A M.Global properties of a class of HIV models［M］.Nonlinear Analysis:Real World Applications，2010:2253 －2263.

［5］Swarnali G P.Dynamical Behaviour of an HIV/AIDS Epidemic Model［J］.Differential Equation Dynamic Systems，2014，22(4):369－395.

［6］馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［7］Kuang Y.Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics［M］.New York:Academic Press，1993.

［8］LaSalle J P.The Stability of Dynamical Systems，in:Regional Conference Series in Applied Mathematics［M］.Philadelphia:SIAM(Society for Industrial and Applied Mathematics)，1976.

［9］Dongmei Xiao，Shigui Ruan.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate［J］.Mathematical Biosciences，2007，208:419 －429.

［10］Hai-Feng Huo，Li-Xiang Feng.Global stability for an HIV/AIDS epidemic model with different latent stages and treatment［J］.Applied Mathematical Modeling，2013，37:1480 －1489.