常雁玲

摘要：線性代數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的一部分，是大學(xué)必須要學(xué)習(xí)的一門(mén)科目。那么如何調(diào)動(dòng)學(xué)生們對(duì)線性代數(shù)的興趣，讓學(xué)生們主動(dòng)并且積極的學(xué)習(xí)線性代數(shù)，對(duì)于一個(gè)從事教學(xué)工作的人員來(lái)說(shuō)，有著極為重要的意義。豐富的教學(xué)手段，多年的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)，以及遇到諸多問(wèn)題后的種種反思對(duì)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)都是極為重要的。本文主要總結(jié)了線性代數(shù)的幾種教學(xué)方法，涉及到教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題，以及一些行之有效的觀點(diǎn)和方法。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；觀點(diǎn)；教學(xué)方式

引言：線性代數(shù)的應(yīng)用，涉及的范圍十分廣泛，例如數(shù)學(xué)、物理學(xué)，亦或是其他技術(shù)學(xué)科之中，因此線性代數(shù)在各種代數(shù)分支中，可以說(shuō)是占據(jù)著首要位置。而線性代數(shù)同樣是理工科大學(xué)各專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課，學(xué)習(xí)線性代數(shù)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、計(jì)算能力、抽象思維能力以及工程實(shí)踐中的具體應(yīng)用能力有著不可忽視的作用。而線性代數(shù)這門(mén)學(xué)科，通常在大一大二年級(jí)設(shè)置，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)的困難，一度讓學(xué)生們感覺(jué)束手無(wú)策。那么，如何解決這一問(wèn)題，如何調(diào)動(dòng)學(xué)生們學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，讓這門(mén)學(xué)科的成績(jī)提升上來(lái)，無(wú)疑成為了老師們教學(xué)的關(guān)鍵。

一、代數(shù)概念區(qū)分

（一）行列式和矩陣

行列式和矩陣，是解析線性代數(shù)的關(guān)鍵，而這二者之間，有著密切的聯(lián)系，卻又不能將其等同。那么，首先，要確定二者各自的定義，注意二者之間的符號(hào)差異，其具體表現(xiàn)在：

1.矩陣 ，行列式 。

2.表現(xiàn)形狀。

由此可見(jiàn)，行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以相等。

3.意義差距。

矩陣是數(shù)的表格，而行列式則是一個(gè)數(shù)，亦可說(shuō)是一個(gè)算式。

（二）行列式與矩陣計(jì)算方法的不同

線性代數(shù)涉及的計(jì)算內(nèi)容，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，很難。甚至，很多同學(xué)覺(jué)得，面對(duì)計(jì)算時(shí)，有種無(wú)從下手的感覺(jué)。一般求解方程組的時(shí)候，有些同學(xué)生搬硬套，直接采取克拉默法則求解。如果同學(xué)們能夠清楚二者之間的差別，知道只有方陣才能有對(duì)應(yīng)的行列式，不相等的矩陣無(wú)法用行列式進(jìn)行計(jì)算的話，就不會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤。

二、針對(duì)行列式和矩陣的差別，采取對(duì)比教學(xué)法

線性代數(shù)中的行列式和矩陣容易混淆，其中涉及的概念以及數(shù)乘運(yùn)算，是學(xué)生們最為困擾的一點(diǎn)。如何將它們區(qū)分開(kāi)來(lái)，這是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。這里采取對(duì)比的教學(xué)方法，可以加深同學(xué)們的印象，有著不錯(cuò)的教學(xué)效果。

學(xué)生在學(xué)習(xí)行列式和矩陣初等變換后，容易將二者的符號(hào)弄混淆。尤其是二者符號(hào)書(shū)寫(xiě)上面完全一致，但它們本質(zhì)是不同的。例如行列式的運(yùn)算表示的是數(shù)值運(yùn)算，變換過(guò)程中用“=”連接，且前面會(huì)出現(xiàn)負(fù)號(hào)“-”。而矩陣變形過(guò)程中，不會(huì)出現(xiàn)負(fù)號(hào)“-”，也不會(huì)出現(xiàn)系數(shù)“ ”。

（一）矩陣、行列式的加法和數(shù)乘

矩陣的加法運(yùn)算時(shí)，兩個(gè)同型矩陣相加是指它們的對(duì)應(yīng)元素相加。行列式的某一列或是某一行兩數(shù)相加，也是對(duì)應(yīng)元素相加。但區(qū)別是，矩陣中的每一個(gè)元素都是兩數(shù)之和時(shí)，此矩陣等于兩個(gè)矩陣的和。而行列式則是等于兩個(gè)行列式的和。至于數(shù)乘運(yùn)算，二者的差別要更大一些。矩陣式只有公因子可以提到矩陣符號(hào)外，而行列式只需要滿足一行，或是一列的公因子，就可以提到符號(hào)外。

（二）矩陣的等價(jià)、相似、合同的充分必要條件

矩陣的等價(jià)性質(zhì)分為三方面，分別是反身性、對(duì)稱性、傳遞性。兩個(gè) 矩陣 ， 等價(jià)的充要條件為：存在可逆的 階矩陣 與可逆的 階矩陣 ，使得 。

矩陣的相似關(guān)系：設(shè) ， 均為數(shù)域 上 階可逆矩陣 ，矩陣 與 為相似矩陣（若 級(jí)可逆矩陣 為正交陣，則稱 與 為正交相似矩陣）。同樣的，矩陣的相似關(guān)系也有三個(gè)性質(zhì)，分別是反身性、對(duì)稱性、傳遞性。

矩陣合同的性質(zhì)：反身性，任意矩陣 都與自身合同；對(duì)稱性，如果 與 合同，那么 與 也合同；傳遞性，如果 與 合同， 又與 合同，，那么 與 合同；合同的兩矩陣有相同的二次型標(biāo)準(zhǔn)型；在數(shù)域 上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣；矩陣合同與數(shù)域有關(guān)。

三、善于發(fā)現(xiàn)和利用反例

線性代數(shù)中存在很多抽象的概念，如何將這些抽象的概念掌握，如何在初學(xué)時(shí)掌握一定的技巧，避免走入誤區(qū)，這一點(diǎn)，十分關(guān)鍵。如果能夠舉一些反例，相比較之下，就會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩陣運(yùn)算的時(shí)候，可以告訴學(xué)生，矩陣乘法不滿足交換律。但這樣的強(qiáng)調(diào)，并不能引起學(xué)生們的注意。這時(shí)候，舉出一個(gè)反例，用錯(cuò)誤的計(jì)算點(diǎn)醒學(xué)生，就會(huì)取得一個(gè)不錯(cuò)的效果。

四、舉一反三，一題多解

一道題的正確解答方法不單單只有一個(gè)，那么發(fā)散學(xué)生的解題思路，開(kāi)拓學(xué)生的視野，將所學(xué)知識(shí)有效的串聯(lián)起來(lái)，對(duì)于養(yǎng)成學(xué)生發(fā)散思維，有著重要影響。

例1：已知向量組 ， ， 線性無(wú)關(guān)， ， ， ，證明：向量組 ， ， 也線性無(wú)關(guān)。

證法1：設(shè)有 ， ， ，使得 ，

即 ，

故方程組只有當(dāng) 成立，所以向量組線性無(wú)關(guān)。

證法2：采用行列式，由題意得 ，可記作 ，其中 的絕對(duì)值不為0，所以 可逆，又因 ， ， 線性無(wú)關(guān)，故有 ，所以向量組線性無(wú)關(guān)。

五、注意各章節(jié)之間的聯(lián)系

線性代數(shù)之間的聯(lián)系十分密切，每一章節(jié)的聯(lián)系對(duì)于學(xué)生們接下來(lái)的學(xué)習(xí)有著承上啟下的影響。所以，在教學(xué)時(shí)，每一個(gè)章節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生掌握的同時(shí)，也要延伸到這一章節(jié)對(duì)接下來(lái)學(xué)習(xí)的影響，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打好提前量。

六、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，線性代數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的重要組成部分，雖然內(nèi)容并不是很多，但卻有著十分重要的作用。如何學(xué)好這一科，對(duì)于學(xué)生日后的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。所以，在今后的教學(xué)中，要根據(jù)這門(mén)學(xué)科本身的特點(diǎn)，制定正確的教學(xué)方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)這一學(xué)科的諸多難題。

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