夏士勇

[摘 要]畫圖策略是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種解題策略，是學(xué)生根據(jù)所揭示的數(shù)學(xué)問題內(nèi)涵，采用畫圖的方法，把抽象問題具體化、直觀化，從而達(dá)到解決問題之目標(biāo)。畫圖策略是“數(shù)形結(jié)合”思想的具體體現(xiàn)，通過畫圖的價(jià)值、策略、反思等三方面，探尋畫圖策略在日常教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用，以幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題。

[關(guān)鍵詞]畫圖策略 思考 數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）08-021

在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們總是會(huì)遇到一些“說不清，道不明”的題，比如一年級(jí)的排隊(duì)問題，圖形的拼組問題，二年級(jí)上冊(cè)的搭配問題，等等（如圖1）。

我們?cè)鯓硬拍芤龑?dǎo)學(xué)生迅速地找到突破口，打開思路呢？數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)中指出：“要使學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略?！碑媹D策略是眾多解題策略中最基本，也是很重要的一個(gè)策略。從心理學(xué)角度講，它符合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，因?yàn)樾W(xué)生的思維以具體形象思維為主，抽象思維水平不高，因此通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

因此，本人覺得很有必要進(jìn)行畫圖教學(xué)的嘗試，從而改變一些學(xué)生的行為和想法，同時(shí)切實(shí)提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的解題能力。

一、體驗(yàn)簡(jiǎn)潔，感悟畫圖價(jià)值

我們都知道畫圖的重要性，可學(xué)生未必知道，即使有些學(xué)生知道畫圖卻未必想用。因此一直以來，我們都希望通過畫圖讓學(xué)生真切地感受到畫圖策略的價(jià)值，知道畫圖的簡(jiǎn)潔、有效，讓畫圖成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好助手。

1.一年級(jí)的“畫圖學(xué)數(shù)學(xué)”

（1）故事引入，激發(fā)興趣

（2）提出要求，畫出過程

用你自己喜歡的方式把鳥兒只數(shù)發(fā)生變化的過程畫出來。

（3）獨(dú)自畫圖，展示匯報(bào)

（4）對(duì)比交流，初悟價(jià)值

師：這么多的表達(dá)方式與原來的文字圖表示，你喜歡哪一種？

生1：當(dāng)然是第三種了，最簡(jiǎn)單。

生2：我喜歡畫圖，因?yàn)樗奖?，能看懂?/p>

生3：第一種很好看，只是要很多時(shí)間。

生4：文字太多了，好多字不認(rèn)識(shí)，所以喜歡畫圖。

……

2.教學(xué)四年級(jí)的植樹問題的導(dǎo)入片段

（1）情境引入：操場(chǎng)邊上，有一條長(zhǎng)25米的小路，學(xué)校打算在小路一邊植樹。請(qǐng)按照每隔5米栽一棵的要求設(shè)計(jì)一份植樹方案，并說明設(shè)計(jì)理由。

（2）學(xué)生獨(dú)自思考，展示匯報(bào)。根據(jù)畫的情況有以下三類：

可以看到，中高年級(jí)學(xué)生已有意識(shí)畫簡(jiǎn)潔的示意圖，大部分學(xué)生喜歡用線段圖來分析，因?yàn)閺膱D上可形象地看出樹與間隔之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而找到解題的方法。

從上面的兩個(gè)案例來看，學(xué)生在整理以往原始、樸素的經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，激發(fā)了“畫圖”的欲求，在原始知識(shí)整理過程中、畫圖經(jīng)歷過程中、圖片比較過程中、智慧提升過程中，凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身應(yīng)該體現(xiàn)的智慧——簡(jiǎn)潔，同時(shí)讓學(xué)生真切感受畫圖的必要性。用學(xué)生的話說，圖是越畫越省勁，越畫越簡(jiǎn)易，越畫數(shù)量關(guān)系越清晰，越畫越有利于思考了。

二、多種維度，領(lǐng)悟畫圖策略

1.展現(xiàn)豐富的畫圖方式，理解內(nèi)涵

教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何新知的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握內(nèi)在的規(guī)律和聯(lián)系?！碑媹D的方式有很多種，應(yīng)該豐富展現(xiàn)學(xué)生的“各種畫圖方式”，而不是武斷地去判斷學(xué)生畫圖方式的好與壞，要把選擇的權(quán)力交給學(xué)生。

如二年級(jí)數(shù)學(xué)廣角——搭配問題的“拍照留影”練習(xí)設(shè)計(jì)：3只小羊要站成一行拍照，有哪幾種不同的方法？

情景展示：激烈的比賽結(jié)束了，3只小羊都想拍集體照留影。請(qǐng)你利用剛才學(xué)到的知識(shí)，當(dāng)一回小小攝影師，這3只小羊可以怎么站？

學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考，給出了自己喜歡的方式。教師進(jìn)行分類展示：

教師小結(jié)：同學(xué)們，你們真棒！用了這么多方式解決了拍照問題。你最喜歡哪種方式？說說你的想法。

學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，教師所要做的只是提供平臺(tái)放手讓他們?nèi)セ顒?dòng)，而對(duì)一個(gè)有獨(dú)立思想的學(xué)生來說經(jīng)歷這樣豐盈的過程性活動(dòng)會(huì)比接受枯燥的結(jié)論性講授更有意義。

2.展現(xiàn)個(gè)性化的畫圖思考，拓展思維

教學(xué)畫圖策略的目的，就是幫助學(xué)生理解題意，找到問題的突破口，從不同的視角出發(fā)，真正拓展學(xué)生的思維。排隊(duì)問題，是一年級(jí)教學(xué)的難點(diǎn)之一，運(yùn)用畫圖策略嘗試解決排隊(duì)問題，學(xué)生會(huì)冒出許多意想不到的想法。例如 “有12個(gè)小朋友排隊(duì)，小明從前面數(shù)排在第3位，小剛從前面數(shù)排在第10位，小明和小剛之間有幾個(gè)小朋友？”

學(xué)生通過獨(dú)立思考，進(jìn)行了如下展示匯報(bào)。

生1：有12個(gè)圓圈，表示12個(gè)學(xué)生，減去小明和前面的2個(gè)，再減去小剛和小剛后面的2個(gè)，就是12-3-3=6。

生2：我只要畫10個(gè)圓圈，減去小明前面的2個(gè)，再減去小明和小剛2個(gè)，就是10-4=6。

生3：我也要畫12個(gè)圓圈，減去小明前面的2個(gè)，再減去小明和小剛2個(gè)，最后減去小剛后面的2個(gè)，就是12-2-2-2=6。

生4：我只要畫有8個(gè)圓圈，減去小明1個(gè)，再減去小剛1個(gè)，就是8-1-1=6。我的圖是這樣的，你們同意嗎？

（大家一下子沒反應(yīng)過來，沒有馬上回答，同意的很少。

生6：8是哪里來的？

生4：從第3個(gè)到第10個(gè)，就是有8個(gè)小朋友。（這時(shí)有一部分學(xué)生恍然大悟）

著名心理學(xué)家皮亞杰曾經(jīng)指出：“兒童的思維是從動(dòng)作開始的，切斷動(dòng)作與思維之間的聯(lián)系，思維就不能得到很好的發(fā)展?！泵恳粋€(gè)學(xué)生的思維是獨(dú)特的，需要展現(xiàn)和碰撞。通過畫圖這一橋梁，溝通了學(xué)生動(dòng)手操作和思維發(fā)展的聯(lián)系。所以，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖策略，既能發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作能力，又可以促使思維更加完善、精確。

3.展現(xiàn)層層深入的畫圖理解，揭示本源

五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)，是一堂充滿挑戰(zhàn)的課，眾多的名師和專家對(duì)此進(jìn)行了不同的演繹，其中不乏開放而經(jīng)典的操作設(shè)計(jì)理念令人折服。我從畫圖的思路出發(fā)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)。

第一次操作畫圖。

（1）說說1 / 4表示什么意思。

（2）畫出你心目中的1 / 4。（學(xué)生展示的都是一個(gè)物體的1 / 4。）

第二次操作畫圖。

（1）你能會(huì)畫出下面的1 / 4嗎？

師：現(xiàn)在我給每一個(gè)人一張練習(xí)紙，有4個(gè)小立方體，8個(gè)面包，6個(gè)餅干。通過畫一畫、分一分等方法，創(chuàng)造分?jǐn)?shù)1 / 4。

（2）展示匯報(bào)。

（3）初悟意義。

師：很奇怪，分的東西不一樣，分的結(jié)果不一樣，為什么都可以用分?jǐn)?shù)1 / 4表示？1 / 4到底表示什么意思？

（4）認(rèn)識(shí)單位“1”。（課件顯示：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一些物體）

第三次畫圖創(chuàng)造分?jǐn)?shù)。

（1）師：看到這些材料，我們還能創(chuàng)造出哪些不同的分?jǐn)?shù)？請(qǐng)你畫一畫，說一說含義。

生1：我得到的是3 / 4，因?yàn)榍懊媸? / 4，后面是3 / 4，表示把4個(gè)小立方體平均分成4份，選3個(gè)，就是3 / 4。

生2：我創(chuàng)造的是4 / 8，表示把8個(gè)面包平均分成8份，選4個(gè)，就是4 / 8。

生3：我創(chuàng)造的是2 / 3，表示把6塊餅干平均分成3份，選2份就是4個(gè)，就是2 / 3。

……

（2）揭示意義。師：到底什么叫分?jǐn)?shù)？你能用自己的話說一說嗎？

（3）理解分子分母的意義。這個(gè)“若干份”是分?jǐn)?shù)中的什么？（分母，表示平均分的份數(shù)）“這樣的一份或幾份”是分?jǐn)?shù)中的什么？（分子，表示取的份數(shù)）

通過畫圖這個(gè)載體，一層又一層地?fù)荛_分?jǐn)?shù)意義神秘的面紗，學(xué)生的回答一個(gè)比一個(gè)精彩，學(xué)生“學(xué)習(xí)的”色彩體現(xiàn)得淋漓盡致。

三、回顧反思，整理畫圖建議

實(shí)施畫圖教學(xué)一段時(shí)期后，在實(shí)際解決問題中，還是有少部分的學(xué)生解題時(shí)沒有畫圖，通過與這些學(xué)生的訪談，得到不畫圖的原因有2個(gè)：一是不需要，覺得有些題不畫圖也可以很輕易地解答;二是不會(huì)畫，不會(huì)把題目中的信息用圖示來表達(dá)。對(duì)此，我給出以下的建議。

1.靈活畫圖的評(píng)價(jià)機(jī)制

畫圖的方式有很多種，包括畫線段圖、畫圖形、畫示意圖、畫面積圖、畫點(diǎn)子圖、集合圖等。教師要認(rèn)識(shí)到，學(xué)生所畫的圖也許有優(yōu)劣之分，但學(xué)生的思考過程并沒有好壞之別，都反映出學(xué)生對(duì)問題的理解和所做出的努力。只要學(xué)生畫的圖能夠有效地幫助分析和解決問題都應(yīng)得到教師的肯定，不必強(qiáng)求統(tǒng)一的格式。

2.加強(qiáng)畫圖的能力指導(dǎo)

小學(xué)生畫圖策略的形成是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，作為教師應(yīng)站在一個(gè)較高的層面上用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀念去審視和處理教材，注重不同階段對(duì)畫圖策略的滲透、總結(jié)和整理。

低年級(jí)教學(xué)可從實(shí)際圖形過渡到畫示意圖，比如二年級(jí)的乘法問題：同學(xué)們澆花，每人澆4盆花，3個(gè)人一共澆多少盆花？可以讓學(xué)生通過“擺圖形、擺小棒到畫圖形、畫示意圖”進(jìn)行理解。中、高年級(jí)可從關(guān)注模擬演示、畫圖示意及抽象的線段圖中體現(xiàn)畫圖策略，如行程問題：小明和小紅分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，第一次相遇在距甲地86米處，相遇后繼續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)對(duì)方地點(diǎn)后返回，第二次相遇在距乙地58米處，甲乙兩地相距多少米？這個(gè)問題如果以線段圖的形式來展現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系就非常清楚了，很容易得出86×3-58=200（米）。

因此，教師應(yīng)該整體把握畫圖策略，系統(tǒng)地進(jìn)行指導(dǎo)，堅(jiān)持不懈，持之以恒，從而系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略分析、解決問題的能力。

3.整理畫圖的系列內(nèi)容

在教材中，畫圖策略并沒有獨(dú)立的單元形式出現(xiàn)，但確實(shí)滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。我們初步整理了教材中滲透畫圖策略和思想的內(nèi)容。（如下表）

對(duì)教材有了一個(gè)比較完整的把握，就能做到胸中有數(shù)，可以更好地實(shí)施畫圖策略教學(xué)。

由此可見，畫圖策略是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的直觀性來對(duì)問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的反思和交流，以幫助學(xué)生分析問題和解決問題，最終培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（責(zé)編 金 鈴）