張承客，李 寧,2，胡海霞

(1 西安理工大學 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2 中國科學院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點實驗室，甘肅 蘭州 730000；3 湖南省湘電鍋爐壓力容器檢驗中心有限公司，湖南 長沙 410007)

非靜水壓力下圓形隧洞圍巖塑性區(qū)分析

張承客1，李 寧1,2，胡海霞3

(1 西安理工大學 巖土工程研究所，陜西 西安 710048；2 中國科學院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點實驗室，甘肅 蘭州 730000；3 湖南省湘電鍋爐壓力容器檢驗中心有限公司，湖南 長沙 410007)

【目的】 針對地下圓形洞室承受非靜水初始壓力作用下的平面應變問題，分析圍巖的塑性區(qū)范圍，為評價圍巖穩(wěn)定性和洞室支護結構的設計提供依據(jù)?！痉椒ā?對洞室圍巖彈塑性邊界兩側分別采用復變函數(shù)理論和滑移線場理論得出彈性區(qū)和塑性區(qū)應力組合表達式，根據(jù)彈塑性邊界上應力相等得到邊界方程；通過有限元算例將本研究方法的結果與卡斯特納等方法的分析結果進行比較，并分析靜水壓力的變化情況?！窘Y果】 彈塑性邊界為近似橢圓形，長軸與最大初始應力方向垂直；本研究方法與有限元分析結果更為接近，能夠很好地反映洞室圍巖塑性區(qū)范圍；在靜水壓力下的分析結果與卡斯特納公式所得塑性區(qū)半徑一致?！窘Y論】 在非靜水壓力下塑性區(qū)全部包圍洞室時，本研究方法能夠更好地用于指導支護結構設計以及圍巖穩(wěn)定性評價。

地下洞室；圍巖；塑性區(qū)邊界；非靜水壓力；復變函數(shù)理論；滑移線場理論

地下洞室開挖擾動原巖的初始應力狀態(tài)，洞室圍巖應力會進行調(diào)整達到新的平衡狀態(tài)并出現(xiàn)應力集中，當應力狀態(tài)超過屈服極限就會在洞室周圍形成塑性區(qū)。因地下洞室圍巖塑性區(qū)的范圍是評價圍巖穩(wěn)定性的重要依據(jù)和洞室支護結構定量設計的理論基礎，故塑性區(qū)區(qū)域界限的確定一直是人們關心的問題。

對于地下圓形洞室，人們常用卡斯特納公式或Salen?on解答等來確定其塑性區(qū)范圍及洞周應力、變形狀態(tài)。但在實際工程中，地下洞室初始應力場并非靜水壓力場，即其側壓力系數(shù)為不等于1的非軸對稱應力場，此時的洞室塑性區(qū)邊界不再是理想的圓形，確定其邊界也就顯得比較困難。

國內(nèi)外研究學者針對非靜水壓力場下圓形洞室(圓孔)塑性區(qū)范圍的研究已開展了大量工作，如薩文[1]針對無限平面中的圓孔問題，得到塑性區(qū)邊界方程及彈塑性解，但結果只適用于Tresca材料。Detournay等[2-3]將薩文解擴展至符合摩爾-庫倫屈服準則的材料中。卡斯特奈[4]、Carranza-Torres等[5]、張鵬等[6]、于學馥等[7]將彈性區(qū)應力公式(基爾希解答)帶入塑性條件來判斷圍巖是否進入塑性狀態(tài)，得到邊界的隱式近似解。Bello-Maldonado[8]、嚴克強[9]、魏符[10]、孫廣忠[11]、陳立偉等[12]、蔡曉鴻等[13]參考已有彈性解和軸對稱條件下的塑性解，構建應力分量表達式并得出彈塑性邊界解。Jiang等[14]給出了塑性區(qū)和松動區(qū)半徑公式并劃分了4種不同的洞室塑性破壞模式。Imamutdinov等[15]、Tokar[16]通過若干假設及前人未考慮到的因素得出解析解或半解析解。魯賓涅依特[17]、蔡美峰[18]、陳啟美[19]、魏悅廣[20]采用小參數(shù)法對二向不等壓作用下的圓形洞室進行研究，得到圍巖彈塑性應力以及彈塑性邊界線方程。

剖析前人的研究成果，可以發(fā)現(xiàn)其中存在以下不足：彈性區(qū)應力解具有基爾希解形式，這是缺乏理論根據(jù)的，而且究竟會產(chǎn)生多大的誤差尚不清楚[20]；現(xiàn)在得到的塑性區(qū)范圍較按彈塑性有限元法算得的塑性區(qū)范圍小10%～30%[21]；塑性區(qū)力學模型被視為軸對稱平面問題；應力平衡條件僅考慮徑向應力或者切向應力導致彈塑性邊界兩側區(qū)域應力分量不對等；鮮有研究者對自己研究結果的適用范圍進行討論。

本研究嘗試對洞周彈性區(qū)采用復變函數(shù)法得到彈性區(qū)應力組合，按塑性區(qū)符合摩爾-庫倫屈服準則并采用滑移線理論來求解其應力組合分布。根據(jù)彈塑性區(qū)邊界上應力相等條件(彈塑性區(qū)域均存在3個應力分量)得到塑性區(qū)邊界方程表達式，通過算例以有限元數(shù)值計算為基準比較本研究方法與前人方法的差異，并對求解方法的適用范圍進行討論，以期為不同初始應力狀態(tài)下所對應的塑性區(qū)形態(tài)研究提供參考。

1 彈性基本方程

彈性力學平面問題的應力解法最終歸結為在給定應力邊界條件下一個雙調(diào)和方程的求解問題。滿足雙調(diào)和方程的應力函數(shù)可以采用復數(shù)解析函數(shù)來表示雙調(diào)和方程的通解。在彈塑性邊界以外區(qū)域中，可以用2個正則函數(shù)η和υ表示應力分量組合表達式[22]：

(1)

(2)

式中：σx、σy、τxy為平面問題中某一點應力狀態(tài)的3個應力分量；z為復變量，z=x+yi，其中x，y分別為z的實部和虛部，i為虛數(shù)單位。

考慮作用于洞室內(nèi)壁和無窮遠處的應力條件，得到η和υ的表達式為：

(3)

(4)

2 塑性基本方程

塑性區(qū)存在于洞周與彈性區(qū)之間，滿足摩爾-庫倫塑性準則。塑性區(qū)平面應變問題的平衡方程為：

(5)

式中：γ為巖土體的容重，β為重力方向和y軸的夾角。當不考慮巖土體自重時，等式右端為0，以下分析均不考慮巖土體自重。

摩爾庫倫屈服條件的表達式為：

(6)

式中：c為巖體黏聚力，φ為巖體內(nèi)摩擦角。

式(5)、(6)是滑移線場理論的應力基本方程，直接求解這2個方程存在困難，但可以應用特征線法來求解。

x-y坐標系中任一滿足屈服條件的點的平面應力分量可表示為：

(7)

式中：σ指平均應力(即應力圓圓心應力值)，σ=(σx+σy)/2=(σ1+σ3)/2,σ1為大主應力，σ3為小主應力；R為應力圓半徑，在摩爾-庫倫屈服準則條件下，R=σsinφ+c·cosφ或R=(σ1-σ3)/2；θ為第一主應力σ1方向與x軸的夾角。經(jīng)過相關推導[23]，能夠得到σ與θ沿滑移線的變化方程為：

(8)

式中：Cα和Cβ為常量，沿著不同的滑移線，常量Cα和Cβ的數(shù)值一般是不同的。

在塑性區(qū)內(nèi)，塑性滑移發(fā)生在與最大主應力成45°-φ/2角度的方向上，對于圓形地下洞室，洞周塑性區(qū)滑移線方程在極坐標系r-ψ中具體方程表示為r=R0e±ψ·tan (45°-φ/2)(式中，R0為圓形洞室半徑，ψ=θ-π/2)，即塑性區(qū)內(nèi)滑移線形式為對數(shù)螺線。

采用兩族表示洞周塑性區(qū)內(nèi)的滑移線場方程為：

(9)

圖1 洞周塑性應力狀態(tài)的Mohr圓Fig.1 Mohr circle of tunnel periphery plastic stress state

通過在α滑移線上考慮2點A和B(其中A點位于洞室內(nèi)壁，B點位于塑性區(qū)內(nèi))來建立塑性區(qū)內(nèi)任一點的平均應力表達式。將A和B點條件帶入式(8)和(9)中的第1式能夠得到如下2個表達式：

ln(σA+c·cotφ)-2θAtanφ=ln (σB+c·cotφ)-2θBtanφ。

(10)

(11)

式中：σA、σB為A點和B點處的平均應力，θA、θB為A點和B點處第一主應力與x軸的夾角，rB為B點在極坐標系r-ψ下的極徑，ψA、ψB為A點和B點的極角。

同時，根據(jù)ψB-ψA=θB-θA，結合邊界條件能夠得到整個塑性區(qū)內(nèi)平均應力σ的表達式為：

(12)

同時，根據(jù)R=σsinφ+c·cosφ，可得：

(13)

將上面2式帶入式(7)，則可以得到塑性區(qū)內(nèi)應力組合表達式為：

(14)

(15)

3 邊界方程求解

式(1)和(2)在彈性區(qū)以及彈塑性邊界上成立?？梢钥紤]將方程式等號左邊應力通過塑性區(qū)內(nèi)考慮洞室內(nèi)壁邊界條件的特征線法得出，而函數(shù)η和υ是針對彈性區(qū)域，從此方面來講，方程式就只是在彈塑性邊界上成立。

引入保角映射函數(shù)z=ω(ζ)，將彈塑性邊界的外部映射為復平面ζ上單位圓的內(nèi)部，其具有如下的冪級數(shù)形式：

(16)

式中：ζ為復平面上任一點，用極坐標表示為ζ=ρeiθ=ρ(cosθ+isinθ)，其中ρ和θ為ζ點的極坐標，在單位圓邊界上時ζ=σ=eiθ，即ρ=1;s、s0、s1、s2、s3…為函數(shù)待定系數(shù)。

同時，令η(z)=η(ζ)，υ(z)=υ(ζ)，且具有如下的形式：

η(ζ)=a0+a1ζ+a2ζ2+a3ζ3+…。

(17)

υ(ζ)=b0+b1ζ+b2ζ2+b3ζ3+…。

(18)

式中：a0、a1、a2、a3…及b0、b1、b2、b3…為函數(shù)待定系數(shù)。

將式(1)等號左邊部分在彈塑性邊界上展開成傅立葉級數(shù)表達形式，即：

(19)

式中：dn為各階級數(shù)的待定系數(shù)，σn表示以σ為復變量表示的冪級數(shù)中的n次方項，n為整數(shù)。

從式(1)、(17)及(19)，可得在彈塑性邊界上有：

dn=2an,n≥1。

(20)

同時，根據(jù)無窮遠處邊界條件可得：

(21)

式中：Re(a0)表示系數(shù)a0的實部。

同理，將式(2)等號左邊部分展開成傅立葉級數(shù)表達形式：

(22)

(23)

對上式應用柯西積分公式進行積分，對于|ζ|<1的單位圓內(nèi)區(qū)域，有如下的等式成立：

(24)

(25)

考慮無窮遠處只有水平向和豎直向均布應力，無剪應力，則式(25)中t=0。同時令：

(26)

式中：hn為各階級數(shù)的待定系數(shù)。

對上式進行柯西積分后得：

(27)

據(jù)式(24)、(25)、(26)可以得到如下的系數(shù)關系：

gn=2hn,n≥1。

(28)

g0=2h0+(1-λ)p。

(29)

對式(26)進行展開，根據(jù)等式兩邊不同σ次項前的系數(shù)相等能夠得出映射函數(shù)ω(ζ)、η(ζ)待定系數(shù)和hn之間的關系為：

(30)

根據(jù)式(28)、(29)可得k>0，且上式中n取值應為映射函數(shù)的最高項。

因本研究的對象是圓形洞室，坐標系原點位于洞室圓心處，其塑性區(qū)邊界是中心對稱的，所以映射函數(shù)ω(ζ)中s0、s2、s4…系數(shù)就不存在，同時映射函數(shù)的系數(shù)均為實數(shù)。

考慮到計算量以及精確程度，本研究映射函數(shù)取到ζ的5次方，即：

(31)

4 計算實例

計算模型為半徑R0=3.0 m的深埋圓形洞室，忽略開挖過程對圍巖的擾動，洞室不考慮任何支護情況，洞室埋深為200 m，考慮四級圍巖，圍巖的物理力學參數(shù)取彈性模量E=3 GPa，泊松比μ=0.32，黏聚力c=0.8 MPa，內(nèi)摩擦角φ=30°，容重γ=25 kN/m3，側壓力系數(shù)λ=0.8。

有限元模型分析區(qū)域取距洞周6倍洞徑范圍，洞室不考慮任何支護情況。模型底部為豎直向約束，左右邊界為水平向約束，頂部不施加約束。巖土體材料采用各向同性、理想彈-塑性本構模型以及Mohr-Coulomb強度準則。

根據(jù)前文推導的彈塑性邊界方程求解方法以及卡斯特納方法[4]、鄭穎人修正方法[7]，得到幾種不同方法下洞周塑性區(qū)邊界，以數(shù)值仿真分析系統(tǒng)FINAL[24]的有限元數(shù)值方法為基準進行比較分析。最后將本研究方法應用于靜水壓力情況中(即側壓力系數(shù)為1時)并與卡斯特納公式得到的塑性區(qū)半徑進行對比。

(32)

σy-σx-2iτxy=Cz2。

(33)

(34)

根據(jù)式(20)的系數(shù)關系，可得：

(35)

式中：d2、d4為待定系數(shù)。再根據(jù)邊界條件式(21)可得：

(36)

同時，在彈塑性邊界上有：

(37)

據(jù)式(28)、(29)，得：

(38)

式中：h0、h2、h4、h6、h8、h10和g0、g2、g4、g6、g8、g10均為待定系數(shù)。最后根據(jù)式(30)能夠得到如下方程組：

(39)

將式(35)和式(38)代入(39)式，根據(jù)式(39)以及邊界條件式(36)得到四元二次方程組，通過迭代求解,可以求出彈塑性邊界方程式(31)中的待定系數(shù)s=4.355 8，s1=0.375 6，s3=-0.016 4，s5=0.001 4。圖2繪出了本研究映射函數(shù)方程、卡斯特納方法[4]和鄭穎人修正方法[7]表示的彈塑性邊界以及有限元數(shù)值計算得到的塑性區(qū)分布情況。

圖2 不同方法的彈塑性邊界與數(shù)值計算的塑性區(qū)分布Fig.2 Elastoplastic interfaces of different methods and distribution of plastic zone

從圖2可以看出，本研究方法得到的彈塑性邊界為近似橢圓形，長軸位于水平邊墻部位，與最大初始應力方向垂直；卡斯特納方法因未考慮塑性應力重分布，其塑性區(qū)邊界線較有限元塑性分布范圍小且近乎圓形，在邊墻中部塑性區(qū)深度較有限元數(shù)值計算方法計算結果小20%；鄭穎人修正方法是對卡斯特納方法的修正，其塑性區(qū)邊界有所增大，但在邊墻部位的塑性深度依然較有限元數(shù)值計算方法計算結果小近10%。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，本研究方法能夠更好地反映圓形洞室在非軸對稱應力條件下塑性區(qū)全部包圍洞室情況時的洞周塑性區(qū)范圍。當考慮靜水壓力，即側壓力系數(shù)λ=1時，彈塑性邊界為圓形，邊界映射函數(shù)方程中s1=s3=s5=0，從式(36)可以得到圍巖塑性區(qū)半徑為：

該結果與卡斯特納公式的計算結果一致。

5 適用范圍分析

塑性區(qū)內(nèi)任一單元體必須由完全在塑性區(qū)域內(nèi)的2條應力滑移線與區(qū)域邊界相連，即每條應力滑移線與區(qū)域邊界相交不多于1次，只有滿足這一條件，彈塑性邊界才是靜定的，否則即使所有的邊界條件都只與應力有關，彈塑性邊界仍然不一定是靜定的[25]。靜定條件的極限情況就是應力滑移線與彈塑性邊界相切。由此可知，本研究提出的方法適用于塑性區(qū)全部包圍洞室(不包括局部包圍以及蝴蝶狀塑性區(qū))的情況。

前人對薩文解[1-3]和Detournay解[2-3]適用范圍的研究均是基于靜定條件和彈塑性邊界短軸大于洞室半徑2個條件進行的，其中靜定條件包括塑性區(qū)全部包圍洞室和局部包圍洞室2種情況。邊界短軸大于洞室半徑條件應用于摩爾-庫倫材料時，無法得到顯式的彈塑邊界方程表達式，在Detournay等[3]的研究中，邊界方程是一個高斯超幾何方程，這從上文中的映射函數(shù)也可以得到反映，故無法與靜定條件綜合明確得出其嚴格的適用范圍。Carranza-Torres等[5]根據(jù)Detournay等[3]的研究結果得到側壓力系數(shù)極限值klim，當側壓力系數(shù)小于該值時，解是靜定的，但依舊包括塑性區(qū)局部包圍洞周的情況。

本研究先根據(jù)Detournay等[26]的靜定條件推導出在不同豎向初始應力下側壓力系數(shù)的適用范圍(考慮λ≤1的情況)，當然此范圍包括塑性區(qū)全部或局部包圍圓形洞室2種情況，然后再結合圓形洞室基爾希彈性公式對塑性區(qū)形態(tài)進行區(qū)分，其中洞室不考慮任何支護情況。

當側壓力系數(shù)λ≤1時，根據(jù)靜定條件得出最小的適用側壓力系數(shù)為：

(40)

同時，對于λ<1，塑性區(qū)首先出現(xiàn)于水平邊墻部位，故要想塑性區(qū)全部包圍洞周就需要判斷在初始應力場下，頂拱部位是否達到屈服極限，在此就以頂拱部位須達到塑性屈服極限來對初始應力場下的側壓力系數(shù)進行約束，得到的側壓力系數(shù)范圍為：

(41)

式中：σci為圍巖單軸抗壓強度，σci=2ccosφ/(1-sinφ)。 結合(40)和(41)式以及其他邊界條件，得到在內(nèi)摩擦角φ=30°時洞室在不同初始應力場狀態(tài)下所對應的不同圍巖破壞模式(即塑性區(qū)形態(tài))如圖3所示。其他內(nèi)摩擦角下的塑性區(qū)形態(tài)可同理求得。

圖3 未支護情況不同初始應力場狀態(tài)與圍巖破壞模式的關系(φ=30°)Fig.3 Relationship between the initial stress and failure modes of unsupported tunnel (φ=30°)

從圖3可以看出，本研究彈塑性邊界方程分析方法適用于區(qū)域③。圖中區(qū)域①對應的是純彈性狀態(tài)，其中在側壓力系數(shù)<1/3時，頂拱部位將出現(xiàn)拉應力，側壓力系數(shù)>1/3時圍巖無拉應力分布。區(qū)域②對應的是圍巖塑性區(qū)局部包圍洞室，區(qū)域④對應的是蝴蝶狀塑性區(qū)形態(tài)。式(41)為區(qū)域②與③的分界線方程；式(40)為區(qū)域④與區(qū)域②+③的分界線方程。m*=1曲線下方區(qū)域?qū)氖浅跏紤ψ饔孟聡鷰r已經(jīng)全部屈服的情況，顯然這在工程中非常少見。根據(jù)圖3便可以快速方便地針對不同的初始應力狀態(tài)判斷無支護情況下，洞室全部開挖完成后圍巖的塑性區(qū)形態(tài)，可以方便地指導支護結構設計及圍巖穩(wěn)定性判斷。

6 結 論

本研究針對工程實際中，地下洞室多處于非靜水壓力荷載條件下的現(xiàn)狀，對其塑性區(qū)邊界求解問題進行研究，得到的主要結論如下：

(1) 采用復變函數(shù)得到洞室圍巖彈性區(qū)應力組合表達式，塑性區(qū)符合摩爾-庫倫屈服準則，并可采用滑移線理論求解得到應力組合分布。

(2) 根據(jù)彈塑性區(qū)邊界應力相等條件，得到塑性區(qū)邊界方程映射函數(shù)表達式，以有限元數(shù)值結果為基準比較發(fā)現(xiàn)，本研究方法比卡斯特納方法和鄭穎人修正方法能更好地反映非靜水壓力下洞周圍巖塑性區(qū)范圍。同時，在側壓力系數(shù)等于1的靜水壓力下，本研究方法分析結果與卡斯特納公式所得塑性區(qū)半徑一致。

(3) 根據(jù)解的靜定條件和基爾希彈性公式對本研究方法適用的側壓力系數(shù)范圍進行了討論，得出了方法的適用范圍以及洞室未支護情況下不同初始應力場狀態(tài)所對應的圍巖塑性區(qū)形態(tài)。

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Analysis of elastoplastic interface of circle tunnel under non-hydrostatic loading

ZHANG Cheng-ke1，LI Ning1,2，HU Hai-xia3

(1InstituteofGeotechnicalEngineering，Xi’anUniversityofTechnology，Xi’an，Shaanxi710048，China；2StateKeyLaboratoryofFrozenSoilEngineering，ColdandAridRegionEnvironmentalandEngineeringResearchInstitute，ChineseAcademyofSciences，Lanzhou，Gansu730000，China；3HunanXiangdianBoiler&PressureVesselTestCenterLtd.，Changsha，Hunan410007，China)

【Objective】 This study analysed the plastic zone of surrounding rock to overcome the plane strain problem of elastoplastic interface of underground circle tunnel subject to non-hydrostatic initial stress and to provide basis for evaluating surrounding rock stability and designing supporting structure.【Method】 In elastic and plastic regions,the combined stress expressions were derived using complex function theory and slip line field theory,respectively.According to continuous stress condition in elastoplastic boundary,the interface equation was determined.Using FEM numerical result as benchmark,the result of proposed method was compared with methods including Kastner method and the change of hydrostatic loading was analyzed.【Result】 The elastoplastic boundary was approximately elliptical,with long axis perpendicular to the maximum initial stress.The proposed method was similar to FEM analysis and the results well showed the plastic zone of surrounding rock.The radius of plastic zone under hydrostatic loading was consistent with Kastner method.【Conclusion】 When the circular tunnel was completed covered under non-hydrostatic loading,the proposed method could be used to guide the design of supporting structure and evaluation of surrounding rock stability.

tunnel；surrounding rock；plastic zone boundary；non-hydrostatic loading；complex function theory；slip line field theory

2014-05-07

國家自然科學基金項目“高溫環(huán)境下水工引水隧洞圍巖與支護襯砌結構受力特點研究”(51179153)

張承客(1984-)，男，福建福鼎人，在讀博士，主要從事地下工程及巖體動力學特性研究。E-mail:zck927@126.com

李 寧(1959-)，男，陜西耀縣人，教授，博士，博士生導師，主要從事地下洞室、邊坡穩(wěn)定性分析以及巖體動力學研究。E-mail:ningli@xaut.edu.cn

時間:2015-03-12 14:17

10.13207/j.cnki.jnwafu.2015.04.022

TV672.1

A

1671-9387(2015)04-0215-08

網(wǎng)絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1390.S.20150312.1417.022.html