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新課標(biāo)三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想

2015-07-09 03:26:02廣東省惠州商貿(mào)旅游職業(yè)技術(shù)學(xué)校崔志強(qiáng)
衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2015年1期
關(guān)鍵詞:評(píng)析數(shù)形解析

廣東省惠州商貿(mào)旅游職業(yè)技術(shù)學(xué)校 崔志強(qiáng)

三角函數(shù)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一,它蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想。靈活地借助數(shù)學(xué)思想解題,往往可以避免復(fù)雜的運(yùn)算,優(yōu)化解題過(guò)程,降低解題難度。本文試圖通過(guò)實(shí)例介紹三角函數(shù)中蘊(yùn)涵的幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法。

一、函數(shù)思想

英國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因提出了一個(gè)重要的思想——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容,他認(rèn)為:“函數(shù)概念,應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心,將全部數(shù)學(xué)教材集中在他周圍,進(jìn)行充分地綜合?!倍瘮?shù)思想是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程始終的重要思想之一,因此作為初等函數(shù)中的超越函數(shù)——三角函數(shù),這種思想體現(xiàn)得更明顯。

如例1:

例1已知且求的值。

解析:設(shè)方程求解;方法二利用萬(wàn)能公式,

由①得f(x)=2a

由②得f(2y)=-2a

∵f(μ)在區(qū)間上時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)也是奇函數(shù)

∵f(x)=-f(2y)=f(-2y)

又∵x=-2y,即x+2y=0

∴cos(x+2y)=1

評(píng)析:把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系,把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,通過(guò)對(duì)函數(shù)相應(yīng)問(wèn)題的解決,達(dá)到解決變量之間具體問(wèn)題的目的。

二、方程的思想

方程看作是函數(shù)值為零的函數(shù)的特例,方程本身就提供了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。而解答有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題時(shí),可以利用方程與函數(shù)這種“與生俱來(lái)”的聯(lián)系進(jìn)行解題,往往能取到意想不到的效果。如例2:

例2. 已知sinθ+cosθ=,θ∈則

所以sinθ>0,cosθ<0,且sinθ>|cosθ|,

將sinθ,cosθ看作是方程的兩根。

所以sinθ

從而tan應(yīng)填

(方法二)設(shè)

解得x=2

所以

評(píng)析:方法一能利用sinθ+cosθ構(gòu)造構(gòu)造方程求解。

三、數(shù)形結(jié)合的思想

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是進(jìn)幾年來(lái)高考考試的熱點(diǎn),因此在解三角函數(shù)相關(guān)題目時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái),以達(dá)到“以形助數(shù)”手段和“以數(shù)助形”的解題目的,提高解題效率。

例3設(shè)關(guān)于θ的方程在區(qū)間(0,π)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根α、β,求:

(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)α+β的值。

解析:若將原方程化為,那么原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)三角函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),求a的范圍與α+β的值。

解析:(1)原方程化為,作出函數(shù)的圖像,由圖可知,方程在(0,2π)內(nèi)有相異實(shí)根α、β的充要條件是:解得

(2)由圖知,當(dāng)即時(shí),直線與的圖像交于C、D兩點(diǎn),它們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以

當(dāng)即時(shí),直線與三角函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn),由對(duì)稱性可知,即

綜上所述,

評(píng)析:用數(shù)形結(jié)合思想,可以把一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。此題若不用數(shù)形結(jié)合法,用三角函數(shù)有界性求a的范圍,不僅過(guò)程繁瑣,而且很容易漏掉的限制,而從圖像中可以看出時(shí),方程只有一個(gè)解。

四、化歸思想

化歸思想在三角函數(shù)中應(yīng)用非常普遍,主要體現(xiàn)在:①化多角的形式為單角的形式;②化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱;③化未知角為已知角;④化高次為低次;⑤化特殊為一般。

例4已知定義求f(x)的解析式,以及它的最小正周期和最大值。

解析:∵

所以,所求函數(shù)的最小正周期為2π,最大值為2。

評(píng)析:由例5可以看到,通過(guò)三角變換,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=a(sinωx+Φ)的函數(shù),從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這個(gè)過(guò)程中蘊(yùn)涵了化歸思想。

五、分類討論的思想

分類討論就是當(dāng)所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),就要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類,然后對(duì)每一類分別研究,得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答,即是“化整為零”,各個(gè)擊破,再“化零為整”的策略。

例6 若Δ A B C的三內(nèi)角滿足問(wèn)此三角形是否可能為直角三角形?

解析:假設(shè)ΔABC可以為直角三角形

(1)若B=90°,則A=90°-C代入①中,得

∴cos2C=1+sinC

1-sin2C=1+sinC

∴sinC=-1這是不可能的。

∴B≠90°

(2)同理得C≠90°

(3)若A=90°,則①式右邊①式左邊=sinA=sin90°=1

所以此三角形為可直角三角形,且此時(shí)A=90°

六、換元思想

在三角函數(shù)問(wèn)題中,通常引入變量,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)新變量的討論。這樣通過(guò)轉(zhuǎn)化原問(wèn)題的結(jié)構(gòu),可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。如例7:

評(píng)析:通過(guò)換元把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行討論,這樣可以避開(kāi)三角函數(shù)解題,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的。

例7 若的取值范圍是_____

七、類比聯(lián)想的思想

例8 已知λ為非零常數(shù),x∈R,且f(x+λ)=問(wèn)f(x)是否是周期函數(shù)?若是,求出它的一個(gè)周期;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析,由于探索的是周期函數(shù)問(wèn)題,容易聯(lián)想到三角函數(shù),又f(x+λ)=的結(jié)構(gòu)形式可與進(jìn)行類比,故可把tanx看成是f(x)的一個(gè)原型實(shí)例,且題中的λ相當(dāng)于實(shí)例中的由于周期函數(shù)tanx的周期T=故可猜想f(x)也為周期函數(shù),且周期為4λ。

所以f(x)是周期函數(shù),且4λ是它的一個(gè)周期。

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