王忠明

摘 要：利用“兩根導(dǎo)體棒以不同的速度做切割磁感線運(yùn)動”“導(dǎo)體棒在運(yùn)動磁場中做切割磁感線運(yùn)動”“回路中動生電動勢和感生電動勢共存”三種情形來說明“在高中階段，當(dāng)磁場不隨時間變化時，導(dǎo)體棒中動生電動勢對應(yīng)的電功率與其所受的安培力的做功功率的絕對值相等”這一結(jié)論的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：動生電動勢；安培力做功；回路消耗的電功率

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）4-0040-4

1 明確一個常用結(jié)論成立的條件

導(dǎo)體棒在磁場中做切割磁感線運(yùn)動時，產(chǎn)生電流，受到磁場對其的作用力——安培力。在平時的教學(xué)中，經(jīng)常提及在該切割過程中存在相應(yīng)的功能關(guān)系：“導(dǎo)體棒切割磁感線以穩(wěn)定速度運(yùn)動時，電路獲得的電功率等于導(dǎo)體棒克服安培力做功功率。”該結(jié)論是否正確？如果有瑕疵，應(yīng)該如何修正？現(xiàn)對該結(jié)論作如下推導(dǎo)。

在圖1所示的電路中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里，長為L的導(dǎo)體棒在外力F的作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動。

當(dāng)導(dǎo)體棒的速度為v時，棒產(chǎn)生的動生電動勢為E=BLv。

設(shè)此時回路中的感應(yīng)電流為I，則此時導(dǎo)體棒受到的安培力F安=BIL，

則導(dǎo)體棒克服安培力做功的功率為

P克=F安×v=BIL×v=BLv×I=E×I=P電。

結(jié)論得證。

但這里有必要作相應(yīng)的說明：

①圖1中的“用電器”不一定是電阻。它可以是電阻，亦可以是電容、電感，甚至可以里面包含電源。若如此，導(dǎo)體棒中的電流也不一定就是全部由導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的動生電動勢產(chǎn)生，所以導(dǎo)體棒中的電流方向不一定朝上或者朝下，當(dāng)然導(dǎo)體棒受到的安培力也就不一定是做負(fù)功。

②動生電動勢為E=BLv，該式的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，導(dǎo)體棒L，切割速度v，三者均是矢量，要使公式成立的條件是三者兩兩垂直。安培力F安=BIL成立的條件也要磁感應(yīng)強(qiáng)度B和導(dǎo)體棒L相互垂直。根據(jù)安培力規(guī)律，安培力一定跟磁感應(yīng)強(qiáng)度B和導(dǎo)體棒L決定的平面垂直。因此，在我們討論的這個“結(jié)論”的范圍內(nèi)，這根導(dǎo)體棒受到的安培力一定與它的切割速度在一條直線上，但方向可能相同，也可能相反。

③不論是動生電動勢E=BLv中的速度，還是安培力的功率為P克=F安×v中的速度，它們均是瞬時速度。因此，上述等式成立的條件不需要導(dǎo)體棒作穩(wěn)定的運(yùn)動。

④從上面的推導(dǎo)中，表面上看不要其他額外的條件等式一定成立。但仔細(xì)推敲，上述等式成立一定要有兩個條件。其一，電動勢E=BLv中的速度是導(dǎo)體棒切割磁場的速度，這里隱含的意思是，這個速度的參照物是磁場（應(yīng)該是產(chǎn)生磁場的物體或者物質(zhì)）；而安培力的功率為P克=F安×v中速度的參照物沒有特別說明的話就是地面。因此，要使等式BIL×v=BLv×I成立，這兩個速度除了要滿足方向關(guān)系外，還要是同一個參照系內(nèi)討論的兩個速度，或者說磁場B相對地面是靜止的；其二，要使等式BLv×I=E×I成立，這個電動勢E一定是導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的BLv，不能張冠李戴，因?yàn)樵陔娐分锌赡艽嬖谄渌碾娫?。如，可能是?dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的動生電動勢，也可能存在感生電動勢，甚至存在其他電源。

2 利用三種情形來對上述結(jié)論作具體研究

情形1：兩根導(dǎo)體棒以不同的速度做切割磁感線運(yùn)動

如圖2所示，兩根無限長金屬導(dǎo)軌MN、PQ水平地平行放置，相距L，質(zhì)量均為m的光滑金屬棒ab、cd垂直置于導(dǎo)軌上。在導(dǎo)軌間的電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計，整個裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的豎直向下的勻強(qiáng)磁場中（圖中未畫出）?，F(xiàn)對ab棒施加一個平行于導(dǎo)軌、方向水平向右的恒力F作用，cd棒會向右運(yùn)動。設(shè)某一時刻ab棒的速度為v1，cd棒的速度為v2，求此時：

①安培力對cd棒做功的功率Pcd；

②ab棒克服安培力做功的功率；

③電路中產(chǎn)生的電功率P電。

討論

①因?yàn)镻電ab=P安1，所以電路中的電流不等于ab棒上產(chǎn)生的動生電源單獨(dú)作用時產(chǎn)生的電流，但這不影響結(jié)論“作切割磁感線的棒中的動生電源提供的電功率等于該棒克服安培力做功功率”的成立。當(dāng)然，對cd棒來說也是如此。

②cd棒受到的安培力對cd棒做正功。而電流流過cd棒時，是由cd棒上感應(yīng)電源的正極流入，負(fù)極流出的，因此該電流是在給該電源“充電”，其“充電”的方式是通過增加該棒的動能來實(shí)現(xiàn)的?？梢栽O(shè)想，如果棒ab瞬間停止，cd棒將把它具有的動能全部轉(zhuǎn)化為回路中的電能，電能再通過電流做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，以實(shí)現(xiàn)“充電”電能的轉(zhuǎn)化。

③根據(jù)上面分析，此時電路中焦耳熱的熱功率為：

可以看出ab棒上的動生電源“提供”的電功率等于電路中的焦耳熱的熱功率與cd棒上的動生電源“充電”的電功率之和，即

P電=P電ab=PQ+P電cd。

注意：不要誤把電路中的焦耳熱的熱功率等同于電路中產(chǎn)生的電功率，因?yàn)樵撾娐凡皇羌冸娮桦娐贰?/p>

情形2：導(dǎo)體棒在運(yùn)動磁場中做切割磁感線運(yùn)動

（2007年上海物理高考試題）如圖3（a）所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上。導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計，且接觸良好。在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。開始時，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右端，當(dāng)磁場以速度v1勻速向右移動時，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度，此時導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi)。

①求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v2；

②為使導(dǎo)體棒能隨磁場運(yùn)動，阻力最大不能超過多少？

③導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動時，單位時間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

④若t=0時磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運(yùn)動，經(jīng)過較短時間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動，其v-t關(guān)系如圖3（b）所示，已知在時刻t導(dǎo)體棒的瞬時速度大小為vt，求導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動時的加速度大小。

分析與解 該情形的①、②、④的分析與解略，我們重點(diǎn)分析問題③。

假設(shè)導(dǎo)體棒以速度v2勻速運(yùn)動。需要強(qiáng)調(diào)的是，導(dǎo)體棒切割磁感線的速度的參考系為磁場（更確切地講是產(chǎn)生該磁場的磁體，或載流體等）。因此，棒中感生電動勢為E=BL（v1-v2）。導(dǎo)體棒中的電流為：

討論

①不論導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動，還是以變速運(yùn)動，也不論磁場是否做勻速運(yùn)動，上述關(guān)于P電、PF安的計算結(jié)果均成立，因?yàn)橛嬎憬Y(jié)果中的速度均是瞬時速度。當(dāng)然要使克服摩擦力的做功功率等于棒受到的安培力的功率，那導(dǎo)體棒必須做勻速運(yùn)動。

②從上述分析中可以明顯看出導(dǎo)體棒提供的電功率不等于導(dǎo)體棒受到的安培力做功功率。原因就是因?yàn)樗矔r功率中的速度，它的參考系在沒有特別說明的情況下是地面，而動生電動勢中的速度的參考系就是磁場。當(dāng)兩個參考系發(fā)生相對運(yùn)動時，導(dǎo)體棒中動生電源提供的電功率就不會等于該導(dǎo)體棒受到的安培力的做功功率。如果我們令v1=0，則可以看到兩個功率又會相等。而且是動生電源功率為正，即電源在提供電功率；而安培力功率為負(fù)，說明通過安培力做功正在將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。

情形3：回路中動生電動勢和感生電動勢共存

如圖4所示，足夠長的兩光滑導(dǎo)軌平行水平放置，兩條導(dǎo)軌相距為d，左端用阻值為R的導(dǎo)體MN相連，金屬棒ab可在導(dǎo)軌上滑動，金屬棒ab及導(dǎo)軌的電阻不計。整個裝置處于豎直向下的均勻磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間均勻增加，B=kt，其中k為大于零的常數(shù)。t=0時，金屬棒ab與MN相距非常近，金屬棒ab在水平外力F的作用下，在t=t0時回路的面積為S，此時金屬棒的速度為v。求此時閉合回路消耗的電功率。

討論

①動生電動勢的產(chǎn)生原因是金屬導(dǎo)體中的電子在隨金屬棒運(yùn)動時受到洛倫茲力而發(fā)生定向移動，因此動生電動勢的非靜電力與洛倫茲力有關(guān)。而感生電動勢的產(chǎn)生原因是變化的磁場產(chǎn)生了感生電場，在感生電場的作用下回路中的電子作定向移動，因此是電子受到的感生電場力充當(dāng)感應(yīng)電動勢的非靜電力。所以，動生電動勢與感生電動勢兩者的非靜力有明確的區(qū)別，洛倫茲力不做功，感生電場力做功。

②動生電動勢是由金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的，它分布“在金屬棒中”。而感生電動勢是由感生電場產(chǎn)生的，它分布“在整個回路中”，而且即使沒有回路，感生電場依然存在。從上面的分析中可以看出金屬棒克服安培力的做功功率與回路中的電功率不相等。但如果將感生電動勢kS去掉，即磁場不隨時間發(fā)生變化，那么兩個功率依然相等。

3 結(jié) 論

根據(jù)上面的分析得到以下結(jié)論：在高中階段，當(dāng)磁場相對地面靜止且不隨時間變化時（當(dāng)然，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以隨空間發(fā)生變化），導(dǎo)體棒中動生電動勢的電功率與其所受的安培力的做功功率的絕對值相等。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]郭如松.安培力做功的“橋梁”作用及其引發(fā)的思考[J].物理教學(xué)探討，2009，（10）：42.

（欄目編輯 羅琬華）