黃基廷

摘 要：本文結(jié)合實際例子闡述了數(shù)學期望在投資、求職、試驗等決策方面中的應(yīng)用，展示了數(shù)學期望在經(jīng)濟決策中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學期望；隨機變量；經(jīng)濟決策；應(yīng)用

數(shù)學期望是隨機變量一種數(shù)字特征，它代表著隨機變量總體取值中的平均水準.因為決策方案問題就是將數(shù)學期望最大的方案當作最佳方案并加以決策的問題，所以數(shù)學期望也越來越多的應(yīng)用于經(jīng)濟決策中。本文擬結(jié)合實例講解數(shù)學期望在投資、求職、試驗等決策方面中的應(yīng)用，展示經(jīng)濟決策中數(shù)學期望的作用。

1.投資中的應(yīng)用

無論是從計劃還是決策觀點來看數(shù)學期望都是極其重要的。假設(shè)知道任一方案Aj（j=1，2，…，m）在每一自然狀況（影響因素）Si（i=1，2，…，n）發(fā)生的情形中，實施方案Aj后產(chǎn)生的盈利值p（Si，Aj），和各自然狀況發(fā)生的概率p（Si），則可以對各個方案的期望盈利作出比較：Εp（Aj）=∑ni=1p（Si）p（Si，Aj）（j=1，2，…，m），選擇出最佳方案，即期望盈利最高的。

1.1 最佳進貨量的問題

如果在每個月初，商業(yè)大廈儲存某一商品y個單位，且每售出一個單位可以得到c元利潤，但若到月末有一單位售不出去，則虧損e元。假設(shè)這個需求量是一個不定的變量ε，且接近于服從均勻分布，即：

ε～p（x）=1b-a，a≤x≤b0，其它

那么該商業(yè)大廈每月初需儲存多少單位該商品才可將利潤的期望值達到最大？

分析 設(shè)該商品儲存的單位量為y，利潤則為L=f（ε），那么：

L=f（ε）=cy，ε≥ycε-e（y-ε），ε

所以，利潤的期望值為：

E（L）=∫+∞-∞f（x）p（x）dx=1b-a∫baf（x）dx=1b-a[∫ya（cε-e（y-ε））dx+∫bycydx]

=1b-a[（ea+bc）y-12（c+e）（y2-a2）]

由于[Ε（L）]′y=1b-a[（ea+bc）-y（c+e）]。令[Ε（L）]′y=0，得y0=a+c（b-a）c+e。

又因為[Ε（L）]″y<0，所以當y=y0=a+c（b-a）c+e時，期望利潤值取最大值。

例1 設(shè)某一百貨商場經(jīng)銷的某種商品，每月的需求量x在100到300范圍內(nèi)等可能取值，該商品也在100到300范圍內(nèi)等可能的取值（每月只在月初進一次貨）。商場每銷售一單位的商品可以獲得500元的利潤。但是，若供大于求，則削價處理，每處理一單位的商品虧損100元；如果供不應(yīng)求，可從外單位調(diào)撥，此時一單位商品可以獲得的利潤為300元。現(xiàn)在要做的是估計進貨量為多少的時候，商場可以獲得最佳的利潤？而且最大利潤的期望值是多少？

分析 由于這種商品的需求量x是不確定的，即是一個隨機變量，而且它在區(qū)間[100，300]上均勻分布，而銷售該商品的利潤值y是x的函數(shù)，所以這也作為隨機變量之一。題目所牽涉到的最佳利潤僅僅是利潤的數(shù)學期望，即平均利潤的最大值。因此，這個問題的求解過程是，先確定y和x的函數(shù)關(guān)系，再求出y的期望值Εy，最后利用極值的方法求出Εy的極大值點以及極大值。

先假設(shè)每月的進貨量為a，則

y=500a+300（x-a），當x≥a500x-100（a-x），當x

利潤y的數(shù)學期望為：

Εy=1200∫a100（600x-100a）dx+1200∫300a（200a+300x）dx

=-0.75a2+350a+52500

令dΕyda=-1.5a+350=0 得：a=7003≈233

所以maxΕy=-0.75×70032+350×7003+52500≈93333（元）

由以上結(jié)果可知，月最佳進貨量為233單位。最大利潤的期望值為93333元。

1.2 機器故障問題

現(xiàn)今是科技日益發(fā)展的時代，越來越多的工廠已經(jīng)或正在完全機械化。在投資生產(chǎn)的時候，不得不考慮機器出故障的可能性，以及在故障出現(xiàn)后的損失情況，以便計算在一段時間內(nèi)可能獲得的利潤值。這些都可通過數(shù)學期望來解決。

例2 假設(shè)一部機器某天中發(fā)生故障的概率為0.2，該機器一旦發(fā)生故障將全天停工，如果每個星期5個工作日該機器均無故障，工廠能獲得利潤10萬元，發(fā)生一次故障可獲利5萬元，發(fā)生2次故障不盈利也沒有虧損，而發(fā)生3次及以上次數(shù)的故障，工廠虧損2萬元，求工廠每周的期望利潤。

所以該工廠每個星期的期望利潤是5.216萬元。

1.3 保險問題

例3 某保險公司有對摩托車作出保險，設(shè)已知每年賠償該保險用戶一萬元的概率是0.0002，賠償五千元的概率為0.02，賠償2500元的概率為0.06，假設(shè)不考慮其它費用，該保險公司預(yù)期平均每一保險用戶需繳納多少的保險費比較合適？

分析 如果這個保險公司對每個保險用戶的補償金額為ε（單位：元），則ε是隨機變量，且這個分布列為：

ε的數(shù)學期望值為：

這表示保險公司預(yù)期對每哥參?？蛻魬糍r償?shù)钠骄痤~是252元。假設(shè)保險公司預(yù)期從每個參?？蛻羯砩掀骄嗌?，那么每年就該收取每個參保客戶保險費應(yīng)收取盈利額加上期望值。當然也要考慮保險用戶的接受程度。

1.4 股票問題

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，一種與之息息相關(guān)的產(chǎn)業(yè)也相應(yīng)的得到了飛速的發(fā)展，那就是股票。炒股的利潤吸引了很多人都投入到炒股中來，并隨著股市的浮沉而或喜或憂。在購買股票的時候，不可避免的會考慮到經(jīng)濟形勢帶來的風險問題，一時難以做出選擇。利用數(shù)學期望可幫助人們作出一些決策。

例4 某人投資100萬元，期限一年。有兩種方法可以投資：一種是將這100萬購買股票；二是將這100萬存入銀行從而產(chǎn)生利息。買股票的收益由經(jīng)濟形勢而決定，如果經(jīng)濟形勢樂觀能夠收益40萬元，形勢中等的話能夠收益10萬元，形勢不好的話則會虧損20萬元。如果將這一百萬元存入某銀行，假設(shè)利率為百分之八，那么利息就有8萬元，再假設(shè)經(jīng)濟形勢樂觀、中等、不良的概率分別為30%、50%、20%。試問選擇哪一種投資方案能夠使投資的利潤達到最大化？

分析 由該命題可知，在經(jīng)濟形勢樂觀和中等的情況下，購買股票進行投資是最合理的選擇；然而，假設(shè)經(jīng)濟形勢低迷，那么存入銀行的這種投資方案就顯得相對保險。然而現(xiàn)實社會當中不可能僅僅出現(xiàn)一種形勢，我們也不知道哪種情況會出現(xiàn)，因此，要選擇獲利效益大的方案，就要比較這兩種方案的投資獲利的期望值的大小。

存入銀行獲利的期望是：Ε1=8（萬元）。

購買股票的概率分布列為：

經(jīng)濟形勢好不好差

獲利（萬元）4010-20

概率0.30.50.2

則它的獲利期望是：Ε2=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2 =13（萬元）

因為Ε2>Ε1，所以相對而言購買股票的期望收益大于存入銀行，這時就應(yīng)該將這一百萬元投入股票購買。

2.求職決策中的應(yīng)用

面對日益慘烈的求職競爭，誰都希望少走彎路，少用時間，盡可能快地換來更高的成功率。利用數(shù)學期望可幫助人們做足功課，避免盲目，從而更加有針對性地進行求職。

例5 假設(shè)三家單位都為某一本科畢業(yè)生提供了面試的機會，將面試的時間進行排序，這三家單位分別分為A，B，C，每家單位都有極好，好和一般的三種職位，每家單位根據(jù)面試的情況來決定給以面試人哪一種職位或是拒絕其求職。如果規(guī)定求職與面試雙方需在面試之后立即決定某種職位是否提供接受和拒絕，且規(guī)定不可以毀約。咨詢專家，評測該畢業(yè)生的學業(yè)成績和綜合素質(zhì)后認為，他能夠獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2、0.3、0.5。三家公司的工資數(shù)據(jù)如下：

這位畢業(yè)生如果把獲得工資數(shù)大小看做首要條件的話，那么他在每家公司面試時，對這些公司提供的各種職位要做出哪些對策？

分析 由于每個公司的面試時間有先后順序，而且從A公司起，使得這個畢業(yè)生在選擇A公司三種職位時必須考慮后面B，C公司提供的工資待遇。同樣在B公司面試后，也一定要想到之后C公司的情況，如此就要先從C公司開始分析。由于C公司的工資期望值為：

Ε1=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）

再分析B公司。由于B公司的一般職位的這種工資只有二千五百元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好及好的職位，否則就到C公司應(yīng)聘，如此決策時，他的工資的期望值為：

Ε2=3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）

最后考慮A公司。由于A公司只有極好職位的工資超過三千零一十五元，所以他只能接受A公司的極好這種職位，否則就到B公司去應(yīng)聘。

他的總決策是這樣的：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則就去B公司應(yīng)聘；若B公司提供極好或好的職位就接受；否則去C公司應(yīng)聘，接受C公司提供的任何職位。在這一策略下，他的工資的期望值為：

Ε3=3500×0.2+3015×0.8=3112（元）

3.試驗決策中的應(yīng)用

在實驗決策問題中，因為實驗的結(jié)果只有兩種：成功或者失敗。但是由于成功的實驗和失敗的實驗的花費并不是一樣的。而且不同的實驗花費不同，結(jié)果也不盡相同?？衫脭?shù)學期望可分析各種方案的期望值。再根據(jù)期望值的大小選擇方案。

例 6 如果成功投資生產(chǎn)某一新的工藝流程能夠獲利三百萬元，但在投入生產(chǎn)以前，必須通過小型實驗還有中型試驗，經(jīng)費分別需要小型實驗二萬元和中型實驗三十六萬元。小型試驗成功概率為百分之七十。若連續(xù)兩次進行，那么成功概率將提升至百分之八十，在小型試驗之基礎(chǔ)上進行的中型試驗的成功率是百分之七十。如果直接搞中型試驗的成功率為百分之五十。應(yīng)如何決策，才能獲利最多？

分析 （1）進行一次小型實驗和進行一次中型試驗，這時這個工程的所有可能出現(xiàn)的情況及和概率解析如下：

（2）兩次小型試驗和一次中型試驗，此時工程的所有可能情況及其概率如下：

（3）若急功近利，舍去小型試驗，直接開始中型試驗，那么這個工程的全部可能出現(xiàn)的情況及其概率如下：

綜合上面三種方案，比較可以得到Ε2>Ε1>Ε3。即第二方案的數(shù)學期望值是最大的，顯然，這時采取第二方案最有利。

從以上例子可看出，許多經(jīng)濟決策問題通過數(shù)學期望都可迎刃而解，數(shù)學期望已是經(jīng)濟決策中不可缺少的一部分。（作者單位：河池學院數(shù)統(tǒng)學院）

[資助項目]廣西高等教育教學改革工程項目立項2014JGA209、廣西教育廳科研立項項目201010LX464、河池學院碩士專業(yè)學位建設(shè)基金課題2015YTB003

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