楊 倩

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611731)

【蓓蕾園地】

幾種常見(jiàn)的四階偏微分去噪模型比較

楊 倩

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611731)

LLT模型、YK模型和PDE模型都能較好地去除噪聲并且不會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，但第三種模型相較于前面兩種模型而言效果更明顯.經(jīng)過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)分析驗(yàn)證這三種模型的去噪效果，得出這些模型在去噪的同時(shí)都能較好地保護(hù)圖像細(xì)節(jié)，但比較多方面的綜合因素，認(rèn)為第三種模型的去噪效果更佳.

圖像去噪；LLT模型；YK模型；新的四階PDE模型

0 引言

圖像在獲取、傳輸和儲(chǔ)存的過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)圖片降質(zhì)，也就是產(chǎn)生噪聲的情況，而這類(lèi)情況將會(huì)給后續(xù)的圖像處理(比如圖像分割、圖像理解等)增加一定難度，因此為了解決這些由噪聲引起的難題，越來(lái)越多的學(xué)者研究出各種模型來(lái)去除噪聲.經(jīng)典的去噪模型包括二階的P-M模型，非局部均值去噪(NLM)模型以及本文將要提及的LLT模型等.眾所周知，P-M模型[1]在去噪的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，從而影響視覺(jué)效果，而非局部均值去噪模型雖能較好地去噪，但是其算法耗時(shí)太長(zhǎng)，效率比其他模型更低.相反，四階偏微分(PDE)去噪模型能很好地恢復(fù)平滑區(qū)域保護(hù)細(xì)小紋理，避免產(chǎn)生階梯效應(yīng)，算法的耗時(shí)量也不會(huì)太長(zhǎng)，而且從視覺(jué)上來(lái)說(shuō)，修復(fù)后的圖片看上去比二階模型(P-M 模型等)更加自然.因此，本篇論文主要對(duì)四階偏微分濾波算法(去噪模型)的原理及優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行總結(jié).

1 三種四階偏微分去噪算法

在圖像處理中，基于變分和偏微分的去噪算法起到了舉足輕重的作用.這些去噪算法能很好地對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，比傳統(tǒng)的去噪算法能更好地去除噪聲，逼近原始圖像，接下來(lái)我們將簡(jiǎn)要介紹三種基于四階偏微分的去噪算法.

1.1 YK 模型

由于四階偏微分去噪模型能很好地恢復(fù)平滑區(qū)域，保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)特征，使得修復(fù)后的圖像看上去更加自然，因此，在2000年，You和Kaveh等人利用拉普拉斯算子模值|Δu|描述圖像平滑度時(shí)提出了YK模型[2]，該模型不僅能夠去除噪聲，而且能對(duì)圖像的平滑區(qū)域進(jìn)行修復(fù)，彌補(bǔ)了二階去噪模型產(chǎn)生階梯效應(yīng)的不足.YK模型的最小化能量泛函是：

從(1)式中可以得知，當(dāng)|Δu|取得最小值時(shí)，上述的能量泛函才最小.其相應(yīng)的歐拉—拉格朗日方程式為：

此處的擴(kuò)散系數(shù)g(·)采用Perona和Malik給出的擴(kuò)散系數(shù)g(s)=1/[1+(s/k)2]，k是邊緣閾值，且該擴(kuò)散系數(shù)是一個(gè)非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù).g(s)又被稱為邊界停止平滑函數(shù)，用來(lái)控制圖像邊緣的擴(kuò)散.該模型的出現(xiàn)使得圖像去噪進(jìn)入了一個(gè)新的階層，YK模型和另外兩種四階模型一樣，去噪的同時(shí)不會(huì)像二階模型那樣產(chǎn)生階梯效應(yīng)，但是，它的缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生斑點(diǎn).這一缺點(diǎn)也是四階模型共同存在的一大弱點(diǎn)，為此，在進(jìn)行四階PDE去噪的數(shù)值實(shí)驗(yàn)的同時(shí)還得進(jìn)行中值濾波去噪，這樣才能更加逼近原始圖像.

1.2LLT模型

高階PDE模型一般來(lái)源于下列這個(gè)能量泛函的最小化：

不管是上面提到的YK模型還是下面即將提及的LLT模型[3-4]和新的四階模型[5]，都是以(3)為基礎(chǔ)的，都是在其基礎(chǔ)上不斷改進(jìn)得來(lái)的.2003年，Lysaker,Lundervold和Tai等人提出了四階偏微分去噪算法：

這里的λ(>0)是平衡前后兩項(xiàng)的權(quán)重，Ω是有界開(kāi)集.為了簡(jiǎn)化上述的表達(dá)式，我們引入了符號(hào)|D2u|來(lái)表示第一項(xiàng)中的函數(shù)式，即得到：

因此(1)式可以表達(dá)為：

其相應(yīng)的歐拉—拉格朗日方程為：

1.3 新的四階PDE去噪模型[6]

這一模型不同于YK模型和LLT模型為許多學(xué)者所知，但是其去噪效果卻比前兩者更有優(yōu)勢(shì)，在后續(xù)的文章中將對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證.首先對(duì)其能量泛函進(jìn)行描述：

Ω同前面一樣都是有界開(kāi)集，拉格朗日系數(shù)λ>0，用來(lái)平衡正則項(xiàng)和保真項(xiàng).通過(guò)最速下降法可將(8)式的歐拉—拉格朗日方程寫(xiě)出：

這一模型能較好地去除噪聲，并且其數(shù)值實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行時(shí)間也是較少的，綜合看來(lái)，上述三種模型中還是這種新四階PDE模型去噪性更好.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在這一部分中，我們將把YK模型、LLT模型以及新的四階PDE模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái).在呈現(xiàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果之前，先把衡量去噪圖像質(zhì)量的常用指標(biāo)(峰值信噪比[7])介紹一下，峰值信噪比的定義如下：

其中：u指的是去噪后的圖像，而u0代表的是原圖像.

為了對(duì)比去噪的各種算法在不同的噪聲情況下的性能，我們?cè)谠紙D像的基礎(chǔ)上分別加上噪聲方差為σ=15和σ=25的隨機(jī)噪聲，以此得到兩組去噪模型的相關(guān)數(shù)據(jù).另外，當(dāng)加入的噪聲方差為σ=15時(shí)，我們得到新的四階PDE模型迭代次數(shù)達(dá)到100次時(shí)，去噪效果很不錯(cuò).同理，當(dāng)噪聲方差達(dá)到σ=25，新的四階PDE濾波器迭代次數(shù)為500次，表1、表2是三種四階去噪模型在處理時(shí)間和峰值信噪比上的對(duì)比.

表1 噪聲方差為15的去噪表格

表2 噪聲方差為25的去噪表格

從上述兩個(gè)表格中可以發(fā)現(xiàn)，YK模型的運(yùn)行時(shí)間是三個(gè)模型中最少的，而LLT模型是最慢的，但是峰值信噪比最大的卻是LLT模型，YK模型的PSNR居于最后，相反，NEWMODEL的處理時(shí)間與YK模型接近，而峰值信噪比卻同NEWMODEL相差無(wú)幾，綜合來(lái)看，新的四階PDE模型不管從處理時(shí)間還是去噪效果來(lái)看當(dāng)屬最佳.下面是幾幅利用三種模型來(lái)去除Lenna圖形噪聲的圖像.

(a)原始圖像

(b)噪聲圖像

(c)YK模型

(d)LLT模型

(e)新模型

圖1 噪聲方差為σ=15的去噪圖像

(a)原始圖像

(b)噪聲圖像

(c)YK模型

(d)LLT模型

(e)新模型

圖2 噪聲方差為σ=25的去噪圖像

以上兩組圖像分別對(duì)YK模型、LLT模型以及新的PDE去噪模型作了形象的說(shuō)明.在噪聲方差較小的情況下，這三種濾波器去噪能力相當(dāng)，但是，當(dāng)噪聲方差逐漸增大時(shí)，由圖2可知，LLT模型和新的四階PDE模型比YK模型去噪能力更強(qiáng)，再由表1和表2中的處理時(shí)間可知，新的四階PDE去噪模型是三者中效果最好的.

3 結(jié)語(yǔ)

四階偏微分去噪模型越來(lái)越適用于圖像的去噪，當(dāng)前常用的幾種去噪模型：YK模型、LLT模型以及一種新的四階PDE模型，這幾種模型在去除噪聲的同時(shí)，又不會(huì)像二階偏微分模型那樣產(chǎn)生階梯形效應(yīng).在這三種四階偏微分模型中，新的四階PDE模型從綜合方面來(lái)看應(yīng)當(dāng)是三種模型中最佳的.

[1]Perona,P,Malik,J.Scale-Spaceandedgedetectionusinganisotropicdiffusion[J].IEEETransactiononpatternanalysisandMachineintelligence,1990,12(7)：629-639.

[2]YouYL,KavehM.Fourth-OrderPartialDifferentialEquationforNoiseRemoval[J].IEEETransactiononimageprocessing,2000,9(10):1723-1731.

[3]LysakerM,LundervoldA,TaiX.C.Noiseremovalusingfourth-orderpartialdifferentialequationwithapplicationtomedicalmagneticresonanceimagesinspaceandtime[J].IEEETrans.onImageProcessing,2003,12(12):1579-1590.

[4] 王玲華，楊家紅.結(jié)合Curvelet和LLT模型的圖像去噪模型[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010,46(25)：168-171.

[5]KimS,LimH.Fourth-Orderpartialdifferentialequationforeffectiveimagedenoising[C].SeventhMississippiState-UABConferenceonDifferentialEquationandComputationalSimulation,ElectronicJournalofDifferentialEquations,Conf.2009，117：107-121.

[6] 王幸平.基于偏微分的圖像去噪研究[D].南京：南京理工大學(xué)碩士學(xué)位論文,2007.

[7]JinY,JostJ,WangG.AnonlocalVersionoftheOsher-Sol-Vesemodel[J].Math.ImagingVis,2012,44:99-113.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Review on Several Kinds of Fourth-order PDE Denoising Model

YANG Qian

(School of Mathematical Science, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

This paper considers the principle of three denoising models, which are the LLT model, the P-M model and a new fourth-order PDE model. These models can suppress noise and do not produce the staircase effect, and the third model is better than other models. Then one can analyze the effects of three models by numerical experiments, and get a result that these models can not only suppress noise, but also protect image details. However, analyzing these filters' pros and cons, one can find the third model is better to removal noise than other models.

image denoising; LLT model; YK model; new fourth-order PDE model

2015-03-27

楊倩(1990—)，女，四川德陽(yáng)人，電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，主要從事數(shù)字圖像處理研究.

TP751.1

A

1009-5128(2015)10-0085-05