湖南省漢壽縣第二中學 王 飛

構造法是指某些數(shù)學問題用通常辦法難以解決時，根據(jù)題目所給條件和結論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點觀察分析、解釋對象，抓住反映問題的條件與結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，用已知的數(shù)學關系為支架構造出滿足條件或結論的數(shù)學對象，使原問題中隱晦不清的關系和性質(zhì)在新構造的數(shù)學對象中清楚的表現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學對象解決數(shù)學問題的方法。

一、構造法的解題思路

構造法解題的基本思想方法是轉(zhuǎn)化思想，用構造法解題的巧妙之處在于不是直接解決所給問題，而是把它轉(zhuǎn)化為與原問題有關的輔助新問題，然后通過新問題的解決幫助解決原問題。

二、構造法的解題模式

構造法的內(nèi)涵十分豐富，解題也沒有一個絕對統(tǒng)一的模式。它需要更多的分析、類比、歸納和判斷，同時能激發(fā)人們的思維。如何借助構造法實現(xiàn)解題過程的轉(zhuǎn)化呢？關鍵是對題設條件進行邏輯處理，通過一般的特殊化的想象，巧妙地對問題分析與綜合，構造出一種思維的創(chuàng)造物或想象物。構造法解題過程的大致模式和步驟如下：一是對題設條件特征的分析；二是通過創(chuàng)新思維進行轉(zhuǎn)化；三是構造方程、數(shù)列、函數(shù)（或圖像）、關系式；四是通過推演實現(xiàn)轉(zhuǎn)化；五是結論。

三、構造法在中學數(shù)學解題中的應用舉例

1.構造方程法

方程，作為中學數(shù)學重要的知識之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識密切相關。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后根據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。遇到等量性問題都可以使用方程，對于一些計算問題也可以運用方程思想來解決，倘若不能或難于直接求的就設法導出它滿足的方程，這樣，問題就歸結為求方程的解了。

【例1】已知2 f(x)+f(-x)=3x+2，求函數(shù)f(x)的解析式。

分析：將“f(x)”和“f(-x)”看作兩個未知數(shù)，因此還需要構造一個關于“f(x)”和“f(-x)”的方程，用解方程組的方法來解。

解：將方程組中的“x”用“-x”替換，

則有2f(-x)+f(x)=-3x+2

因此可得方程組

消去“f(-x)”，可得f(x)=3x+

點評：本題考查了用方程思想解函數(shù)方程問題，關鍵在于構造一個同類方程，用消元方法解決。

2.構造數(shù)列法

對于數(shù)列中一些非等差、非等比問題，特別是數(shù)列相鄰兩項是線性關系的題型，可以靈活的利用題目中的條件，巧妙地構造一個等差或等比數(shù)列，使問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本問題來解決。

【例2】若求數(shù)列｛an｝的通項公式。

分析：題設條件是一個遞推關系，數(shù)列｛an｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若想通過常規(guī)的公式法求通項公式不可能達到目的。經(jīng)觀察分析題設條件，屬于an+1=pan+q(p、q是常數(shù))型，用待定系數(shù)法求解，即令an+1+A=p(an+A)，(A為常數(shù))，與原式比較，求得A后，構造等比數(shù)列，進而達到求｛an｝通項公式的目的。

解：設則an+1

令得A=-3.

即變?yōu)?/p>

∴｛an-3｝是首項為an-3=-2，公比為的等比數(shù)列。

即的通項公式：

點評：本題是求數(shù)列通項公式的典型題目，方法是構造等比數(shù)列求解，將問題轉(zhuǎn)化后，先利用公式法求出等比數(shù)列｛an-3｝的通項公式，進而求出數(shù)列｛an｝的通項an。

3.構造函數(shù)（或圖像）法

在直接求解某些數(shù)學問題有困難時，我們往往根據(jù)問題的條件，構想組合一種新的函數(shù)關系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化，并利用函數(shù)的有關性質(zhì)，借助數(shù)形結合方法解決問題，是一種行之有效的解題手段。

【例3】若關于x的方程有負實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：本方程中未知數(shù)x處在指數(shù)上，如果用代數(shù)的方法，則通過有負實數(shù)解而要求實數(shù)a的取值范圍較難入手。如果換一種思維方法，構造指數(shù)函數(shù)和常數(shù)函數(shù)，對問題進行轉(zhuǎn)化，用數(shù)形結合的方法求解，則問題變得簡捷。

解：令為常數(shù)函數(shù)。方程有負根，反映在函數(shù)圖象上就是兩函數(shù)曲線有交點且交點在y軸左側(cè)（如圖），故只須即可，于是由

∴ 實數(shù)a的取值范圍為：＜a＜5｝

點評：方程與函數(shù)是密切聯(lián)系著的兩個數(shù)學概念，方程的解是相應函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此對一些解起來很困難的方程，用數(shù)形結合的方法求解是很重要的方法，本題通過構造指數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù)，用數(shù)形結合的方法，以形助數(shù)達到簡捷解題的目的。

構造法有利于提高轉(zhuǎn)化化歸思想的深刻性，從上述四個例子的解題實踐中，我們看到構造法在中學數(shù)學解題中所發(fā)揮出的化難為易的強大威力，要求教師在長期的教學過程中潛移默化的讓學生掌握。