☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市南岸區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 肖 飛

☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué) 院江楠

來(lái)自高考數(shù)學(xué)閱卷場(chǎng)的報(bào)告
——2015年重慶卷考生答題分析與教學(xué)建議

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市南岸區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 肖 飛

☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué) 院江楠

今年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)、分值、試題特點(diǎn)與去年相似，但試題整體難度有所下降，估計(jì)理科平均分接近100分，文科平均分接近90分.由于選擇題是機(jī)器閱卷，因此我們主要針對(duì)考生對(duì)解答題的解答情況作出分析，并給出教學(xué)建議.

今年文理科填空題、解答題平均分統(tǒng)計(jì)表

?

這些數(shù)據(jù)說(shuō)明今年重慶高考數(shù)學(xué)試題難度控制較為合理，并且試題能較好地區(qū)分出數(shù)學(xué)學(xué)得很好、好、中、差、很差的學(xué)生，體現(xiàn)了較好的區(qū)分度，從而達(dá)到選拔各層次人才的目的.

一、有關(guān)數(shù)列問題的解答情況分析

1.正確解法

文科數(shù)列題是文科第一道解答題，除了參考答案以外，學(xué)生還用到了以下解法.

（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì).

（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

理科數(shù)列題是理科最后的壓軸題，學(xué)生除了參考答案以外，還用到了如下解法.

另一方面a1>a2>…>ak0+1>2.

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

④審題不仔細(xì)，如第二問求出通項(xiàng)后，沒有求出前n項(xiàng)和.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①在第一問中，把等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)求錯(cuò)，用錯(cuò)通項(xiàng)公式；

②在第二問中，利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證首項(xiàng)時(shí)錯(cuò)把“k0=2”驗(yàn)證為“k0=1”；

3.教學(xué)建議

文科要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)基本公式的記憶及運(yùn)算，重視驗(yàn)算步驟的書寫和規(guī)范.理科除此之外，還應(yīng)強(qiáng)化數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用.

4.試題評(píng)價(jià)

數(shù)列題作為文科第一道大題，難度較小，主要考查學(xué)生對(duì)公式的記憶及運(yùn)算能力；數(shù)列題作為理科最后一題，不但考查了等比數(shù)列求通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，還考查了學(xué)生的推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)，綜合性較強(qiáng)，涉及不等式放縮法、數(shù)列的單調(diào)性、累加法等，區(qū)分度非常明顯，是選拔能力型人才的一道好題.

二、有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)問題的解答情況分析

1.正確解法

文科考查的是線性回歸直線方程及其應(yīng)用，除了參考答案以外，學(xué)生還用到了以下兩種方法.

法2：調(diào)查另一組數(shù)據(jù)ti′=ti-3，yi′=yi-7，減小計(jì)算量，提高準(zhǔn)確率.

理科考查的是概率與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，是理科第一道解答題，除了參考答案以外，學(xué)生還用到了以下方法.

法3：第二問利用分類討論：

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

②不理解求和符號(hào)的意義，如：

③計(jì)算步驟過于簡(jiǎn)陋，影響得分.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

②第二問用分類討論方法時(shí)，漏掉某些情況；

③題意理解不清楚，錯(cuò)當(dāng)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的二項(xiàng)分布處理.

3.教學(xué)建議

對(duì)文科學(xué)生要強(qiáng)化計(jì)算能力，提高計(jì)算水平；細(xì)化大題書寫過程的規(guī)范性，詳略得當(dāng)以增強(qiáng)得分點(diǎn).對(duì)理科學(xué)生要加強(qiáng)基本概念教學(xué)，即基本事件、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等的教學(xué)，注重分類討論思想方法的培養(yǎng)，做到不重、不漏.

4.試題評(píng)價(jià)

文科第17題難度不大、考點(diǎn)單一，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力.理科第17題難度較小，主要考查學(xué)生利用組合數(shù)求解古典概型、計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望的能力.

三、有關(guān)三角問題的解答情況分析

1.正確解法

文、理科三角函數(shù)解答題是一道姊妹題，除參考答案外，文科學(xué)生用到了以下解法.

法1：直接化簡(jiǎn)求值.

法2：在第二問中，直接通過圖像的變換畫出平移、伸縮前后的圖像來(lái)求值域.

法3：在第二問中，利用求導(dǎo)或其他方法先求出單調(diào)區(qū)間，再求解值域.

理科三角函數(shù)解答題，除了參考答案以外，學(xué)生主要用到了以下解法.

法1：利用配湊二倍角公式來(lái)化簡(jiǎn).

法2：利用積化和差公式來(lái)化簡(jiǎn).

法3：先求函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)區(qū)間，再與所需區(qū)間取交集.

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①根本就不會(huì)化簡(jiǎn)；

⑤簡(jiǎn)單地代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)值來(lái)求值域.

3.教學(xué)建議

加強(qiáng)文、理科學(xué)生的基本功訓(xùn)練，主要體現(xiàn)在基本公式、基本計(jì)算上，重視通性、通法的培養(yǎng)，提高學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維能力，規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和書寫習(xí)慣.

4.試題評(píng)價(jià)

此題涵蓋了三角函數(shù)化簡(jiǎn)、圖像及性質(zhì)，其中化簡(jiǎn)變形具體涉及了誘導(dǎo)公式、降冪公式、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等，還涉及了三角函數(shù)的值域、單調(diào)性及圖像的變換，全面考查了三角函數(shù)的基本知識(shí)和基本技能，難度適中.

四、有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的解答情況分析

1.正確解法

文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題，學(xué)生出現(xiàn)的有別于參考答案的解法如下所示.

由f′（x）=3ax2+2x，得

由g（x）

令g′（x）>0，得x∈（-4，-1）∪（0，+∞）.

則g（x）在（-4，-1）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-4）和（-1，0）上單調(diào)遞減.

理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題除參考答案外，學(xué)生還出現(xiàn)了以下解法.

法1：分離參數(shù)法.

當(dāng)x∈［3，+∞）時(shí)，g′（x）<0，則g（x）在［3，+∞）上單調(diào)遞減，則

法2：構(gòu)造函數(shù)法（數(shù)形結(jié)合）.

（1）令h（x）=-3x2+（6-a）x+a，則h（x）≤0?x∈［3，+∞）恒成立.

（2）令h（x）=-3x2+（6-a）x+a，則h（x）≤0?x∈［3，+∞）恒成立.

（3）-3x2+（6-a）x+a≤0，則-3x2+6x≤a（x-1）?x∈［3，+∞）恒成立.

令h（x）=-3x2+6x，記A（1，0）、B（3，-9），由圖可知a≥ kAB，則a≥

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①不會(huì)求導(dǎo)（或算錯(cuò)），包括對(duì)簡(jiǎn)單多項(xiàng)式求導(dǎo)和兩個(gè)函數(shù)的乘積求導(dǎo)；

②不清楚極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的關(guān)系；

③錯(cuò)用單調(diào)性運(yùn)算性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間，如：因?yàn)閑x>0且單調(diào)遞增，所以g（x）的單調(diào)性與f（x）的單調(diào)性相同，所以只需求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

④不會(huì)解高次不等式.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①第一問中，除法求導(dǎo)法則運(yùn)用錯(cuò)誤多，不少學(xué)生在運(yùn)算中將符號(hào)弄錯(cuò)；

②第二問中，求一個(gè)新函數(shù)的最值時(shí)步驟嚴(yán)重缺失，如未求導(dǎo)、不判斷單調(diào)性，直接寫出最值；

③第二問中，分離參數(shù)時(shí)不等號(hào)方向弄錯(cuò)；

④構(gòu)造函數(shù)法（數(shù)形結(jié)合）的第一種解法中，漏掉第二種情況，或第一種情況條件不全.

3.教學(xué)建議

加強(qiáng)對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)章節(jié)中各個(gè)公式的理解記憶，回歸教材、落實(shí)基礎(chǔ)；加強(qiáng)第一步求導(dǎo)的重要性意識(shí)的樹立，提高運(yùn)算能力，重視通性、通法的培養(yǎng)；加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、問題轉(zhuǎn)化等重要數(shù)學(xué)思想與方法的滲透教學(xué)；重視本章節(jié)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系的構(gòu)建.

4.試題評(píng)價(jià)

本題考查用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的基本方法與基本技能，知識(shí)點(diǎn)覆蓋全面，涵蓋求導(dǎo)、極值、切線方程、單調(diào)區(qū)間等基本問題，還有恒成立問題.此題入口很寬、深入較易、方法常規(guī)，注重通性、通法，也有一定的區(qū)分度，需要考生們仔細(xì)審題、嚴(yán)謹(jǐn)分析、仔細(xì)計(jì)算.文科解答題涉及了高次不等式的求解，運(yùn)算難度提高，區(qū)分度好.

五、有關(guān)立體幾何問題的解答情況分析

1.正確解法

對(duì)于空間立體幾何解答題，文科學(xué)生除了參考答案以外，還用到了以下幾種思路.

又a2+b2=36，則b=3或即BC=3或

法2：作DH⊥AB于H點(diǎn)，設(shè)DH=x，則EF=2x，AB=

SBCDF=S△ABC-S△ADF

理科學(xué)生除了參考答案以外，還用到了以下思路.

法2：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DE、DC所在直線為x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

法3：利用三垂線定理找到二面角.

由VP-ACD=VC-PAD，得點(diǎn)C到平面PAD的距離

（2）過A作AO⊥CD于點(diǎn)O，過O作OM⊥PD于點(diǎn)M，連接AM.

法4：利用面積射影定理求二面角的余弦值.

過A作AO⊥CD于點(diǎn)O，易證AO⊥面PCD，則△POD為△PAD在面PCD上的射影，經(jīng)計(jì)算

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①在第一問的證明過程中，證明條件不完整，主要是由面面垂直推導(dǎo)線面垂直時(shí)出現(xiàn)問題；

②在第一問的證明過程中，跳躍太大，直接由面面垂直就得到線線垂直了；

④在第二問中，算出兩個(gè)值，但是由圖觀察BC

⑤在第二問中，以EC、EP、EF為坐標(biāo)軸建立錯(cuò)誤的空間直角坐標(biāo)系；

⑥運(yùn)算錯(cuò)誤，有的直接計(jì)算體積，也有的將所求四棱錐切割成兩個(gè)三棱錐（以△DCF、△BCF為底面）或者一個(gè)三棱錐、一個(gè)四棱錐（以△DEF、四邊形BCEF為底面）.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①計(jì)算錯(cuò)誤，一是計(jì)算AC的長(zhǎng)度出錯(cuò)，從而A點(diǎn)的坐標(biāo)出錯(cuò)，進(jìn)而平面PCD的法向量算錯(cuò)，二是D點(diǎn)坐標(biāo)算錯(cuò)，導(dǎo)致平面PAD的法向量算錯(cuò)；

②在第一小問中，證明時(shí)邏輯不清，對(duì)定理使用條件不清：一是誤證D→E與平面PCD的法向量垂直（本該證平行），二是在證明DE⊥DC與DE⊥PC兩垂直關(guān)系時(shí)邏輯不清，三是利用面PCD⊥面CDE去證DE⊥面PCD時(shí)，對(duì)定理使用條件不清不楚；

③對(duì)利用法向量計(jì)算二面角時(shí)，到底算的是二面角還是其補(bǔ)角含糊不清.

3.教學(xué)建議

立體幾何教學(xué)要重視“雙基”教學(xué)，加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生對(duì)立體幾何中線線、線面、面面平行與垂直證明的邏輯推理能力，及相關(guān)性質(zhì)與判定定理?xiàng)l件的使用與記憶能力；重視對(duì)傳統(tǒng)幾何方法的教學(xué)，以增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力、邏輯推理能力；加強(qiáng)對(duì)向量法建系的坐標(biāo)軸與頂點(diǎn)的選擇性訓(xùn)練，切實(shí)訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范作答的習(xí)慣.

4.試題評(píng)價(jià)

文科試題以三棱錐為模型，考查了學(xué)生線面垂直判定定理和面面垂直性質(zhì)定理的運(yùn)用，注重考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，第二小問中既考查了學(xué)生“分割”、計(jì)算等能力，又體現(xiàn)了方程思想與立體幾何的完美結(jié)合，題面較新穎，又有很好的區(qū)分度，是一道不可多得的好題.理科試題主要考查了線面垂直的證明及二面角的計(jì)算，這也是歷年考試的熱點(diǎn)，體現(xiàn)了優(yōu)化思維、簡(jiǎn)化運(yùn)算的思想，考查了學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，體現(xiàn)了立體幾何的基本思想.作為第三道解答題，難度適中，得分率高.

六、有關(guān)解析幾何問題的解答情況分析

1.正確解法

文、理科解析幾何解答題是一道姊妹題，除參考答案外，文科學(xué)生主要有以下幾種思路.

法1：第一問利用定義求出a，再利用勾股定理或焦點(diǎn)三角形面積公式算出c，進(jìn)而求得橢圓方程.

法2：設(shè)|PF1|=m，|PQ|=λm，則|F1Q|2=（λ2+1）m2?|F1Q|=

法3：設(shè)|PF2|=m，|F2Q|=n，則|PF1|=2a-m，|F1Q|=2a-n.

由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，得m2-2am+2b2=0?m=a±

理科試題除了參考答案以外，學(xué)生還用到了以下解法.

法1：設(shè)|PF1|=r，則|PF2|=2a-r，|QF2|=|PF1|-|PF2|=2r-2a.

法2：以F2為極點(diǎn)，射線F2x為極軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)∠PF2x=θ，則則|PQ|=

由|PQ|=|PF1|，得2（1-esinθ）=1-e2cos2θ.

由|PF1|+|PF2|=2a，得e（sinθ+cosθ）=1，則1-esinθ= ecosθ.

則2ecosθ=1-e2cos2θ，則則esinθ=1-則

法3：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由第二定義得|PF1|=a+ ex1，|PF2|=a-ex1.

由PF1⊥PF2，得x21+y21=c2，則y21=c2-x21.把直線PQ的方程代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程并化簡(jiǎn)，得［b2（x1-c）2+

則|PQ|=2a-e（x1+x2）

由y21=c2-x21，得

2.典型錯(cuò)誤

在解答過程中，文科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①第一問利用勾股定理時(shí)算錯(cuò)；

②常量a、c的意義混淆；

③設(shè)直線PQ的方程時(shí)利用第一問錯(cuò)誤的c值；

④聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程消元，利用韋達(dá)定理算弦長(zhǎng)，無(wú)法完成計(jì)算.

理科學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有以下幾種.

①求橢圓方程時(shí)，將b、c算反；

②在第一問中，沒有想到用橢圓的定義求a；

③在第二問中，用設(shè)點(diǎn)或設(shè)直線的方式解題，導(dǎo)致運(yùn)算量巨大，無(wú)法完成計(jì)算.

3.教學(xué)建議

對(duì)本題教學(xué)中要注重“雙基”，突出基本概念的理解和應(yīng)用；注重解析幾何中平面幾何知識(shí)的應(yīng)用；加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用，同時(shí)注重運(yùn)算能力的培養(yǎng).

4.試題評(píng)價(jià)

本題是文科最后的壓軸題，重點(diǎn)考查了橢圓的定義，利用定義求橢圓方程，利用定義將幾何條件代數(shù)化，建立方程，再利用方程與函數(shù)思想求出值域.此題立意好、思路新穎，對(duì)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、綜合能力要求都極高，是一道非常出色的題，有相當(dāng)高的區(qū)分度，是選拔優(yōu)秀人才的好題.本題作為理科倒數(shù)第二題，考查學(xué)生在解析幾何中運(yùn)用平面幾何知識(shí)解決問題的能力，難度適中，切入點(diǎn)巧妙，將橢圓的定義與平面的勾股定理有機(jī)結(jié)合在一起，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，回避了解析幾何中“硬算”的特點(diǎn)，考查了學(xué)生靈活應(yīng)變的能力，有較大的區(qū)分度.

總之，從以上分析來(lái)看，對(duì)于立體幾何與解析幾何試題，學(xué)生解法思路多，但發(fā)生的錯(cuò)誤也多，說(shuō)明學(xué)生易入手，得高分難，想得到做不到，突出的問題是基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，基本技能不過硬.從全卷學(xué)生的答題情況來(lái)看，通篇表現(xiàn)出學(xué)生“根基”不牢，一看就會(huì)，一做就錯(cuò)，成為常態(tài).但凡平時(shí)學(xué)習(xí)認(rèn)真、基礎(chǔ)扎實(shí)的學(xué)生，這次數(shù)學(xué)考試都能獲得高分.這些都說(shuō)明我們平時(shí)的教學(xué)要注重挖掘教材，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本問題的教學(xué)，反映回到基本素材和原始狀態(tài)的教學(xué)是多么重要啊！今年重慶高考文、理科數(shù)學(xué)試題，完全符合今年重慶市考試說(shuō)明與要求，且難度適中，知識(shí)點(diǎn)覆蓋全面，適合全體高三學(xué)生，個(gè)別試題新穎，整體層次感強(qiáng)，全卷有較好的區(qū)分度，是一套全面檢測(cè)和選拔人才的好試卷.

1.張曉斌.立足重慶搖促進(jìn)課改——2014年高考數(shù)學(xué)重慶卷試題特點(diǎn)述評(píng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（9）.

2.張曉斌.回到基本素材和原始狀態(tài)的教學(xué)才是好的教學(xué)——“數(shù)學(xué)歸納法（第一課時(shí)）”教學(xué)點(diǎn)評(píng)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2015（4）.