郭曉君，劉思峰，方志耕，吳利豐

（1．南通大學理學院，江蘇南通226019；

2．南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京211106）

融合自憶性原理的優(yōu)化GM（1，1）冪模型構(gòu)建及應(yīng)用

郭曉君1，2，劉思峰2，方志耕2，吳利豐2

（1．南通大學理學院，江蘇南通226019；

2．南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京211106）

針對因發(fā)展變化受眾多因素影響而具有飽和增長趨勢或單峰特性的原始波動序列，為了提高預(yù)測精度，以灰色GM（1，1）冪模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建了自憶性原理與優(yōu)化GM（1，1）冪模型的耦合預(yù)測模型，用動力系統(tǒng)自憶性原理來克服傳統(tǒng)灰色模型對初值比較敏感的弱點。結(jié)果表明，新構(gòu)建模型能夠充分利用系統(tǒng)的多個歷史時次資料，模擬和預(yù)測精度都高于傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型，進一步拓展了灰色模型的應(yīng)用范圍。最后，以我國高中升學率的數(shù)據(jù)為例驗證了所構(gòu)建模型的優(yōu)越性和有效性。

灰色系統(tǒng)；GM（1，1）冪模型；自憶性原理；升學率

0 引 言

針對系統(tǒng)工程中不斷出現(xiàn)的復(fù)雜性和不確定性等特征，1982年鄧聚龍［1］提出了一種新的系統(tǒng)科學方法——灰色系統(tǒng)理論，主要包括灰色關(guān)聯(lián)、預(yù)測建模、決策分析、灰色控制等。其中，灰色預(yù)測模型系列［2］利用累加原始序列弱化其隨機性，進而構(gòu)建具有部分差分、部分微分特征的方程，挖掘數(shù)據(jù)序列的內(nèi)在規(guī)律，做出科學定量的預(yù)測，用以揭示系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢。同時，灰色預(yù)測模型不受一般統(tǒng)計模型對原始數(shù)據(jù)種種要求的約束，對樣本容量和概率分布沒有嚴格要求，在小樣本時間序列預(yù)測方面具有獨特優(yōu)勢，已在經(jīng)濟、能源、交通等各類動態(tài)系統(tǒng)中取得了廣泛應(yīng)用［35］。此外，眾多學者也致力于對灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)研究，例如分析模型特性、改進背景值、優(yōu)化時間響應(yīng)式等［6-8］。

GM（1，1）冪模型，作為其中一類具有較強普適性的非線性灰色模型，是對GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型的形式衍化，其冪指數(shù)可以根據(jù)實際系統(tǒng)背景進行優(yōu)化選取，以適用于不同規(guī)律的原始序列建模，演繹系統(tǒng)內(nèi)蘊的非線性特征。針對早期研究選取冪指數(shù)的不合理性，王正新等學者對GM（1，1）冪模型進行了一系列深入研究［912］，其中文獻［9］和文獻［12］運用灰色系統(tǒng)信息覆蓋、非線性優(yōu)化等方法來尋求最優(yōu)的冪指數(shù)，對于解決冪指數(shù)的優(yōu)化選取難題意義深遠。

基于將決定論和不確定論相結(jié)合的思想，文獻［13］提出了一種新的預(yù)測技術(shù)——動力系統(tǒng)自憶性原理，吸收了動力學與統(tǒng)計學各自的優(yōu)勢［14］，可以對非線性系統(tǒng)進行有效預(yù)測。該預(yù)測方法可以充分挖掘系統(tǒng)內(nèi)蘊的歷史信息，從而反演得到相應(yīng)的系統(tǒng)動力學模型，預(yù)測系統(tǒng)的整體發(fā)展及變化趨勢。自憶性模型理論，是對傳統(tǒng)初值問題數(shù)值解和統(tǒng)計預(yù)測方法的一個突破，已在水文氣象、電力能源、建筑物沉降等領(lǐng)域［15-16］取得了較為理想且穩(wěn)定的預(yù)測效果。

同時，自憶性技術(shù)也逐步與灰色預(yù)測方法進行了一些有意義的結(jié)合［17-18］，但文獻［17］僅研究具有近似指數(shù)增長或衰減特征的GM（1，1）模型，文獻［18］則以特殊的DHGM（2，2）模型為對象進行討論，僅適用于水文系統(tǒng)模型。而本文考慮灰色預(yù)測模型應(yīng)用的普適性，以傳統(tǒng)的優(yōu)化GM（1，1）冪模型為基礎(chǔ)，面向近似指數(shù)增長或衰減、飽和增長或呈單峰特性的原始波動序列，結(jié)合自憶性原理，構(gòu)建自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪預(yù)測模型，并以我國歷年高中升學率為例進行模擬和預(yù)測，分析自憶性模型相比傳統(tǒng)模型的優(yōu)越性，以期拓展灰色預(yù)測方法、提高其應(yīng)用普適性。

1 GM（1，1）冪模型及冪指數(shù)優(yōu)化

1.1 原始GM（1，1）冪模型

定義1 設(shè)非負原始數(shù)據(jù)序列

對X（0）作一階累加，得1-AGO序列

其中

對X（1）作一階緊鄰均值，得1-MGO序列

其中

則稱

為等間距GM（1，1）冪模型。

GM（1，1）冪模型中，發(fā)展系數(shù)－a、灰色作用量b，以及冪指數(shù)γ均為未知參數(shù)。特別地，當γ＝0時，GM（1，1）冪模型可退化為傳統(tǒng)GM（1，1）模型；當γ＝2時，GM（1，1）冪模型又退化為灰色Verhulst模型。本文以等間距GM（1，1）冪模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建融合自憶性原理的優(yōu)化GM（1，1）冪模型，非等間距GM（1，1）冪模型的情況可進一步拓展推導(dǎo)得到。

定義2［7］設(shè)參數(shù)a，b如定義1所述，則稱

為等間距GM（1，1）冪模型的白化微分方程。

1.2 GM（1，1）冪模型的求解過程

設(shè)X（0）為非負原始數(shù)據(jù)序列，且X（0），X（1），Z（1）如上所述，則等間距GM（1，1）冪模型的求解過程可歸納如下：

步驟1 若^R＝［a，b］T為參數(shù)列，且

則等間距GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的最小二乘估計參數(shù)列滿足

步驟3 對式（4）作離散化處理，得GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的時間響應(yīng)序列

步驟4 對式（5）作一階累減還原，得原GM（1，1）冪模型預(yù)測序列

1.3 GM（1，1）冪模型的冪指數(shù)優(yōu)化

GM（1，1）冪模型是一類具有較強柔韌性和靈活性特點的非線性灰色模型，隨著冪指數(shù)γ取值的不同可適用于不同特征的原始序列建模。早期文獻中，冪指數(shù)γ往往通過主觀判斷或建模實驗來取值，勢必影響了灰色冪模型的普適性。冪指數(shù)γ通常取值為2，即灰色Verhulst模型，也僅適用于具有飽和狀態(tài)趨勢的原始序列建模預(yù)測。因此，如何根據(jù)不同原始數(shù)據(jù)內(nèi)蘊的演化規(guī)律，借助優(yōu)化算法工具來確定冪指數(shù)γ的最優(yōu)值在建模過程中顯得尤為重要。

文獻［9］利用灰色系統(tǒng)信息覆蓋的思想提出了一種確定冪指數(shù)γ的優(yōu)化算法，即

式中

同時對冪指數(shù)γ在不同取值范圍內(nèi)，GM（1，1）冪模型解可能產(chǎn)生的性質(zhì)影響作了進一步討論。

2 融合自憶性原理的優(yōu)化GM（1，1）冪模型

2.1 動力系統(tǒng)自憶性原理的基礎(chǔ)理論

從混沌動力學可知，系統(tǒng)兼有決定論和隨機性兩方面特性，故而隨機-動力途徑是研究系統(tǒng)發(fā)展變化的基本思路?；谙到y(tǒng)演變的不可逆特性，自憶性原理通過重點研究系統(tǒng)內(nèi)部的前后狀態(tài)，來挖掘系統(tǒng)自身的演化趨勢。文獻［13］將記憶函數(shù)代入Hilbert空間，利用內(nèi)積運算導(dǎo)出自憶性差分-積分方程，該方程可以充分挖掘出歷史數(shù)據(jù)中蘊含的系統(tǒng)信息。由于系統(tǒng)自憶性方程以多個時點初值條件來代替單個時點初值條件，從而克服了原始系統(tǒng)動力微分方程對初值比較敏感的弱點，因此這種自憶性技術(shù)同時吸收了動力學與統(tǒng)計學兩方面的預(yù)測優(yōu)勢。

式中，x為變量；λ為參數(shù)；t為時間；F（x，λ，t）為動力核。

式（8）表達了變量x在局地的時間變化與動力核源函數(shù)F（x，λ，t）的關(guān)系，令記憶函數(shù)為β（t），且|β（t）|≤1，同時在Hilbert空間中定義內(nèi)積

2.2 自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型的構(gòu)建步驟

等間距自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型的建模過程可歸納如下：

步驟1 優(yōu)化選取冪指數(shù)γ

根據(jù)文獻［9］，利用灰色系統(tǒng)信息覆蓋的思想選取符合不同原始數(shù)據(jù)序列特征的最優(yōu)冪指數(shù)γ，即

步驟2推導(dǎo)自憶性差分-積分方程

設(shè)某時間集合T＝｛t－p，t－p＋1，…，t－1，t0，t｝，各時次間隔為Δt，其中當前時刻以t0表示，歷史時刻以t－p，t－p＋1，…，t－1，t0表示，預(yù)測時刻以t表示，回溯時點數(shù)以p表示，稱為回溯階。若假設(shè)變量x與記憶函數(shù)β（t）具有連續(xù)性、可微性、可積性，則原始系統(tǒng)動力方程式（8）可借助內(nèi)積運算式（9）變換為

式（10）可以視為以β（t）為權(quán)重的一種加權(quán)積分，經(jīng)過分部積分及積分中值公式處理，并作同類項約減，式（10）轉(zhuǎn)化成一個差分-積分方程，即自憶性預(yù)測方程

式中，βt≡β（t）；xt≡x（t）；βi≡β（ti）；xi≡x（ti）；中值xmi≡x（tm）；ti＜tm＜ti＋1；i＝－p，－p＋1，…，0。

步驟3 離散化自憶性預(yù)測方程

令xm－p－1≡x－p，β－p－1≡0，式（11）可變換為

稱其為系統(tǒng)回溯p階的自憶性方程，強調(diào)了系統(tǒng)狀態(tài)前后時次間的聯(lián)系。其中，S1為自憶部分，強調(diào)p＋1個時次的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)對預(yù)測值xt的影響；S2則為他效部分，強調(diào)動力核F（x，λ，t）在時間段［t－p，t0］內(nèi)對xt的回溯影響。

在式（12）中，將積分運算近似為求和運算，微分運算近似為差分運算，中值xmi則近似為兩相鄰時刻值，即

同時取等距時次間隔，令Δti＝ti＋1－ti＝1，且將βt和βi合寫，則得到離散形式的自憶性預(yù)測方程則離散形式的自憶性預(yù)測方程式（14）可表示成矩陣形式

式中，記憶系數(shù)為αi＝（βi＋1－βi）／βt和θi＝βi／βt，原始等間距GM（1，1）冪模型可確定函數(shù)F（x，λ，t），即－ax（1）＋b（x（1））γ。

步驟4 最小二乘求解記憶系數(shù)

F（x，λ，t）視為系統(tǒng)的輸入，x視為系統(tǒng)的輸出，自憶性方程可借助遞推最小二乘、隨機近似、遺傳算法等方法來求解，本文考慮最小二乘法。假設(shè)有L（L＞p）個時點的原始數(shù)據(jù)序列，記

從而得記憶系數(shù)矩陣W的最小二乘估計

步驟5 求解自憶性預(yù)測模型

利用記憶系數(shù)αi和θi，便可求解自憶性預(yù)測方程式（14），得到相應(yīng)的模擬或預(yù)測值x＾（1）（t），進而通過一階累減還原，可得原始數(shù)據(jù)模擬預(yù)測序列

式中，t＝1，2，…，n，且x＾（1）（0）≡0。可以借助Matlab程序減輕運用自憶性預(yù)測方程進行模擬和預(yù)測時的計算工作量。

步驟6 檢驗?zāi)M預(yù)測精度

將k時點的相對誤差記為RPE（k），即

可由k時點相對誤差RPE（k）及系統(tǒng)平均相對誤差A(yù)RPE來檢驗自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型模擬和預(yù)測的精度并進行誤差分析。

將所有時點的平均相對誤差記為ARPE，則

3 應(yīng)用實例

為了驗證本文提出的融合自憶性原理優(yōu)化GM（1，1）冪模型的可行性，以及面向具有飽和增長趨勢或單峰特性的原始波動序列模擬和預(yù)測的優(yōu)越性，以文獻［10］中1990～2008年的中國高中升學率為研究對象進行建模分析，相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示?？紤]到我國1999年實施的擴招政策對高中升學率增長產(chǎn)生的影響，為了消除國家政策等擾動因素的影響，以1999年為臨界點劃分為1990～1998年和1999～2008年前后兩段序列，進行分段建模預(yù)測。由于兩段升學率序列分別呈現(xiàn)先增長后下降的單峰特性，考慮用GM（1，1）冪模型對其進行分段建模分析。

表1 1990～2008年中國高中升學率%

本文將自憶性成份融入傳統(tǒng)的GM（1，1）冪模型，構(gòu)建一類自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型，利用其對歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)充分記憶的優(yōu)勢，來預(yù)測中國高中升學率的發(fā)展趨勢及變動情況。同時，通過對比新模型與傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型［9］的單點及平均模擬預(yù)測精度，來分析新模型中自憶性成份所體現(xiàn)的預(yù)測優(yōu)勢及穩(wěn)定性，從而拓展其應(yīng)用領(lǐng)域及普適性。

3.1 第一階段建模分析

取1990～1998年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為建模樣本，首先根據(jù)冪指數(shù)優(yōu)化算法的計算公式（7）可得最優(yōu)冪指數(shù)γ＝0.523 6，同時根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立第一階段傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型的白化微分方程

x＾（1）（k＋1）＝（27.738 0－22.905 3 e－0.0935k）2.0991

再將式（20）的右端項作為自憶性方程的動力核F（x，λ，t），則有d x／d t＝F（x，λ，t），據(jù)此可建立中國高中升學率的自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪一階段預(yù)測模型，其中回溯階經(jīng)試算確定p＝1為最優(yōu)，則相應(yīng)自憶性離散預(yù)測方程為

其中，記憶系數(shù)矩陣為

利用文獻［9］中的傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型和上述構(gòu)建的自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型，進行建模預(yù)測和誤差后驗的結(jié)果見表2，新建模型中初始兩個時點因回溯階p＝1而沒有模擬值。

表2 第一階段（1990～1998年）兩種模型的模擬值與誤差對比

中國高中升學率第一階段（1990～1998年）的建模分析及誤差對比結(jié)果如表2所示，傳統(tǒng)模型中8個樣本單點相對誤差介于1．26%與8．75%之間，平均相對誤差為3．50%；而新建模型中的7個樣本單點相對誤差借助自憶性技術(shù)大幅降低，介于0．06%與2．41%之間，且平均相對誤差也顯著減少至1．04%。同時，圖1描繪出了兩種GM（1，1）冪模型模擬值的相對誤差分布對比情況，顯然可見新模型的單點相對誤差顯著低于傳統(tǒng)模型，且總體分布較為穩(wěn)定。

圖1 兩種GM（1，1）冪模型模擬值的相對誤差分布對比（1992～1998年）

3.2 第二階段建模分析

針對1999～2008年的中國高中升學率，取前8年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為建模樣本，同時取后兩年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本，進行預(yù)測檢驗。同理，根據(jù)冪指數(shù)優(yōu)化算法公式（7）可計算得最優(yōu)冪指數(shù)γ＝－0.019 9，同時根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立第二階段傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型的白化微分方程

再將式（22）的右端項作為自憶性方程的動力核F（x，λ，t），則有＝F（x，λ，t），據(jù)此可建立中國高中升學率的自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪二階段預(yù)測模型，其中回溯階經(jīng)試算確定p＝1為最優(yōu)，從而得到自憶性離散預(yù)測方程

其中，記憶系數(shù)矩陣為

利用文獻［9］中的傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型和上述構(gòu)建的自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型，進行建模預(yù)測和誤差后驗，結(jié)果見表3，同樣新建模型中初始兩個時點因回溯階p＝1而沒有模擬值。

中國高中升學率第二階段（1999～2008年）的建模分析及誤差對比結(jié)果如表3所示，傳統(tǒng)模型中7個樣本單點相對誤差介于0.08%～8．40%，平均相對誤差為4．75%；而新建模型中的6個樣本單點相對誤差借助自憶性技術(shù)大幅降低，介于0%～2．61%，且平均相對誤差也顯著減少至1．18%。在預(yù)測方面，自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型的優(yōu)勢更加明顯，單步滾動預(yù)測相對誤差僅為2．31%，遠低于傳統(tǒng)優(yōu)化GM（1，1）冪模型的10．64%，而兩步滾動預(yù)測相對誤差雖然伴隨預(yù)測步長有所增加，但仍顯著低于傳統(tǒng)模型的9．63%。同時，圖2描繪出了兩種GM（1，1）冪模型模擬值和預(yù)測值的相對誤差分布對比情況，顯然可見新模型的單點相對誤差顯著低于傳統(tǒng)模型，且總體誤差分布較為穩(wěn)定。

表3 第二階段（1999～2008年）兩種模型的模擬值、預(yù)測值與誤差對比

圖2 兩種GM（1，1）冪模型模擬值和預(yù)測值的相對誤差分布對比（2001～2008年）

由中國高中升學率的建模分析結(jié)果可知，融合自憶性成份的優(yōu)化GM（1，1）冪模型，利用自憶性離散預(yù)測方程包含多個初值條件的優(yōu)勢，克服了傳統(tǒng)GM（1，1）冪模型受單個初值條件局限的弱點，從而顯著提高了建模精度及預(yù)測可靠性。因此，新建的自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型，可以深入挖掘系統(tǒng)中所呈現(xiàn)的整體單峰特性及個別波動情形，更加緊密捕捉了動態(tài)系統(tǒng)的整體演化趨勢和個體變動情況。

4 結(jié) 論

作為GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型的衍生，GM（1，1）冪模型是一類具有較強普適性的非線性灰色模型，其冪指數(shù)的優(yōu)化取值反映了該模型的柔韌性和靈活性。本文將自憶性成份有機融入傳統(tǒng)的優(yōu)化GM（1，1）冪模型，利用其對歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)充分記憶的優(yōu)勢，構(gòu)建了一類自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪預(yù)測模型。對中國高中升學率的實例研究結(jié)果表明，所提出的新預(yù)測模型能夠充分挖掘系統(tǒng)的歷史統(tǒng)計信息，相比傳統(tǒng)模型具有優(yōu)越的預(yù)測性能，值得推廣應(yīng)用于其他類似的非線性系統(tǒng)。

自憶性優(yōu)化GM（1，1）冪模型有著廣闊的研究背景和應(yīng)用空間，如何借助非線性規(guī)劃等優(yōu)化方法進行回溯階尋優(yōu)，需要作進一步探索。同時，可以考慮如何將其他優(yōu)化技術(shù)與自憶性原理相結(jié)合，進一步提高系統(tǒng)預(yù)測的精度和穩(wěn)定性。

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Construction and application of optimized GM（1，1）power model incorporating self-memory principle

GUO Xiao-jun1，2，LIU Si-feng2，F(xiàn)ANG Zhi-geng2，WU Li-feng2
（1.School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China；2.College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China）

As for the fluctuating sequences characterized by saturated condition or single-peak，whose development and variation are subject to multi-faceted factors，the coupling prediction model combining the selfmemory principle and the optimized GM（1，1）power model has been constructed based on the grey GM（1，1）power model in order to improve prediction accuracy．The traditional grey model’s weakness as being sensitive to the initial value can been overcomed by the self-memory principle of dynamic system．The results indicate that the newly-established model can take full advantage of the systematic multi-time historical data．It extends the grey model’s application span，which possesses higher accuracy of simulation and forecast than the traditional optimized GM（1，1）power model．Finally，the superiority and effectiveness of this proposed model have been proved by the case of Chinese senior high school students’enrolment rate into higher education institutions．

grey system；GM（1，1）power model；self-memory principle；enrolment rate

N 941．5

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．19

郭曉君（1978-），男，講師，博士研究生，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程。

E-mail：guoxj159＠163．com

劉思峰（1955-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論、數(shù)量經(jīng)濟學。

E-mail：sfliu＠nuaa．edu．cn

方志耕（1962-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為管理科學與工程、系統(tǒng)工程。

E-mail：zhigengfang＠163．com

吳利豐（1983-），男，博士研究生，主要研究方向為灰色系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程。

E-mail：wlf6666＠126．com

1001-506X（2015）01-0117-06

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 03- 12；

2014- 05- 21；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 08- 20。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140820．1730．001．html

歐盟第7研究框架瑪麗·居里國際人才引進計劃Fellow項目（FP7-PIIF-GA-2013- 629051）；國家自然科學基金（71111130211，71171113，71363046，71401051）；國家社會科學基金重點項目（12AZD102）；國家社會科學基金重大招標項目（10＆ZD014）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目（CXZZ13_0184）；南通市科技計劃項目（HS2013026，BK2014030）；南京航空航天大學引進人才基金（1009-YAH14003）資助課題