蔡磊

【內容摘要】在高中數(shù)學教學中，通過數(shù)學思維的培養(yǎng)，可以使學生達到融會貫通的要求，使數(shù)學學習更加輕松。高中立體幾何中割補法是一種非常重要的方法，使用割補法能夠降低題目的難度，快速有效的解決問題。本文立足于此，對高中立體幾何中割補法的教學進行探討。

【關鍵詞】割補法 ?高中立體幾何 ?應用研究

在高中立體幾何中，割補法是一種特殊的方法，通過對已知幾何體的割補，能夠得到一個新的幾何體，新的幾何體和原來的幾何體具有一定的聯(lián)系，從而可以將所求問題進行轉化，達到簡化問題的目的。割補法中蘊含著構造的思想，也是對立統(tǒng)一哲學思想的反映，培養(yǎng)學生的割補思想，對于學生的數(shù)學能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有重要的意義。

一、補形法

補形法就是將原有的立體幾何圖形補充一部分，形成一個新的立體幾何圖形，在新的立體幾何圖形中研究圖形的體積等性質。一般使用補形法時，原有的立體幾何圖形的相知和數(shù)量求取方法比較復雜，通過補充后，新的圖形和補充的部分數(shù)量關系求法比較簡單。

1.構造正方體法

正方體是一個比較特殊有簡單的幾何體，通過割補法構造正方體，可以將復雜的問題簡單化，可以找到解題的簡單方法。

例1：過正方形ABCD的頂點A作PA⊥面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。

分析：由于是正方形ABCD，PA垂直該面且PA=AB，這樣構造出一個正方體，正方體的邊長與AB長相同，所求的平面PAB和面PCD所成二面角，就是正方體的一條邊所在的面和其所在的對角面所成的夾角，為45°。

例2：一個四面體的所有棱長都為

，四個頂點在一球面上，求此球的表面積。

分析1：正四面體ABCD的棱長為

，四個頂點都在球上，球的球心與四面體的中心相同，設ΔACD的重心為E，則球心在線段BE上，可以通過直角三角形求出，但是計算比較復雜。

分析2：將四面體ABCD補成正方體，補成的正方體與正四面體的外接球是同一個球，由于正四面體棱長為 ? ?，所以正方體的棱長為1，外接球的半徑為 ? ? ，所以球的面積為3π。

2.臺體補成錐體法

臺體與錐體具有一定的關系，臺體可以通過錐體截取一部分得到，它們的性質相似，如果臺體中有些性質比較難解答時，可以將臺體補充一個小的錐體，得到一個大的錐體，使問題得到轉化，從而找到簡便的解答辦法。

例3：已知三棱臺ABC-A′B′C′的側面A′ACC′是底角互余的梯形，且該側面垂直于底面，∠ACB=90°，求證：三棱臺另兩個側面互相垂直。

分析：要證明三棱臺ABC-A′B′C′的側面A′ABB′與側面B′BCC′互相垂直，可以使用面面垂直判定定理或者證明這兩個面所成的二面角是直二面角，但是兩種方法只靠原立體圖形是很難證明的，可以考慮將三棱臺ABC-A′B′C′補成三棱錐P-ABC。

二、分割法

分割法是將幾何體分割成若干個部分，利用整體與部分的關系來解決所求問題。使用分割法時，要將原有的幾何體分割成比較常見的幾何體，使原來所求的問題更加簡單。

1.從整體分割出部分已知幾何體

例4：已知一個斜三棱柱的ABC-A′B′C′的一個側面A′ABB′的面積為S，側棱CC′到側面A′ABB′的距離為h，求該三棱柱的體積。

分析：根據三棱柱的體積公式，要求三棱柱的體積，要知道三棱柱的底面積和高度，但是這道題根據已知條件無法求出底面積和高。根據已知條件側面A′ABB′的面積為S，側棱CC′到側面A′ABB′的距離為h，可以看作為將側面A′ABB′作為底面，C為頂點的四棱錐C-A′ABB′的底面積和高，再根據四棱C-A′ABB′與三棱柱之間的關系求出三棱柱的體積。

2.把整體分割成幾個相互關聯(lián)的部分

例5：已知正四面體的棱長為a，求其內部任一點P到各個面的距離之和。

分析：由于PS是正四面體內部的任一點，具有不定性，無法確定點P到個面的距離。可以將P作為頂點，將P點與其他頂點連接，可以得到四個以P為頂點的三棱錐，P點到各面的距離是各個三棱錐的高，利用正四面體的體積是四個三棱錐體積之和的關系，就可以求出P點到各面的距離之和。

解：連接PA、PB、PC、PD，把正四面體ABCD分成四個三棱錐：三棱錐P-ABC、三棱錐P-BCD、三棱錐P-ABD和三棱錐P-ACD。設P到各個面的距離分別為h1、h2、h3和h4，由于是正四面體，各個面的面積都相等，設為S，則這四個三棱錐的體積分別為： ?Sh1、

Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面體的體積為

aS，所以有等式 ?Sh1+ ?Sh2+ ?Sh3+

Sh4= ? ? aS，解得h1+h2+h3+h4= ? ? a。

三、小結

割補法在高中立體幾何中具有廣泛的應用，立體幾何中的許多定理和結論都來自于生活實踐，與平面幾何之間具有很重要的關聯(lián)。所以在教學中要引導學生聯(lián)想實際模型，加強學生的立體想象能力，使學生的頭腦中形成立體幾何圖形的模型，對于割補法具有更形象的理解，從而提高學生解決立體幾何問題的能力。

【參考文獻】

[1] 黃永云、李素云. 巧用割補法解高考立體幾何題[J].課程教材教學研究，2013.2（8）：17-19.

[2] 王建忠. 割補法及其應用[J].中學物理，2011.3（4）：43-45.

[3] 閆峰. 例析割補法在高中物理中的應用[J].中學物理（高中版），2014.32 （8）：82.

（作者單位：江蘇省鹽城市田家炳中學）