郭力丹

一、一道期末試題與原因分析

小明從第1棵樹勻速走到第6棵樹用了3分鐘，那么以相同的速度從第一棵樹走到第30棵樹需用幾分鐘？（每兩棵樹之間的距離相等）

思路簡析：很顯然，這道題屬于“植樹問題”的拓展應(yīng)用，解答這道題首先要知道“植樹問題”的間隔規(guī)律（棵樹比間隔數(shù)多1），然后根據(jù)間隔規(guī)律分別推算第1到第6棵樹之間有5個(gè)間隔，每個(gè)間隔時(shí)間為3÷5=0.6分鐘。然后再根據(jù)1到30棵樹有29個(gè)間隔，將0.6×29 求出共需要的時(shí)間。訪談中，我們了解到大多數(shù)學(xué)生對不同“植樹問題”的間隔規(guī)律不是很理解，不清楚這道題要?dú)w結(jié)為哪一種模型的“植樹問題”來解決。

原因分析：“植樹問題”在人教版四年級(jí)下冊已經(jīng)學(xué)習(xí)過，2014年修訂教材調(diào)整到五年級(jí)上冊，按道理應(yīng)該不難理解。可學(xué)生的得分率如此之低很是出乎筆者的意料。經(jīng)過訪談，筆者了解到，大多數(shù)學(xué)生都能說出間隔數(shù)和植樹棵樹之間的關(guān)系，但是將植樹問題模型與生活實(shí)際相關(guān)聯(lián)不熟悉，筆者認(rèn)為這可能與教師授課時(shí)的側(cè)重點(diǎn)有關(guān)系。該班級(jí)的教師在四年級(jí)教學(xué)時(shí)，采用整體教學(xué)的辦法，把“植樹問題”的三種類型，即所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種” 在一節(jié)課中同時(shí)呈現(xiàn)。并將“三種情況”的區(qū)分以及相應(yīng)的計(jì)算方法（“加一”“不加不減”與“減一”）看成一種“規(guī)律”，要求學(xué)生熟練記住，牢固掌握。由于時(shí)間緊張，該教師在比較三種類型后沒有時(shí)間進(jìn)行把生活中的問題轉(zhuǎn)化成“植樹問題”的環(huán)節(jié)，課后也沒有花時(shí)間進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，致使學(xué)生對模型的理解僅僅停留在典型的“植樹問題”上。有些學(xué)生雖然會(huì)解決這一問題，但這些學(xué)生尚不能把“植樹問題”的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會(huì)熟練運(yùn)用規(guī)律解決問題。

二、對“植樹問題”教學(xué)中問題的反思

1. 教學(xué)時(shí)應(yīng)注重“植樹問題”的模型應(yīng)用。

“植樹問題”的教學(xué)涉及兩種層面的數(shù)學(xué)活動(dòng)：其一，“植樹問題”可區(qū)分出三種不同的數(shù)學(xué)模型，即“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”；其二，以“植樹問題”為原型引出普遍性的“間隔現(xiàn)象”的思考模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實(shí)際問題，如“路燈問題”“排隊(duì)問題”“鋸樹問題”“爬樓問題”等。在實(shí)際教學(xué)中，教師們往往過于重視第一個(gè)層面的教學(xué)活動(dòng)，即注重三種不同模型的區(qū)分，而對第二個(gè)層面的教學(xué)活動(dòng)缺乏應(yīng)有的重視。這樣就可能導(dǎo)致學(xué)生未能清楚地認(rèn)識(shí)到上述現(xiàn)實(shí)問題都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，這樣的“植樹問題”教學(xué)無疑是有問題的。本題較低的得分率提醒我們：“模式應(yīng)用”要比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性。

俞正強(qiáng)老師執(zhí)教的“植樹問題”一課。他在引導(dǎo)學(xué)生理解了“植樹問題中的樹是種在平均分的點(diǎn)上”后，隨即提出一個(gè)問題讓學(xué)生思考“除了植樹人把樹種在點(diǎn)上，還有什么人把什么也放在平均分的點(diǎn)上？”這個(gè)問題很巧妙地將“植樹問題”引入生活，讓學(xué)生回到生活中找“植樹問題”。學(xué)生列舉這些例子：服務(wù)員杯子的放法，工人每隔幾米打地基，路燈的建設(shè)，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的點(diǎn)上。顯然，學(xué)生所說都是比較平常的事例。此時(shí)，俞老師有意舉出不同的例子：“高速公路，每隔50米設(shè)1個(gè)服務(wù)區(qū)”“美國選總統(tǒng)每5年選一次”“每隔一學(xué)期一張獎(jiǎng)狀”等引導(dǎo)學(xué)生理解這些例子與植樹類似。在俞老師的拓展啟發(fā)下，學(xué)生想出的生活例子更多了。最后俞老師小結(jié)：“生活中的‘植樹問題，研究的是平均分中的點(diǎn)?！痹谶@個(gè)環(huán)節(jié)中，俞老師花的時(shí)間比較多。其實(shí)就是從抽象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，聯(lián)系生活實(shí)例，拓寬學(xué)生思路，不斷加深對“植樹問題”這類數(shù)學(xué)模型的理解，取得了很好的教學(xué)效果。

2. 改進(jìn)“植樹問題”的模型建構(gòu)策略。

策略一：從除法的意義入手建構(gòu)模型。

筆者認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)“植樹問題”之前已經(jīng)學(xué)會(huì)用除法算式解決實(shí)際問題，那么，在解決“植樹問題”的過程中可以基于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從除法的意義入手，將“植樹問題”作為用除法解決問題中的一類特殊情況加以處理，可以采用“一一對應(yīng)”的思想，在理解“間隔數(shù)和棵樹”這兩者關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)“商+1，商，商-1”的植樹問題模型，并在解決問題的過程中學(xué)會(huì)具體問題具體分析，判斷數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題。

俞正強(qiáng)老師分四個(gè)層次解決“植樹問題”的建構(gòu)問題。

（1）從除法意義入手。第一個(gè)問題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”這個(gè)問題是二年級(jí)平均分的問題。學(xué)生一下就列出了算式：20÷5=4（段）?！盀槭裁从贸▉碜?？”“你什么時(shí)候會(huì)做這種題目的？”通過一連串問題，回歸除法的意義，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)——用除法算式解決問題的最根本的意義是平均分。

（2）變式思考。第二個(gè)問題：“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”學(xué)生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都認(rèn)為也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位學(xué)生的想法是不同的，他認(rèn)為是“20÷5+1=5（棵）”，因?yàn)樵?米時(shí)要種一棵。俞老師通過一連串追問，學(xué)生不斷地進(jìn)行思考與表述，最后通過畫圖得出是5棵。利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解“樹是種在哪兒的？”

（3）兩題比較。俞老師追問：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學(xué)生通過對問題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段地分，而種樹是種在段與段之間兩端的點(diǎn)上。教師板書：點(diǎn)。 接著，教師不斷追問：“點(diǎn)與段的差別在哪里？”“點(diǎn)多，還是段多？”“怎么個(gè)多法？”“ 1段是2點(diǎn)，2段是3點(diǎn)，3段是4點(diǎn)，4段是5點(diǎn)……”當(dāng)學(xué)生清楚地得出“棵（點(diǎn)）=1+平均分”時(shí)，教師小結(jié)：“植樹是植在點(diǎn)上的?！?/p>

（4）問題變式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？還能解決嗎？“不管換成多遠(yuǎn)，方法都是一樣的?！庇崂蠋煂⒗}引申到更為普遍的現(xiàn)象中。

策略二：從基本模型拓展到其他模型。

前文提及，在“植樹問題”中涉及“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種模型，筆者認(rèn)為，這三種模型應(yīng)該以“兩端都種” 為基本模型，教學(xué)中不應(yīng)該對三種模型平均用力，可重點(diǎn)教學(xué)“兩端都種”，在此基礎(chǔ)上通過變式發(fā)展得到“只種一端”與“兩端都不種”的數(shù)學(xué)模型。這樣既把握了三種數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在聯(lián)系，又避免了教學(xué)時(shí)間不足的矛盾。仍以俞老師執(zhí)教的“植樹問題”為例：教師在引導(dǎo)學(xué)生建立“20÷5+1”這個(gè)數(shù)學(xué)模型后，巧設(shè)了兩個(gè)變式情境，并做拓展。

（1）一端不種。教師問：“某某小朋友，你扛著5棵樹準(zhǔn)備去種，如果其中一端被一棟房子擋住了，你怎么辦？”在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出方案：帶回一棵樹，即“20÷5+1-1”，也就是一端不種減1。

（2）兩端不種。教師又問：“某某小朋友，你也扛著5棵樹去種，兩端都被房子擋住了，你怎么辦？”此為呈現(xiàn)出另一種特殊情況，即兩端不種，帶回兩棵。學(xué)生得出方案：“20÷5+1-2”，即兩端不種減2。

這兩個(gè)模型則是在“20÷5+1”這一經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上演變出來的。帶回1棵就減1，帶回2棵就減2。清楚直觀，不易混淆。

（3）模式拓展。教師又追問：“除了種樹外，什么情況下可以一端不種，什么情況下可以兩端不種？”通過再一次的舉例，學(xué)生對“植樹問題”在生活中的應(yīng)用有了更為深入的理解。

學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)模型”的建構(gòu)與應(yīng)用，需要經(jīng)歷一個(gè)長期的、不斷積累經(jīng)驗(yàn)與不斷深化的過程。教師在教學(xué)實(shí)踐中結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)精心培育模型方法，使學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋應(yīng)用的過程。教師要重視數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來描述身邊的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學(xué)屏北分校）