浙江省溫州大學數信學院 徐彥輝 (郵編：325035)

基于“問題”的數學教學
——從一則教學案例引發(fā)的思考

浙江省溫州大學數信學院 徐彥輝 (郵編：325035)

“問題”是數學的心臟,問題在數學學習和研究中有其特殊的重要性.從某種意義上來講,數學科學的起源和發(fā)展大多是由問題引起的,數學發(fā)展的歷史就是數學問題的提出和解決的歷史.從問題出發(fā),以問題帶動數學學科的發(fā)展,這是數學學科發(fā)展的一條重要途徑.問題是數學發(fā)現的起點和路標;問題具有數學發(fā)展的探索和導向作用,可為數學理論的形成積累材料;問題還可以激發(fā)人們的創(chuàng)造和進取精神.正如希爾伯特所指出:“只要一門科學分支能提出大量的問題,它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著這門科學獨立發(fā)展的衰亡或中止.數學研究需要自己的問題,正是通過這些問題的解決,研究者鍛煉其鋼鐵意志,發(fā)現新方法和新觀點,達到更為廣闊和自由的境界.”[1]實踐中,數學家也總是對所要研究的問題具有強烈的好奇心,傾向于用已有的知識、想象、直覺和推理去解決疑難問題,數學家的本性就是在于發(fā)現新的數學,探索新的思想,或者應用已有數學問題去創(chuàng)造發(fā)現新的問題.學生應該學會像數學家一樣的思維方式,不斷地尋求解決問題的方法,并基于已解決的問題提出新的問題.數學教學應當從問題開始,以問題引導數學學習應是數學教學的一條基本原則.一個恰當的富有吸引力的問題,往往能激發(fā)學生的認知沖突和探索性思維,培養(yǎng)學生解決問題的能力和學會數學思考的方法,體會數學知識產生和形成的過程,進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.

數學教學要求以問題作為出發(fā)點激發(fā)學生的數學學習,盡力讓問題充滿課堂.沒有問題,就很難真正誘發(fā)和激起學生對數學的求知欲;沒有問題或感覺不到問題的存在,學生就不會深入思考,數學學習也不會有任何收獲.所以,應將數學問題作為數學教學的起點、動力和貫穿整個教學過程中的主線,教師應圍繞數學問題的創(chuàng)設而安排教學過程.也即是,以提出一個要解決的問題開始,學生需要經歷一系列的質疑、判斷、比較、選擇、分析、綜合、歸納、概括等認知活動,伴以個人或小組的數學活動找出不同的可能的解決方案；或由原問題提出新的問題,在解決問題的過程中探索新的概念和方法,進入新的未知的數學領域.如果教師能善于把課堂教學設計成一個又一個生動有趣卻又富于思考的問題,激發(fā)學生的認知沖突和探索欲望,那么學生就會真正地處于一種積極的思考狀態(tài).正如波利亞所指出:“如果教師給他的學生以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心,并且用一些吸引人的問題來幫助他們解題,他就會引起學生們對獨立思考的興趣并教給他們一些方法.”[2]研究也表明,基于“問題”學習的學生所取得的成就,無論在標準化測試中還是在解決現實情景的問題測試中,都優(yōu)于傳統(tǒng)的以內容傳遞為基礎的學習環(huán)境下所教授的學生.[3]哈爾莫斯也指出:“參加過我的問題課的學生,被后繼的教師所贊許.贊許他們靈活的態(tài)度,迅速抓住事物核心的能力,以及對問題敏銳探索的本領.”[4]筆者以自己課堂教學實踐中親身經歷的一個案例,來談談基于“問題”的數學教學及其啟示.

案例 如果四邊形兩組對邊延長后分別相交,且交點的連線平行于它的一條對角線,試證另一條對角線的延長線平分對邊交點連線的線段.

筆者首先給出這個問題,讓學生用數學語言重新表示一下.

學生1：如圖1,四邊形ABCD中,AB與DC的延長線交于點E,BC與AD的延長線交于點F,且EF∥BD,AC的延長線交EF于點H,AC交BD于點G.

圖1

求證:EH=FH.

老師:很好,那我們如何解決這個問題呢?過了一會兒,有一個學生提出了自己的解答.

學生2：

∵BD∥EF，

∴BG=DG,EH=FH.

(同學報以熱烈的掌聲)

老師:很好,很巧妙的解答!請問同學們還有沒有其它不同的解答方法?

圖2

學生3 如圖2,過點C作CI∥EF,CI交AE于點I,交AF于點J.

∵BD∥EF，

∴S△BDE=S△BDF，

∴S△BCE=S△DCF，即

S△BCI+S△ECI=

S△DCJ+S△FCJ.

又IJ∥BD∥EF，

∴IC=CJ，EH=FH.

(同學又報以熱烈的掌聲)

老師:很好,又是一個很巧妙的解答!請問同學們還能不能再找到不同的解答方法?

(過了很長時間,學生都沒有反應,這時,老師只好自己提示)

老師:要證EH=FH,從全等三角形入手恐怕不適宜,因為圖中找不到兩個全等的三角形,由BD∥EF，即只要證BG=DG.如何來證BG=DG呢?找全等三角形似乎仍然行不通,也不能用等腰三角形的“三線合一”性質,怎么辦呢?

圖3

學生4 我們可以運用“平行四邊形對角線互相平分”這個性質,來構造一個平行四邊形,使得BD為該平行四邊形的一條對角線,G為兩對角線的交點.因此如圖3,可以過點B作BP∥ED,交AC于點P,連接DP.

∵BP∥ED,

又BD∥EF，

∴四邊形BCDP為平行四邊形,則BD與CP互相平分,即BG=DG. 故EH=FH.

老師:很好,真是不錯!請問同學們還能找出其它不同的解法嗎?

(學生幾乎沒有回應,于是,老師又進一步提示)

老師:同學們看著這個圖形,再分析已知條件和要求證的結論,你會聯想到什么著名的定理?

(學生由于沒有學過西瓦定理,一時想不起來,老師只好自己先講解西瓦定理及其逆定理.然后,提問學生為了能運用西瓦定理,能變更原來問題的表述形式嗎？)

學生5：如圖1,在△AEF中,ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,AC的延長線交EF于點H,若BD∥EF，則EH=FH.

又∵BD∥EF，

(學生歡呼,真簡潔!)

老師:好的,剛才我們已經用了四種不同的方法解決了這個問題,同學們看看能不能就此問題提出新的問題?

(學生一時不明白老師的意思,課堂中一時有些沉悶)

老師繼續(xù)提示:看看這個問題的已知條件和要求證的結論,結合圖形,改變條件和要求證結論的位置關系,看看能否提出新的問題?

學生6：如圖1,在△AEF中,ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,AC的延長線交EF于點H,若EH=FH,則BD∥EF.

數據分析軟件使用SPSS18.0，采用均數±標準差表示計量資料，行t檢驗，X2檢驗計數資料率，P<0.05時具有統(tǒng)計學意義。

如果一個學生從來就沒有機會去解決一個他自己所發(fā)明創(chuàng)造的問題,那么他的經驗是不完整的.教師要善于引導學生如何從一個剛剛解決的問題引出新問題,這樣做可以引起學生的好奇心,讓學生進一步體會數學發(fā)明創(chuàng)造的過程.

老師:很好,能證明該命題成立嗎?

老師:好的,同學們還能不能提出新的問題?

學生7：如圖1,在△AEF中,BD∥EF，ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,點H為EF的中點,求證:A、C、H三點共線.

老師:很好,能證明該命題成立嗎?

講到這里,整個課堂氣氛非?；钴S,學生的情緒處于亢奮和激動之中,大多數學生的臉上露出了興奮的表情,筆者也深受鼓舞,心里暗自驚嘆學生的探索和創(chuàng)造精神!

以上是筆者親身經歷過的一個課堂教學片段,筆者深深感受到基于“問題”的數學教學的強大功能和獨特魅力,也力求在課堂中多展現這樣的教學片段.這種基于“問題”的數學教學,不僅能使學生對所學知識不斷深化,而且能讓學生深刻認識到一個問題的各個方面,進而達到深層地認識問題的本質,領悟到數學方法的實質,把學生引入一個完整的領域.正如波利亞所指出:“與其窮于應付繁瑣的教學內容和過量的題目,還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發(fā)掘題目的各個側面,使學生通過這道題目,就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地.”當然,實施這種基于“問題”的數學教學,對教師的素質要求較高,尤其是對教師的數學學科功底提出了較高要求.教師必須深刻理解數學問題的本質(如本案例中四種不同的證法,尤其是第四種證法),教師要能通過設計恰當的“問題”,引導學生學會數學探索.教師要能通過恰當地提問、暗示或補充相關知識(如本案例中補充講解的西瓦定理及其逆定理),通過搭建恰當的“腳手架”,啟發(fā)學生獲得探究問題的思路與方法(如本案例中的第四種證法和提出的兩個新問題).

教師要能按照學生的實際情況,把握好啟發(fā)的循序漸進性和適時啟發(fā)性原則.教師對學生探究過程中的錯誤、存在的困難或產生的偏差不應直接糾正,而是要用另外的補充問題來幫助暴露矛盾(如本案例中的第四種證法),使學生清楚地感到自己的錯誤、存在的困難或產生的偏差,然后再引導學生獲得正確的探究方向或得出正確的結論.教師要善于啟發(fā)學生去發(fā)現問題和提出問題(如本案例中提出的兩個新問題),讓學生在尋求和探索解決問題的思維活動中,學會數學探究的思維方法和能力.教師要避免將問題單一化、孤立化,應盡可能將所要教授的內容設計為層層相扣的系列問題,引導學生深入思考問題.教師要注意問題設計的多層次和多角度,讓學生從多個角度發(fā)現問題的答案,思考出問題的多種答案(如本案例中的四種不同證法和提出的兩個新問題).如果教師自己沒有數學研究(那怕是初等數學研究)的經驗,是很難設計和組織這種基于“問題”的數學教學,也很難將問題深入下去并進而提出新的問題(如本案例中提出的兩個新問題).

1 [德]希爾伯特著.李文林,袁向東編譯.數學問題[M].大連:大連理工大學出版社,2009：38

2 [美]G.波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題(第二版)[M].臺北:九章出版社,2000.viii

3 Boaler, J. Open and closed mathematics: student experiences and understandings[J]. Journal for Research on Mathematics Education, 1998, 29(1): 41-62

4 Halmos,P.R. The heart of mathematics[J].American Mathematical Monthly, 1980,87(7 ): 522

教育部人文社科2012年青年基金項目《數學理解的認知科學基礎及其應用研究(立項編號:12YJC880131)》.

2015-04-08)