吳會(huì)英 周美江 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 201203)

共面伴飛相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓相位最省燃料控制問(wèn)題

吳會(huì)英 周美江 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 201203)

針對(duì)伴隨微納衛(wèi)星資源受限，軌控需實(shí)現(xiàn)最省燃料控制的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，基于Hill方程和二元函數(shù)極值理論，研究了共面編隊(duì)伴飛衛(wèi)星的最省燃料相位控制策略。分析結(jié)果表明：當(dāng)需要改變的相位為銳角、ΔV<0.5nb橫向控制對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓相位改變效率最高，ΔV=0.5nb|cosΘ|控后相位為相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓左右點(diǎn)，同時(shí)將相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸控?。灰园殡S衛(wèi)星繞參考衛(wèi)星共面伴飛相位控制為例，應(yīng)用這一理論求解了控制策略。

Hill方程；相位改變量；控制量；控制時(shí)機(jī)；控制方向；共面編隊(duì)飛行；伴隨衛(wèi)星

1 引言

編隊(duì)飛行技術(shù)自20世紀(jì)90年代后期發(fā)展以來(lái)已有一些應(yīng)用實(shí)例，例如1997年發(fā)射的美國(guó)納米小衛(wèi)星AERCam，2000年發(fā)射的英國(guó)SNAP-1衛(wèi)星，2003年發(fā)射的美國(guó)NASA的X系列飛行器XSS-10衛(wèi)星，2008年發(fā)射的中國(guó)SZ-7號(hào)伴隨衛(wèi)星等。這些衛(wèi)星的共同特點(diǎn)是質(zhì)量、尺寸、功耗都較小，承載著為大衛(wèi)星保駕護(hù)航的任務(wù)，需要在有限推進(jìn)資源的前提下實(shí)現(xiàn)最高的效率控制。

衛(wèi)星編隊(duì)需要根據(jù)任務(wù)需求配置構(gòu)型[1]，在軌長(zhǎng)期運(yùn)行還需要進(jìn)行構(gòu)型保持。由于工程約束和推進(jìn)劑限制，需要對(duì)構(gòu)型控制中的最省燃料控制問(wèn)題開(kāi)展研究[2]。已有諸多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究并取得了一些成果，比如美國(guó)空軍實(shí)驗(yàn)室的His-HanYeh和AndrewSparks基于Hill方程[3]解析解，針對(duì)兩星自然橢圓編隊(duì)和圓形星下點(diǎn)編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)軌道面內(nèi)、外的基本構(gòu)型進(jìn)行了研究[4]；米蘭理工大學(xué)的研究人員分析了編隊(duì)飛行構(gòu)型重構(gòu)中最優(yōu)小推力機(jī)動(dòng)策略，利用多重打靶法(Multiple-shootingMethod)將不同約束條件轉(zhuǎn)化為非線性約束，并利用非線性優(yōu)化理論中的內(nèi)點(diǎn)法求解了該最優(yōu)化問(wèn)題[5]，但該方法對(duì)計(jì)算性能要求很高，很難在實(shí)際工程中進(jìn)行應(yīng)用。

文獻(xiàn)[6]以軌道根數(shù)描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)，給出了近圓編隊(duì)的重構(gòu)算法；文獻(xiàn)[7]用軌道根數(shù)設(shè)計(jì)了Lyapunov連續(xù)控制方法，獲得了編隊(duì)隊(duì)形保持的非線性燃料次優(yōu)控制；文獻(xiàn)[8]對(duì)近圓參考軌道衛(wèi)星編隊(duì)采用了3次脈沖控制方法，一次為法向，另兩次僅為徑向或切向。但上述文獻(xiàn)是通過(guò)軌道根數(shù)實(shí)現(xiàn)的控制算法，且未給出定量關(guān)系，與本文提出的以相對(duì)信息作為輸入量控制完全不同。

針對(duì)微小衛(wèi)星共面編隊(duì)的最省燃料控制問(wèn)題，筆者已發(fā)過(guò)表3篇文章：文獻(xiàn)[9]針對(duì)橫向控制對(duì)橢圓短半軸大小的改變進(jìn)行了討論，文獻(xiàn)[10]較文獻(xiàn)[9]進(jìn)行了更加全面精確的推導(dǎo)，文獻(xiàn)[11]在橫向控制的前提下對(duì)多星編隊(duì)的最省燃料相位控制問(wèn)題進(jìn)行了求解。多星編隊(duì)中星群協(xié)作完成任務(wù)需要對(duì)星群相位進(jìn)行控制和保持，本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，結(jié)合二元函數(shù)極值理論，對(duì)控制量

一定時(shí)最高效率相位控制的控制時(shí)機(jī)和控制方向進(jìn)行更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，并通過(guò)仿真實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。另外，文獻(xiàn)[12]給出了軌控點(diǎn)(即本文提到的控制時(shí)機(jī))對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸的影響，與筆者的思想有相似之處。

2 最省燃料相位控制理論

2.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程解——Hill方程解

兩航天器在軌道面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解為相對(duì)軌道坐標(biāo)系(x軸由地心指向參考衛(wèi)星質(zhì)心，為徑向；y軸在軌道面內(nèi)垂直于x軸，沿飛行方向，為橫向；z軸為軌道面法向)中長(zhǎng)半軸為短半軸兩倍的橫向漂移橢圓：

(1)

(2)

(3)

相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)解為

(4)

式中Θ=nt+θ為伴隨衛(wèi)星在相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓上的相位[11]；θ為初始相位。由式(4)定義相位Θ：

(5)

2.2 相位改變量與控制的關(guān)系

軌道面內(nèi)的控制量ΔV可分解為橫向控制量ΔVy=ΔVcosφ和徑向控制量ΔVx=ΔVsinφ(其中ΔV為控制量的大小，φ為控制方向角，從相對(duì)軌道坐標(biāo)系的正y軸起算，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正)，由式(3)和式(5)可知，橫向控制和徑向控制均會(huì)改變相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸和橢圓上的相位。

設(shè)橫向控制量ΔVy與徑向控制量ΔVx使橢圓短半軸改變?chǔ)，由式(3)得到

(6)

式(6)兩式相減并考慮式(4)，得到Δb與控制量ΔV、控制方向角φ和控制時(shí)機(jī)Θ的關(guān)系：

(7)

設(shè)橫向控制量ΔVy與徑向控制量ΔVx使相位改變?chǔ)う?，由?2)和式(5)得到

(8)

考慮式(4)，得到ΔΘ與控制量ΔV、控制方向角φ和控制時(shí)機(jī)Θ的關(guān)系：

(9)

2.3 最省燃料相位控制的求解

(10)

K對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ求一階偏導(dǎo)數(shù)，有

(11)

K對(duì)控制方向角φ求二階偏導(dǎo)數(shù)，有

(12)

K對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ求二階偏導(dǎo)數(shù)，有

(13)

K對(duì)控制時(shí)機(jī)Θ和控制方向角φ求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，由于二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，有

(14)

(15)

對(duì)式(15)的解進(jìn)行討論如下。

(1)cosφ=0且sinΘ-λsinφ=0

(16)

此時(shí)

(17)

非極值，相位改變量為

(18)

(19)

得到與式(17)相同結(jié)果，非極值，相位改變量為

(20)

圖1 y軸上、下半平面示意

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一y半平面，Θ為鈍角，則ΔΘ=π-Θ應(yīng)為銳角。即當(dāng)λ<1，ΔV

(21)

得到與(1)條件下第1)條相同的結(jié)果式(16)、式(17)，非極值，相位改變量為

(22)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一y半平面，Θ為負(fù)鈍角，則ΔΘ=π-Θ應(yīng)為負(fù)銳角。即當(dāng)λ<1，ΔV

(23)

得到與第(2)條相同的結(jié)果式(17)，非極值，相位改變量為

(24)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一y半平面，Θ為負(fù)銳角，則ΔΘ=-Θ應(yīng)為銳角。即當(dāng)λ<1，ΔV

(25)

(2)sinφ=0且cosΘ-2λcosφ=0

(26)

此時(shí)

(27)

且

(28)

取極大值，相位改變量為

(29)

圖2 x軸左、右半平面示意

只可能改變大小，但符號(hào)不變。所以改變后的相位Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一x半平面(x半平面定義參見(jiàn)圖2)，Θ為銳角，則ΔΘ=π/2-Θ應(yīng)為銳角。即當(dāng)λ<1/2、ΔV<0.5nb時(shí)，在第一象限相位為Θ處施加橫向控制量ΔV=0.5nbcosΘ，會(huì)極大效率地增大相位至π/2(即左點(diǎn))，此時(shí)相位改變量為

(30)

得到與式(27)相同的結(jié)論，且

(31)

取極小值，相位改變量為

(32)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一x半平面，Θ為負(fù)銳角，則ΔΘ=-π/2-Θ應(yīng)為負(fù)銳角。即當(dāng)λ<1/2，ΔV<0.5nb時(shí)，在第四象限相位為Θ處施加橫向控制量ΔV=0.5nbcosΘ，會(huì)極大效率地減小相位至-π/2(即右點(diǎn))，此時(shí)相位改變量為

(33)

得到與2)條件下第(2)條相同的結(jié)果式(31)、式(32)?？紤]相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一x半平面，Θ為鈍角，則ΔΘ=π/2-Θ應(yīng)為負(fù)銳角。即當(dāng)λ<1/2，ΔV<0.5nb時(shí)，在第二象限相位為Θ處施加反橫向控制量ΔV=-0.5nbcosΘ，會(huì)極大效率地減小相位至π/2(即左點(diǎn))，此時(shí)相位改變量為

(34)

得到與(2)條件第1)條相同的結(jié)果式(26)～式(29)?？紤]相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應(yīng)與Θ在同一x半平面，Θ為負(fù)鈍角，則ΔΘ=-π/2-Θ應(yīng)為銳角。即當(dāng)λ<1/2，ΔV<0.5nb時(shí)，在第三象限相位為Θ處施加反橫向控制量ΔV=-0.5nbcosΘ，會(huì)極大效率地增大相位至-π/2(即右點(diǎn))，此時(shí)相位改變量為

(35)

(3)cosΘ-2λcosφ=0且sinΘ-λsinφ=0

易得

(36)

(37)

(38)

得到0.5≤λ≤1，即0.5nb≤ΔV≤nb，控制總是將橢圓短半軸減小到0。此時(shí)相位改變量為

(39)

tanΔΘ為一0∶0型的未定式。由于橢圓減小為零，相位改變量可以為任意值，為控制奇點(diǎn)。

(4)小結(jié)

根據(jù)前文(1)～(3)的推導(dǎo)，得到相位改變量ΔΘ和控制量ΔV、控制時(shí)機(jī)Θ、控制方向角φ之間的關(guān)系如表1所示。

表1 控制量、控制時(shí)機(jī)、控制方向角與相位改變量、短半軸改變量的關(guān)系

另外，在上下點(diǎn)橫向或反橫向控制(ΔV<0.5nb)、左右點(diǎn)徑向或反徑向控制(ΔV

(5)仿真驗(yàn)證

設(shè)置一組仿真算例：伴隨衛(wèi)星相對(duì)參考衛(wèi)星共面繞飛，利用STK軟件的二體模型導(dǎo)出二者相對(duì)軌道數(shù)據(jù)，對(duì)伴隨衛(wèi)星在不同控制時(shí)機(jī)施加大小一定、方向不同的控制量，用Matlab編程求解相位改變量。設(shè)置控制量ΔV=0.5nb·cos70°<0.5nb，得到相位改變量ΔΘ與控制時(shí)機(jī)Θ和控制方向φ的關(guān)系如圖3～圖6所示。

由圖3～圖5可以讀出幾個(gè)相位改變量的極值點(diǎn)為

(40)

與理論推導(dǎo)相符。

圖3 相位改變量ΔΘ與控制方向角φ和控制時(shí)機(jī)Θ的關(guān)系

圖4 相位改變量ΔΘ在控制方向角φ和控制時(shí)機(jī)Θ平面內(nèi)的投影

圖5 ΔΘ與φ和Θ的關(guān)系—ΔΘ和φ面內(nèi)投影

圖6 ΔΘ與φ和Θ的關(guān)系—ΔΘ和Θ面內(nèi)投影

3 仿真算例

根據(jù)2.1節(jié)推導(dǎo)的最省燃料相位控制理論，利用STK軟件的HPOP軌道外推模型(考慮所有攝動(dòng))，導(dǎo)出控前、控后的相對(duì)軌道數(shù)據(jù)，求解相位差與相關(guān)物理參數(shù)進(jìn)一步對(duì)本文理論進(jìn)行驗(yàn)證。

參考衛(wèi)星O為700km圓軌道，交點(diǎn)周期T=5 922s；初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為伴隨衛(wèi)星A、B、C、D繞參考衛(wèi)星的共面伴飛閉合橢圓，A、B相位差ΘB-ΘA=170°，B、C、D相位均分(參見(jiàn)圖7，初始伴飛橢圓短半軸b0=5.672 6 km。軌道控制目標(biāo)有4個(gè)：

1)A相位增加80°，使ΘB-ΘA由170°變?yōu)?0°。

2)A相對(duì)O的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中心漂移速度不超過(guò)±0.003m/s。

3)A相對(duì)O的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中心橫向偏心不超過(guò)±0.1km。

4)A相對(duì)O的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸與初始狀態(tài)相同。

3.1 軌道控制策略

需要改變的相位較大或非銳角時(shí)，可以分成多個(gè)較小銳角進(jìn)行N次控制，兼顧其余相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的控制。設(shè)計(jì)3次控制到位，首次控制在第一象限內(nèi)橫向控制，第2次在第三象限反橫向控制，第3次仍在第一象限內(nèi)橫向控制，且第2次控制的量值等于第1、第3次的控制量的總和。具體軌控策略推導(dǎo)如下。

在第一象限實(shí)施第1次橫向控制，控后相位為π/2，有

(41)

控后橢圓短半軸為

(42)

在第三象限實(shí)施第2次反橫向控制，控后相位為-π/2，有

(43)

控后橢圓短半軸為

(44)

在第一象限實(shí)施第3次橫向控制，控后相位為π/2，有

(45)

控后橢圓短半軸為

(46)

為保證最終A相對(duì)O的相對(duì)橢圓中心漂移速度在±0.003m/s范圍內(nèi)(即A星控后的絕對(duì)軌道半長(zhǎng)軸不變)，應(yīng)有

(47)

得到

(48)

考慮控制目標(biāo)

(49)

聯(lián)立式(48)、式(49)兩個(gè)方程，3個(gè)未知數(shù)，無(wú)惟一解。根據(jù)本文的推導(dǎo)，最省燃料相位控制總是減小相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓短半軸，由于第2次控制的控制量為第1、3次控制的控制量和，為避免第2次最省燃料相位控制將橢圓短半軸減小為0，首次控制的控制量應(yīng)較小，同時(shí)可以保證A不會(huì)很快遠(yuǎn)離O和B，這對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星實(shí)際構(gòu)型控制時(shí)兼顧星間通信和星間測(cè)量有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

3.2 軌道控制結(jié)果

對(duì)式(48)、式(49)以0.1°步長(zhǎng)進(jìn)行尋解，并考慮A相對(duì)O的相對(duì)運(yùn)動(dòng)橢圓中心橫向偏心在±0.1km范圍內(nèi)，得到如表2所示的4組結(jié)果。

表2 3次控制的四組解(第1次與第3次為橫向，第2次為反橫向控制)

考慮首次控制的控制量不應(yīng)太大，且兩次控制的時(shí)間間隔盡量較短，選擇第2組解為本例的控制策略。其中相位的改變量與控后橢圓短半軸的差異總結(jié)如表3所示。

表3 仿真結(jié)果與理論推導(dǎo)的差異(第2組解)

仿真結(jié)果與理論值的差異為計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差以及伴隨衛(wèi)星與參考衛(wèi)星所受的攝動(dòng)力差異,全過(guò)程的控制示意如圖7所示。

圖7 全過(guò)程控制曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，若需要控制的相位角較大或非銳角，需將要改變的相位角分解，進(jìn)行多次控制，同時(shí)兼顧其他相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的控制。對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型控制來(lái)講，相位控制必然會(huì)引起其他相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的改變，有必要進(jìn)行編隊(duì)衛(wèi)星構(gòu)型控制的耦合性分析，限于篇幅，本文僅以仿真實(shí)例進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，詳細(xì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)耦合控制將作為筆者下一步重點(diǎn)研究的問(wèn)題。

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(編輯：楊嬋，范真真)

Research on Minimum Fuel Control of Relative Ellipse Phase in In-Plane Companion-Flying

WU Huiying ZHOU Meijiang QI Jinling

(Shanghai Engineering Center For Microsatellites, Shanghai 201203)

Hill equation；Change of phase；Control quantity；Control time；Control direction;In-plane companion-flying；Companion satellite

2015-04-01。收修改稿日期：2015-07-04

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.06.004

吳會(huì)英 1979年生，2004年獲中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)天體力學(xué)與天體測(cè)量專(zhuān)業(yè)碩士學(xué)位，副研究員。研究方向?yàn)樾l(wèi)星總體設(shè)計(jì)、軌道設(shè)計(jì)與軌道控制。