邵 鵬，吳志健，周炫余

(1.武漢大學(xué) 軟件工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430072;2.武漢大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，武漢430072)

0 引 言

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中的重要組成部分。根據(jù)脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度，數(shù)字濾波器可以分為無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR)型和有限沖激響應(yīng)(FIR)型。IIR 型數(shù)字濾波器可利用模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)單，但由于其在相頻特性控制上是非線性相位，應(yīng)用范圍狹窄。FIR 型濾波器的相位是嚴(yán)格線性的，并且FIR 結(jié)構(gòu)是非遞歸的，因此不存在穩(wěn)定性問(wèn)題。由于FIR 具有的這些特點(diǎn)，其應(yīng)用越來(lái)越多。因此，設(shè)計(jì)高性能的FIR 數(shù)字濾波器顯得尤為重要。

傳統(tǒng)FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法［1］和頻率抽樣法［2-3］。這些方法都是近似的逼近理想濾波器的頻率特征。頻率抽樣法和窗函數(shù)法簡(jiǎn)單易行，但不易精確地確定其通帶和阻帶的邊界頻率，并且都只能收斂于局部最優(yōu)。近年來(lái)，學(xué)者們提出了使用演化算法，如模擬退火法(Simulated annealing algorithm，SAA)［4-5］、遺傳算法(Genetic algorithm，GA)［6-7］、粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization，PSO)［8-11］等進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)并取得了很好的效果。但SA 算法采用了隨機(jī)策略，運(yùn)算量大［4］;GA 是一種全局優(yōu)化算法，但采用了選擇、交叉和變異等操作，運(yùn)算量大、收斂速度慢［6］;PSO 算法也是一種全局優(yōu)化算法，具有參數(shù)少、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)［11］，這對(duì)設(shè)計(jì)性能高的數(shù)字濾波器有很大的幫助。因此，本文將一種改進(jìn)的粒子群算法應(yīng)用于FIR 型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，并通過(guò)仿真試驗(yàn)證明采用該算法所設(shè)計(jì)的濾波器有較好的濾波效果。

1 粒子群優(yōu)化算法

1.1 算法概述

PSO 算法［11］最早是在1995 年由美國(guó)社會(huì)心理學(xué)家Kennedy 和電氣工程師Eberhart 共同提出的，它是一種自適應(yīng)群智能搜索算法，該算法思想源于對(duì)魚(yú)群、鳥(niǎo)群等動(dòng)物簡(jiǎn)單的捕食行為的模擬。PSO 算法的數(shù)學(xué)模型由速度更新方程和位置更新方程兩部分組成。

速度更新方程如下:

位置更新方程如下:

式中:vi(t+1)為粒子i 在第t+1 代的速度;xi(t+1)為粒子i 在第t+1 代的位置;c1和c2分別為認(rèn)知系數(shù)和社會(huì)系數(shù)(加速因子);w 為慣性權(quán)重;r1和r2為［0，1］之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù);pbesti為第i 個(gè)個(gè)體歷史最優(yōu)位置;gbest 為群體歷史最優(yōu)化位置。

在PSO 算法中，每個(gè)粒子具有位置xi(t+1)和速度vi(t+1)兩個(gè)參量，每個(gè)粒子代表搜索空間中一個(gè)候選解，粒子通過(guò)自身的經(jīng)驗(yàn)值和其他粒子的經(jīng)驗(yàn)值來(lái)調(diào)整自身的搜索策略。PSO 算法具有簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、在初期收斂速度快但在后期很容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢且精度低等缺點(diǎn)［13］。

1.2 改進(jìn)粒子群算法

1.2.1 反向?qū)W習(xí)策略

定義1［12］若x 是定義在實(shí)數(shù)集R 上區(qū)間［a，b］內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)，即x ∈［a，b］，則x 的反向解x1定義如下:

若a=0 且b=1，則有:

定義2［12］若P(x1，x2，…，xn)是n 維空間上的一個(gè)點(diǎn)，x1，x2，…，xn為實(shí)數(shù)，且xi∈［ai，bi］，則其反向解x 為:

根據(jù)以上兩個(gè)定義，反向?qū)W習(xí)算法思想描述如下:假設(shè)f(x)是原始函數(shù)，g(·)是評(píng)價(jià)函數(shù)。如果x 是區(qū)間［a，b］內(nèi)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，x1是x 的反向解，那么在每次迭代中計(jì)算f(x)和f(x1)，若g(f(x))≥g(f(x1))，仍然以x 進(jìn)行迭代;否則以x1進(jìn)行迭代。

反向?qū)W習(xí)策略是2005 年提出的智能學(xué)習(xí)策略，學(xué)者們已經(jīng)證明該策略是一種有效的提高各種優(yōu)化問(wèn)題效率的方法［12］。

1.2.2 反向?qū)W習(xí)的粒子群算法(OPPSO)

為了克服粒子群優(yōu)化算法存在的不足，引入反向?qū)W習(xí)策略來(lái)提高粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)化性能。對(duì)于粒子群中的每一個(gè)候選解來(lái)說(shuō)，通過(guò)反向?qū)W習(xí)策略計(jì)算每一個(gè)候選解的反向解，增加了候選解的個(gè)數(shù)，提高了種群的多樣性，從而增加了找到全局最優(yōu)解的概率。OPLPSO 算法描述如下:

(1) 隨機(jī)初始化種群，初始化加速因子c1、c2，慣性權(quán)重ω 等參數(shù);

(2) for i=1 to ps do

(3) 根據(jù)式(1)更新粒子的速度;

(4) if 速度不在規(guī)定的范圍內(nèi)

(5) 隨機(jī)產(chǎn)生速度;

(6) 根據(jù)式(2)更新粒子的位置x;

(7) 計(jì)算粒子x 的適應(yīng)值F;

(8) a=min(粒子位置);

(9) b=max(粒子位置);

(10)反向解x1=a+b－x;

(11)通過(guò)反向解x1計(jì)算適應(yīng)值F1;

(12) if F1＜F

(13) x=x1;

(14) F=F1;

(15) 接下來(lái)同粒子群算法過(guò)程;

(16) end

2 FIR 數(shù)字濾波器

2.1 FIR 數(shù)字濾波器定義

FIR 濾波器［1］最重要的優(yōu)點(diǎn)是其具有線性相位頻率響應(yīng)。FIR 濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的(0 ≤n ≤N－1)，其z 變換(系統(tǒng)函數(shù))為:

式中:N 為濾波器的階數(shù);h(n)為濾波器的脈沖響應(yīng)，h(n)取值的不同決定FIR 濾波器的類型(低通、高通、帶阻等)。

令z=ejω，則式(1)的頻率響應(yīng)可以轉(zhuǎn)換為:

理想濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)被分成相等的頻率間隔，故可以得到:

式中:Hd(k)為將要設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。當(dāng)h(n)為實(shí)序列時(shí)，可將H(ejω)表示成:

可證明FIR 濾波器有兩類準(zhǔn)確的線性相位［1］，其分別滿足以下條件:

由式(7)可以看出:單位沖激響應(yīng)的h(n)序列以n=(N－1)/2 為中心對(duì)稱。因此，設(shè)計(jì)線性相位FIR 濾波器的計(jì)算量是設(shè)計(jì)非線性濾波器的一半。

FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(ejω)如式(3)所示，其中h(n)是FIR 濾波的n 個(gè)系數(shù)。這n 個(gè)系數(shù)取值的組合決定所設(shè)計(jì)FIR 濾波性能的好壞。

在OPPSO 優(yōu)化FIR 濾波器的過(guò)程中，將n 個(gè)系數(shù)看作n 個(gè)粒子的位置。由于FIR 濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，這種特性具有對(duì)稱性，故在算法優(yōu)化過(guò)程中只需要計(jì)算(n+1)/2 個(gè)粒子位置，也就是說(shuō)只要找到n+1 個(gè)系數(shù)。

2.2 零相位低通FIR 濾波器

2.2.1 零相位數(shù)字濾波器

任何一個(gè)數(shù)字濾波器都具有幅頻特性和相頻特性，如果對(duì)于濾波不要求實(shí)時(shí)性，可以設(shè)計(jì)一種相頻特性始終為0 的濾波器，即一個(gè)信號(hào)序列經(jīng)過(guò)該濾波器濾波后，信號(hào)序列的相位不發(fā)生變化。這種數(shù)字濾波器就稱為零相位數(shù)字濾波器［15］。零相位數(shù)字濾波器是為了使用一般的濾波器進(jìn)行濾波時(shí)，由于濾波器的相位響應(yīng)而導(dǎo)致待處理信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器后產(chǎn)生的相位偏移進(jìn)而產(chǎn)生相位失真而設(shè)計(jì)的［14-15］。

文獻(xiàn)［15］中通過(guò)推導(dǎo)證明，零相位數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)思想簡(jiǎn)單，但只能通過(guò)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，靠硬件實(shí)現(xiàn)是相當(dāng)困難、甚至是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。因此，零相位數(shù)字濾波器是一種更接近于理想的線性相位濾波器，即它也與現(xiàn)實(shí)中所設(shè)計(jì)的濾波器接近，更具參考性。正是由于它具有這種特性，文中將其作為理想濾波器與其他方法設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行比較，使這些濾波器逼近于理想的零相位數(shù)字濾波器。

2.2.2 低通FIR 數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器按頻率特性可以分為低通、高通等類型［1］。低通濾波器(Low-pass filter)讓低于所設(shè)計(jì)頻率的信號(hào)分量通過(guò)，而對(duì)高于該頻率的信號(hào)分量進(jìn)行抑制，不讓其通過(guò)。低通FIR 濾波器的性能要求通常以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來(lái)表征。頻率響應(yīng)有通帶、阻帶以及過(guò)渡帶3 個(gè)范圍。在通帶內(nèi)，頻率響應(yīng)逼近于1;阻帶內(nèi)逼近于0。為了逼近于理想的濾波器，在過(guò)渡帶內(nèi)的頻率響應(yīng)應(yīng)該平滑地從通帶下降到阻帶，具體技術(shù)指標(biāo)往往使用通帶最大衰減(波紋)及阻帶最小衰減。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)見(jiàn)圖1。

2.3 OPPSO 算法適應(yīng)值函數(shù)

圖1 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)Fig.1 Ideal low-pass filter frequency response

目前設(shè)計(jì)FIR 濾波器有兩種最優(yōu)化準(zhǔn)則:均方誤差最小準(zhǔn)則和最大誤差最小化準(zhǔn)則。已有研究［1］表明，第2 種準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出的濾波器在階數(shù)相同時(shí)性能更優(yōu)越。FIR 濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)就是能得到嚴(yán)格線性相位，因此文中所述的FIR 濾波器是指這類具有嚴(yán)格相位的濾波器。

設(shè)理想濾波器和所要設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)分別為Hd(ejω)和H(ejω)，加權(quán)函數(shù)為G(ω)，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為:

式中:G(ω)=δp/δs。

最小化誤差函數(shù):

式中:δp、δs分別為通帶和阻帶波紋;ωp、ωs分別為通帶和阻帶的截止頻率。

為了獲得一組最優(yōu)的濾波器系數(shù)，文中將式(9)作為OPPSO 算法以及與該算法相比較的算法的適應(yīng)值函數(shù)，在文獻(xiàn)［16-18］中此函數(shù)都作為適應(yīng)值函數(shù)。用OPPSO 算法優(yōu)化低通FIR 數(shù)字濾波器步驟如下:

Step1 給定低通FIR 濾波器的性能指標(biāo);

Step2 初始化OPPSO 算法各粒子的參數(shù):種群大小、慣性權(quán)重等;

Step3 將濾波器系數(shù)作為粒子的初始位置并設(shè)粒子的初始速度;

Step4 根據(jù)式(10)計(jì)算粒子的適應(yīng)值;

Step5 根據(jù)式(1)(2)更新粒子的速度和位置;

Step6 計(jì)算粒子的反向解，如果粒子原位置計(jì)算出的適應(yīng)值比其反向解計(jì)算出的適應(yīng)值大，則將反向解作為新的位置更新粒子的位置，否則用原位置更新粒子的位置;

Step7 判斷是否更新粒子的個(gè)體極值pbest和粒子群的全局極值gbest;

Step8 重復(fù)(4)～(7)步直到滿足精度要求或到達(dá)迭代次數(shù)為止;

Step9 輸出gbest，得到最優(yōu)化的FIR 數(shù)字濾波器的系數(shù)h(n)。

3 試驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證所提算法設(shè)計(jì)FIR 濾波器的有效性，使用PSO 算法［8］、一種改進(jìn)的PSO 算法(IPSO)［19］以及OPPSO 算法設(shè)計(jì)低通FIR 濾波器，并比較這3 種算法所設(shè)計(jì)的低通FIR 濾波器的性能。低通FIR 濾波器的頻率響應(yīng)為:

使用Matlab 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)算法以及FIR 濾波器的設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)濾波器的階數(shù)為40，即濾波器的系數(shù)的個(gè)數(shù)為41。濾波器的其他參數(shù)設(shè)置如下:通帶波紋δp為0.1，阻帶波紋δs為0.01;對(duì)于低通濾波器，其低通帶截止頻率ωlp1為0.25，低阻帶截止頻率ωlp2為0.35;過(guò)渡帶寬度ωlp2－ωlp1為0.1。各種粒子群算法參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 粒子群算法參數(shù)設(shè)置Table 1 PSO parameter settings

3.2 試驗(yàn)結(jié)果及分析

3.2.1 低通FIR 濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果

圖2 為3 種算法所設(shè)計(jì)的低通FIR 濾波器的幅頻響應(yīng)，圖3 為3 種算法的收斂速度曲線圖。其中，H0為逼近于理想低通FIR 濾波器的零相位數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)曲線。

從圖2(a)中可看出:由OPPSO 算法設(shè)計(jì)的低通FIR 濾波器的幅頻響應(yīng)更接近于文中設(shè)計(jì)的理想低通FIR 濾波器(零相位數(shù)字濾波器)，即其更平滑地從通帶下降到阻帶;通帶波紋與零相位數(shù)字濾波器最接近，波紋波動(dòng)較其他兩種算法大。從圖2 中可以看出:與其他算法相比，由OPPSO算法設(shè)計(jì)的低通FIR 濾波器的阻帶衰減較小，更接近零相位數(shù)字濾波。綜上所述，用OPPSO 算法所設(shè)計(jì)的低通FIR 數(shù)字濾波器的性能要高于其他算法所設(shè)計(jì)的濾波器性能。

圖2 FIR 低通濾波器幅頻響應(yīng)Fig.2 FIR low-pass filter amplitude-frequency response

3.2.2 三種算法收斂性分析

三種算法的收斂性如圖3 所示。從圖3 可以看出:OPPSO 算法比其他PSO 算法有著更快的收斂速度，并且收斂適應(yīng)值最小，從而說(shuō)明OPPSO算法能更快地找到一組相對(duì)最優(yōu)的低通FIR 濾波器的系數(shù)。

圖3 三種PSO 算法收斂曲線圖Fig.3 Converges of graph three algorithms

PSO、IPSO 和OPPSO 三種算法分別得到的低通FIR 濾波器系數(shù)的最優(yōu)組合如表2 所示。

表2 三種算法最優(yōu)系數(shù)組合Table 2 Optimal combination coefficient of three algorithms

從以上試驗(yàn)結(jié)果可以看出，OPPSO 算法在設(shè)計(jì)具有線性相位的低通FIR 濾波器方面比其他PSO 算法有著更好的性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了驗(yàn)證OPPSO 算法所設(shè)計(jì)的具有線性相位FIR 低通濾波器的有效性，將其與PSO 算法以及IPSO 算法所設(shè)計(jì)的低通FIR 濾波器進(jìn)行比較。同時(shí)，文中引入一種接近于理想數(shù)字濾波器、但很難使用硬件實(shí)現(xiàn)的零相位數(shù)字濾波作為對(duì)比。試驗(yàn)結(jié)果表明:OPPSO 算法在優(yōu)化具有線性相位的低通FIR 濾波器時(shí)收斂速度快、收斂精度高，并能更快地獲得一組最優(yōu)的濾波器系數(shù)組合。因此，利用該算法可以設(shè)計(jì)出性能很好的低通FIR 數(shù)字濾波器。

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