徐承亮+陳三龍

【摘 要】為了分析二維周期介質(zhì)橫向波的傳播特性，根據(jù)已提出的二維周期介質(zhì)分析方法，在給定縱向波傳播的情況下，具體分析了波在橫向上的傳播特性，研究了阻帶與介質(zhì)調(diào)制系數(shù)的關(guān)系。分析了阻帶的形成規(guī)律及其分布特性。通過時(shí)域有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法對阻帶分布特性進(jìn)行了模擬和印證，結(jié)果符合預(yù)期，分析結(jié)果為微波、毫米波集成電路導(dǎo)波計(jì)、濾波器等微波器件設(shè)提供理論指導(dǎo)和數(shù)據(jù)支持。

【關(guān)鍵詞】二維周期介質(zhì) 介質(zhì)波導(dǎo)陣列 阻帶 通帶 時(shí)域有限差分

[Abstract]In order to analyze the propagation characteristics of transverse wave in two-dimensional periodic medium based on the established rigorous theory for two-dimensionally periodic （2DP） medium， a great amount of numerical results for Dielectric Waveguide Array （DWA） were presented in this paper. Transverse Wave propagation in DWA was analyzed in detail. Firstly， given the longitudinal wave vector （kz）， Brillouin dispersion relations between transverse wave vectors were analyzed. Interactions between space harmonics were studied. Secondly， supposing transverse wave vectors （kx and ky） were identical， dispersion relations between transverse wave vectors and wave frequency were studied in detail. Because of interactions between space harmonics increasingly getting stronger with modulation coefficients increasing， stop-bands could be distinctly displayed and transverse wave propagation in DWA could be comprehensively analyzed. These results that stop-bands distributed and varied with modulation index varying were in good agreements with those derived from finite difference time domain method. Finally， the applications about transversal propagation in DWA were also discussed. These results can be basic of design of microwave or millimeter wave integrated circuit and some devices.

[Key words]Two-dimensionally periodic medium dielectric waveguide array stop-band pass-band Finite difference time domain

1 引言

對電磁波在周期介質(zhì)或周期結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究自上個(gè)世紀(jì)初開始就一直是學(xué)者們的熱門課題[1]。周期介質(zhì)/周期結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于微波集成電路、濾波器及天線輻射等方面，為了更好地理解周期介質(zhì)/周期結(jié)構(gòu)的一些物理特性和應(yīng)用，周期介質(zhì)/周期結(jié)構(gòu)理論和數(shù)值計(jì)算有待發(fā)展和研究。

文獻(xiàn)[2]提出了一種分析二維周期介質(zhì)/周期結(jié)構(gòu)的解析理論，當(dāng)將這種理論應(yīng)用到一種二維周期介質(zhì)-介質(zhì)波導(dǎo)陣列（DWA）電磁特性分析時(shí)，數(shù)值計(jì)算比較簡單和有效，能使DWA橫向、縱向傳播特性有效被分析，一些物理效應(yīng)和應(yīng)用容易理解和實(shí)現(xiàn)。DWA是介質(zhì)分布在縱向上分布均勻，在橫向上具有二維周期特性。DWA是一種比較典型的二維周期介質(zhì)，在應(yīng)用方面表現(xiàn)出調(diào)制系數(shù)容易調(diào)節(jié)的特性，能廣泛應(yīng)用于天線輻射、濾波和微波集成電路及導(dǎo)波器件等方面的設(shè)計(jì)[3-5]。

然而，一些電磁特性如阻帶特性還有待進(jìn)一步研究。利用該嚴(yán)格理論來分析DWA并非有想象的那么多，特別是當(dāng)DWA應(yīng)用到導(dǎo)波、輻射與掃描時(shí)，DWA的電磁帶隙特性急需透徹理解。本文通過該嚴(yán)格理論，系統(tǒng)而深入分析DWA阻帶分布特性，還對一些導(dǎo)波特性及其應(yīng)用進(jìn)行了討論。首先研究了二維周期介質(zhì)分析理論，而后重點(diǎn)討論了橫向色散關(guān)系，最后詳細(xì)分析了阻帶的形成、變化規(guī)律及其應(yīng)用。

2 二維周期介質(zhì)嚴(yán)格理論

設(shè)εr（x， y）是二維周期介質(zhì)的介質(zhì)分布函數(shù)，則：

εr（x+a， y+b）=εr（x，y） （1）

其中a、b分別為二維平面上x、y方向上的空間周期長度。根據(jù)Maxwell方程，二維周期介質(zhì)中傳播的電磁波的電場矢量E滿足波動(dòng)方程：

××E=k02εr（x，y）E （2）

根據(jù)Floquet定理，方程（2）可寫成

（3）

其中方程（3）意義在文獻(xiàn)6及文獻(xiàn)7中有詳細(xì)說明，它是一個(gè)齊次矩陣方程，計(jì)算簡單而有效（請對公式（3）中的物理量進(jìn)行說明）。矩陣形式為：

ME=0 （4）

顯然M是特征矩陣，E代表電場特征向量。為了使特征方程（公式（4））具有非零解，特征矩陣對應(yīng)行列式必須為零，即：

Det[M]=0 （5）

稱公式（5）為色散關(guān)系方程，下面將用該色散方程來討論DWA阻帶形成及其分布特性。

3 DWA橫向色散特性

利用色散方程（公式（5））來分析DWA的電磁波橫向傳播特性和色散關(guān)系。為了透徹理解橫向色散特性，不妨就TM模式為例來分析，令調(diào)制系數(shù)（或εr4）變化，得到一系列色散關(guān)系如圖1所示（假設(shè)在縱向上傳）。

播常數(shù)為零，即kz=0，波在橫向上以某角度q=tan-1（ky/kx）入射，當(dāng)調(diào)制系數(shù)（可讓εr4變化）從小到大變化時(shí)，空間諧波相互作用逐漸增強(qiáng)，阻帶變得越來越大，結(jié)論和文獻(xiàn)[1]—文獻(xiàn)[7]符合。阻帶的變大，意味著橫向傳播成份越來越少。因?yàn)殡S著調(diào)制系數(shù)（M=εr4/εr1，2，3）的增大，在阻帶范圍內(nèi)橫向傳播波數(shù)（ky/kx）不再是實(shí)數(shù)，而是某一復(fù)數(shù)，出現(xiàn)的橫向傳播波數(shù)（ky/kx）是變?yōu)閺?fù)數(shù)，則在該方向上波不斷被衰減而截止，從而出現(xiàn)阻帶。圖1中細(xì)實(shí)線表示無擾動(dòng)曲線，即調(diào)制系數(shù)為1的情形，屬均勻介質(zhì)色散曲線，此時(shí)εr1=εr2=εr3=εr4=1.0。粗實(shí)線為調(diào)制系數(shù)大于1情形，屬二維周期介質(zhì)色散曲線。

隨著調(diào)制系數(shù)繼續(xù)增大，空間諧波相互作用大大增強(qiáng)，色散曲線強(qiáng)烈背離無擾動(dòng)曲線，阻帶繼續(xù)加大甚至使不同阻帶合并成更大的阻帶（如圖1（c）所示），在圖1（d）中εr4?5.8，橫向波數(shù)全部為復(fù)數(shù)，顯然，這種情況下，電磁波在各個(gè)方向（（x， y））上都被截止而不能傳播。

4 阻帶分布特性

在本節(jié)主要討論波頻率（或自由空間波數(shù)k0）和橫向波數(shù) （kx或ky）之間的色散關(guān)系。研究在給定二維周期介質(zhì)物理模型情況下，阻帶出現(xiàn)在哪些頻段。在給定二維周期介質(zhì)物理參數(shù)后，色散方程（5）是關(guān)于k0與kx、ky和kz的方程。為了方便討論和理解，假設(shè)電磁波在二維平面上以q=tan-1（ky/kx）=45°入射，且kz=0，這樣可通過色散方程（5）可討論k0與kx=ky的關(guān)系。

顯然，無擾動(dòng)色散關(guān)系或均勻介質(zhì)色散關(guān)系、二維周期介質(zhì)色散關(guān)系，這些色散關(guān)系都可從色散關(guān)系方程（5）中推得。和圖1表示相同，在作色散關(guān)系曲線圖時(shí)，粗實(shí)線表示調(diào)制系數(shù)大于1時(shí)的情形，即表示二維周期介質(zhì)色散關(guān)系。細(xì)實(shí)線表示的調(diào)制系數(shù)為1，即表示均勻介質(zhì)色散關(guān)系。不妨設(shè)x和y方向上的空間周期長度相等，即a=b。

（1）m=0、n=0，εr1=εr2=εr3=εr4=1.0，由色散方程（5）可得：

2[kxa/（2p）]2=[k0a/（2p）]2 （5a）

即為無擾動(dòng)色散曲線。

（2）m=-1、n=0或m=0、n=-1，εr1=εr2=εr3=εr4==1.0，由色散方程（5）可得

（kxa/（2p）-1）2+（kxa/（2p））2=[k0a/（2p）]2 （5b）

也為無擾動(dòng)色散曲線。

（3）當(dāng)m=-1、n=-1時(shí)同理可得：

2（kxa/（2p）-1）2 =[k0a/（2p）]2 （5c）

同樣，隨著εr4的增大，空間諧波相互作用逐漸增強(qiáng)，阻帶開始出現(xiàn)，隨后不斷擴(kuò)大，如圖2（a）、（b）、（c）、（d）所示。為了更清楚看出詳細(xì)變化規(guī)律，不妨計(jì)算其中較大-個(gè)阻帶的詳細(xì)歸一化頻率和變化值，如表1所示：

根據(jù)表1的計(jì)算數(shù)據(jù)，畫出具體阻帶分布曲線圖如圖3所示。從曲線圖分析可知，隨調(diào)制系數(shù)“M=εr4/εr1”的增大，阻帶分布從高端逐步移向低端，如圖3紅、藍(lán)實(shí)線所示。阻帶寬度不斷加大，當(dāng)M=9.01時(shí)，阻帶寬度達(dá)到最大值，如圖3黑粗實(shí)線所示。當(dāng)調(diào)制系數(shù)M再增大時(shí)，阻帶頻率下移，但阻帶寬度幾乎不變化，出現(xiàn)所謂“飽和現(xiàn)象”。顯然，當(dāng)需要阻帶低頻時(shí)可選調(diào)制系數(shù)較大情形，高頻時(shí)則選調(diào)制系數(shù)較小的情況。

5 時(shí)域有限差分法數(shù)值分析

利用時(shí)域有限差分法將Maxwell方程進(jìn)行中心差分得到一個(gè)差分方程組，根據(jù)該差分方程組可模擬電磁波在二維周期介質(zhì)中的傳播情形。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，在一個(gè)周期內(nèi)，圓形或方形介質(zhì)分布比例相同時(shí)周期特性是一致的，即可通過研究方形/圓形分布的周期特性來等效圓形/方形分布的周期特性。根據(jù)周期介質(zhì)缺陷原理，在阻帶范圍內(nèi)，如果周期介質(zhì)中某局部出現(xiàn)缺陷，如圖4（a）所示，該阻帶內(nèi)的波就可在缺陷中傳播，未缺陷的仍無法傳播。為了便于應(yīng)用，本節(jié)運(yùn)用時(shí)域有限差分法計(jì)算和模擬了圓形分布的二維周期介質(zhì)電波傳播過程，如圖4（b）所示。由于阻帶和缺陷導(dǎo)波特性，波沿L形缺陷路徑傳播，其他方向由于阻帶特性而截止。這種導(dǎo)波特性對二維周期介質(zhì)導(dǎo)波、輻射和微波、毫米波集成電路設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)價(jià)值和應(yīng)用意義。圖4中的調(diào)制系數(shù)M=er4/er1 =er4=11.51，歸一化頻率k0a/（2p）=0.32，位于阻帶中心頻率部位。介質(zhì)εr4分布占一個(gè)周期內(nèi)的1/4面積，表現(xiàn)出的阻帶特性和正方形介質(zhì)er4分布占的1/4面積是完全一致的[6]。

6 結(jié)論

對DWA阻帶形成原因和阻帶分布進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和模擬，對DWA阻帶及缺陷相互作用而形成的導(dǎo)波特性進(jìn)行分析和研究，對其應(yīng)用也做了討論。

首先討論了調(diào)制系數(shù)M不斷增大，空間諧波作用增強(qiáng)，阻帶逐漸加大的變化規(guī)律，得到了橫向波數(shù)的色散關(guān)系。其次，探討了假設(shè)在二維平面上以45°角入射時(shí)的導(dǎo)波特性，同樣，隨著調(diào)制系數(shù)的增大，阻帶加大，阻帶頻段有向低頻方向移動(dòng)趨勢，當(dāng)調(diào)制系數(shù)M=9.01時(shí)，阻帶寬度達(dá)到最大，再繼續(xù)增大，阻帶帶寬幾乎不再增大。最后選擇了一個(gè)特例，利用電磁場數(shù)值計(jì)算方法-時(shí)域有限差分方法模擬了電磁波在二維周期介質(zhì)及其缺陷態(tài)中傳播特性，驗(yàn)證了阻帶電磁特性，計(jì)算結(jié)果和結(jié)論一致。二維周期介質(zhì)的阻帶分布特性在微波、毫米波導(dǎo)波、輻射[8-9]及集成電路設(shè)計(jì)方面具有應(yīng)用意義。

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