楊蒼洲 (泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

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一個(gè)交匯性試題的命制展示

楊蒼洲 (泉州市第五中學(xué) 福建泉州 362000)

1 試題呈現(xiàn)

例1 已知函數(shù)f(x)=ex，記p：存在x∈R，ex

1)求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程；

2)若p為真，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2015年3月福建省泉州市質(zhì)檢試題)

2 試題背景

不等式“ex≥x+1,lnx≤x-1”是高中數(shù)學(xué)中的2個(gè)重要不等式，不等式所表示的圖像如圖1所示．許多試題是以這2個(gè)不等式為背景命制的．雖然在考試的解答過程中不能直接應(yīng)用此不等式，但若能熟記這2個(gè)不等式也將有利于學(xué)生迅速入題、解題．

圖1

上述不等式源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2》人教A版習(xí)題1．3B組第1題第3)小題：

例2 利用函數(shù)的單調(diào)性，證明:ex>1+x(其中x≠0)．

證明 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-1(其中x≠0),則f′(x)=ex-1(其中x≠0)．

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=ex-1>0,f(x)單調(diào)遞增，從而f(x)=ex-x-1>f(0)=0;當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)=ex-1<0,f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)=ex-x-1>f(0)=0.

綜上所述，f(x)>0，即ex>1+x(其中x≠0).

11+22+…+nn≥e0+e1+…+en-1,

…

基于對(duì)上述不等式的認(rèn)識(shí)，筆者擬以此為背景進(jìn)行試題命制．

3 命制過程

即

同理可得

根據(jù)上述分析，筆者命制出試題的第1稿．

第1稿 已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)若函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；

2)證明：當(dāng)k>1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像上至少存在一點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖像的下方；

第2稿 已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程.

2)當(dāng)k>1時(shí)，證明：函數(shù)f(x)的圖像上至少存在一點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖像的下方.

3)根據(jù)第1)和第2)小題的結(jié)論，可得ex與x+1的大小關(guān)系，并用此結(jié)論完成下列問題：

第3稿 已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線方程.

2)若x≠1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像恒在函數(shù)g(x)的圖像的上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

3)探究問題1)和2)，并可證得結(jié)論：ex≥x+1．用此結(jié)論完成下列問題：

第3稿存在的問題與修改方向:第2)小題的文字表達(dá)較為拗口；第3)小題直接給出不等式ex≥x+1，缺少探究的味道．對(duì)試題進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，擬交匯“簡(jiǎn)易邏輯”知識(shí)，通過“逆否命題的等價(jià)關(guān)系”，“全稱命題、特稱命題的否定”對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而改善第2)小題的表述，并隱性給出不等式ex≥x+1．終稿見文首例1．

例1融合并交匯了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、簡(jiǎn)易邏輯等高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了高效、綜合的考查．同時(shí)，試題具有較大難度、較好的梯度和區(qū)分度,體現(xiàn)了較強(qiáng)的選拔功能和較好的教學(xué)導(dǎo)向功能．