錢建華 (通州區(qū)興仁中學 江蘇南通 226371)

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巧用數(shù)形結合 提升教學智慧
——一道課標習題的教學與思考

錢建華 (通州區(qū)興仁中學 江蘇南通 226371)

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(下稱《課標》)指出：在數(shù)學課程中，應當發(fā)展學生的幾何直觀.而幾何直觀教學的關鍵點是能夠運用形象的幾何圖形解決復雜的數(shù)學問題，這里就蘊涵了一個重要的數(shù)學思想——數(shù)形結合.偉大的數(shù)學家華羅庚對數(shù)形結合在學習數(shù)學中的作用作了這樣的闡述：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠相聯(lián)系，切莫分離.”這段分析精辟地闡述了數(shù)與形之間的密切關系和相互作用.下面筆者以一道《課標》習題的教學為例談談個人的一點思考，以求拋磚引玉.

1 問題再現(xiàn)

《課標》課程內(nèi)容及實施建議中的實例第79例：利用幾何圖形研究代數(shù)問題.

例1[1]對于給定的2個數(shù)x和y，求使得(x-b)2+(y-b)2達到最小的b，也就是說要找到一個b0，使得對任意的b有

(x-b0)2+(y-b0)2≤(x-b)2+(y-b)2.

(此題作為前一天的作業(yè)布置給學生，要求學生思考并盡量完成.)

2 解法探究

2.1 代數(shù)方法

生1：我用了“列舉法”，先取x=2,y=3，得

(x-b)2+(y-b)2=(2-b)2+(3-b)2=

2b2-10b+13=

師：不錯，課后認真思考過！但有個問題，僅取了3組數(shù)得到的結論能說明其正確性嗎？是否有以特殊代替一般，以偏概全之嫌？

生：……

(x-b)2+(y-b)2=

(x-b0+b0-b)2+(y-b0+b0-b)2=

(x-b0)2+(y-b0)2+

2[(x-b0)+(y-b0)](b0-b)+

2(b0-b)2,

(x-b)2+(y-b)2=(x-b0)2+(y-b0)2+

2(b0-b)2，

而(b0-b)2≥0，于是

(x-b0)2+(y-b0)2≤(x-b)2+(y-b)2.

師：很好！能想到這一點說明你數(shù)學基本功非常扎實.但如何想到這一方法呢？

師：此方法是有它的特殊性，一般不容易入手，其他同學有更好的方法嗎？

2.2 數(shù)形結合

(見學生個個眉頭緊鎖)師生一起回憶關于兩點間的距離、平面直角坐標系、直線的學習，教師引導學生走向數(shù)形結合(經(jīng)過思索、提示、討論后見學生思維還是沒跟上).

師：我們不妨先來解決例2.

例2 如圖1,點A的坐標為(-1，0)，點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為

( )

(2012年四川省廣元市數(shù)學中考試題)

生4：選B.

師：你能說說為什么嗎？

圖1 圖2

生4：如圖2，過點A作AB′⊥OB，垂足為點B′，過點B′作B′C⊥x軸，垂足為C.由垂線段最短可知，當B′與點B重合時，AB最短.因為點B在直線y=x上運動，所以△AOB′是等腰直角三角形，△B′CO也是等腰直角三角形.又因為點A的坐標為(-1，0)，所以

師：非常好！同學們發(fā)現(xiàn)此題和例1之間的聯(lián)系了嗎？由此能想到解題思路嗎？

生5：如圖3，可以把給定的2個數(shù)看作數(shù)對，對應于坐標平面內(nèi)的點，用A(x,y)表示.對于任意數(shù)b也可以看作數(shù)對(b,b)，用點B(b,b)表示.易知點B(b,b)是在經(jīng)過原點、與橫坐標軸所交銳角為45°的直線上.這樣本題就變?yōu)椋涸谶@條直線上找一點，使得這一點到給定點A(x,y)的距離最短.根據(jù)“直線外一點與這條直線上各點的所有連線段中，垂線段最短”，這一點應當是點A(x,y)到直線的垂足，設其為B′(b0,b0),則

AB′2=(x-b0)2+(y-b0)2.

師：一點就通，跟老師想的完全一樣！生5受到例2的啟發(fā)，巧妙地將此代數(shù)問題轉化成了幾何問題！實際上，利用直角坐標系，不僅能夠推導出幾何圖形的代數(shù)表達式，還能夠利用幾何圖形來研究代數(shù)問題，這充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的重要思想.

2.3 拓展延伸

2.3.1 從特殊到一般的延伸

師：如果將例1改成：對于給定的2個數(shù)x和y，求使得(x-b)2+(y-a)2達到最小的b.那又該如何解決呢？請同學們小組討論后交流.

圖3 圖4

生6：可設a=kb，題目即變成要求使得(x-b)2+(y-kb)2達到最小的b.如圖4，仍然利用直角坐標系，可得

從而

第二，從形成審計結論所需要的審計證據(jù)來看，審計證據(jù)的來源不僅僅包括審計對象的財務信息，還包括審計人員通過審計程序獲取的非財務信息。另外，審計人員在審計過程中通過合理推斷得到的結論以及審計人員從供應商、銷售商等方面獲得的外部資料和憑證也是審計證據(jù)的重要組成部分。

AB′2=(x-b0)2+(y-kb0)2.

師：太好了，能觸類旁通！我們已經(jīng)能夠解決一般情況，熟悉利用數(shù)形結合解決這種最值問題.其實這種最值問題和統(tǒng)計與概率也緊密相連，我們來了解一下.

2.3.2 從“最值問題”到“統(tǒng)計與概率”的延伸

3 教后思考

3.1 加強教學預設

筆者通過批閱學生作業(yè)發(fā)現(xiàn)學生對此問題存在疑惑，有些學生甚至根本無從下手，于是筆者在教學時沒有急于直接向學生講解，而是先讓學生思考、討論，合作分析，發(fā)揮集體智慧，然后“反其道而行之”，再插入“引例”，為解決問題鋪好道路，進而引發(fā)了學生對于問題的思考.正如預設那樣，有了“數(shù)形結合”，順利得到“智慧”的“生成”.蘇霍姆林斯基在講“如何獲取知識”時說過：“在我看來,教給學生能借助已有知識去獲取知識,這是最高的教學技巧之所在.”課堂教學總是在“預設”與“生成”間交融進行的，教師應在了解學情的基礎上加強教學預設，對可能出現(xiàn)的問題盡可能地預設解決措施，引導學生的思維逐步步入正軌.學生從接觸問題到解決問題有一個較長的過程，這是由學生的認知水平和問題本身的難度所決定的.教師要明了其間的巨大落差，給學生充分的思考與討論時間，在原有認知和現(xiàn)存問題之間合理設置階梯，架設橋梁，幫助學生搭建解決問題的“腳手架”，讓學生“跳一跳，就能摘到桃子”，在“最近發(fā)展區(qū)”不斷完善自己的認知水平，提升思維品質[2].

3.2 注重數(shù)形結合

解決本題的關鍵就是“數(shù)形結合”，數(shù)形結合的重點就是代數(shù)問題幾何化，也就是“以形解數(shù)”.在解題中，對于解決抽象的“數(shù)”的問題，可充分挖掘其條件的幾何意義，進而構造數(shù)軸、平面直角坐標系、三角形、四邊形、圓等幾何圖形并利用它們的有關性質、定理，借助“形”的直觀進行解題，不僅可使問題獲得避繁就簡、化難為易的新穎解法，而且能避免復雜的計算與推理，同時對創(chuàng)造性思維的開發(fā)與培養(yǎng)也很有益處.因此，在教學中要注意培養(yǎng)學生數(shù)形結合意識，爭取做到胸中有圖、見數(shù)思圖，學會從“數(shù)”和“形”2個角度思考和解決問題，這也是幫助學生建立幾何直觀的極為有效的途徑之一.數(shù)形結合不僅能培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間觀念及幾何直觀能力，而且能培養(yǎng)學生形象思維與抽象思維的交叉運用，從而有助于培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力.

3.3 適當拓展延伸

首先，在教學中，適當?shù)貙栴}進行拓展延伸、借題發(fā)揮，就是讓學生在已解決問題的基礎上進一步看清實質，根據(jù)問題中的條件與結論進行再探究的過程，是一個思維提升的過程；其次，學習數(shù)學就應該理解其本質、掌握其方法與規(guī)律，從而做到會一題通一類；再次，對問題的拓展延伸，能讓學生認識問題的數(shù)學本質，歸納出每一類題的特征，這樣在獨立解題時才能得心應手，真正提高數(shù)學能力.

總之，在數(shù)學教學中巧妙地運用數(shù)形結合的思想方法解決一些類似于本例的抽象代數(shù)問題，可以起到事半功倍的效果，適時、適當?shù)貙栴}進行拓展延伸有助于學生思維層次的提升.我們不僅要提升學生的學習智慧，而且要提升教師的教學智慧.

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京:北京師范大學出版社，2012:126-127.

[2] 錢建華.注重方法形成過程 促進課堂智慧生成[J].中學教研(數(shù)學),2014(11)：28-30.