于 倩， 侯福均， 翟玉冰， 杜玉琴

(北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 北京 100081)

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區(qū)間猶豫模糊ELECTRE多屬性決策方法及應(yīng)用

于 倩， 侯福均， 翟玉冰， 杜玉琴

(北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 北京 100081)

近年來(lái)，多屬性決策問(wèn)題一直是廣大學(xué)者研究的重點(diǎn)，然而基于ELECTRE方法的區(qū)間猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題的研究并不多見(jiàn)。因此，結(jié)合區(qū)間猶豫模糊集的信息表達(dá)優(yōu)勢(shì)和ELECTRE方法的思想，提出了一種區(qū)間猶豫模糊ELECTRE(IVHF ELECTRE)多屬性決策新方法。首先構(gòu)造了區(qū)間猶豫模糊決策矩陣，引入得分函數(shù)和可能度的概念，構(gòu)造屬性優(yōu)勢(shì)集和屬性劣勢(shì)集。然后通過(guò)設(shè)定閾值得到綜合優(yōu)先判定矩陣，從而得到各方案間的優(yōu)先順序。為了進(jìn)一步得到各方案的整體排序，引入TOPSIS方法，通過(guò)計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)距離來(lái)構(gòu)造綜合優(yōu)先矩陣，從而得到各方案的總體排序。最后通過(guò)具體實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和合理性。

IVHF ELECTRE方法；多屬性決策(MADM)；區(qū)間猶豫模糊集(IVHFS);TOPSIS

0 引言

多屬性決策問(wèn)題廣泛地存在于各個(gè)領(lǐng)域和人們的日常生活中，一直以來(lái)成為人們研究的重點(diǎn)。ELECTRE方法作為多屬性決策中的一種代表性方法，由于其實(shí)用性強(qiáng)，已在各個(gè)領(lǐng)域獲得了廣泛而成功的應(yīng)用[1,2]。1965年Zadeh[3]提出了模糊集理論。隨后，許多學(xué)者開(kāi)始用模糊理論擴(kuò)展經(jīng)典的多屬性決策問(wèn)題。

但隨著決策復(fù)雜性和評(píng)價(jià)信息不確定性的增加，模糊集已經(jīng)不能滿足這些需求。于是2010年，Torra[4]提出了猶豫模糊集的概念，它是傳統(tǒng)模糊集理論的一個(gè)重要擴(kuò)展形式。它允許某個(gè)元素對(duì)集合的隸屬程度以[0,1]上幾個(gè)可能值的集合的形式給出，從而在一定程度上避免了決策中的信息損失?？紤]到客觀環(huán)境的復(fù)雜性、決策者的知識(shí)結(jié)構(gòu)和專業(yè)水平以及時(shí)間等諸多因素影響，決策者在給定評(píng)價(jià)信息時(shí)難以用精確的數(shù)值來(lái)表示評(píng)價(jià)信息，因此將區(qū)間數(shù)推廣到猶豫模糊集中。2013年，Xu[5]提出了區(qū)間猶豫模糊集的概念。自此有關(guān)區(qū)間猶豫模糊集在多屬性決策(MADM)領(lǐng)域的應(yīng)用就成了眾多學(xué)者研究的主題。

ELECTRE(Elimination Et Choice Translating Reality)方法首次由Benayoun，Roy與Sussman[6]于20世紀(jì)60年代提出。隨后很多學(xué)者將其進(jìn)行發(fā)展，形成了具有不同形式的ELECTRE方法族，包括ELECTREⅠ[7]，ELECTREⅡ[8]， ELECTRE TRI[9]，ELECTRE Ⅳ[10]。事實(shí)上，很多學(xué)者已將ELECTRE方法應(yīng)用于不同的模糊環(huán)境中，如區(qū)間數(shù)[11]，梯形模糊數(shù)[12]，三角模糊數(shù)[13]，直覺(jué)模糊數(shù)[14]等。但迄今為止，ELECTRE方法在區(qū)間猶豫模糊多屬性決策中的應(yīng)用研究還不多見(jiàn)。因此對(duì)經(jīng)典的ELECTRE方法進(jìn)行了改進(jìn)，將其拓展到區(qū)間猶豫模糊集環(huán)境下，其中不確定信息以區(qū)間猶豫模糊元的形式給出，以此解決區(qū)間猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題。

1 相關(guān)概念

定義2[5]區(qū)間猶豫模糊元的運(yùn)算法則

(1)

(2)

從以上定義可得

(3)

2 區(qū)間猶豫模糊ELECTRE方法

研究在區(qū)間猶豫模糊集環(huán)境下，引入得分函數(shù)和可能度的概念，建立各區(qū)間猶豫模糊元得分函數(shù)的可能度矩陣，將區(qū)間猶豫模糊元的排序問(wèn)題轉(zhuǎn)換為優(yōu)劣關(guān)系與之等價(jià)的一組精確值來(lái)實(shí)現(xiàn)。這樣對(duì)于區(qū)間猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題就可以通過(guò)得分函數(shù)的可能度矩陣的建立，再映射為一組優(yōu)劣關(guān)系與原區(qū)間猶豫模糊元等價(jià)的實(shí)數(shù)形式，從而對(duì)各方案在各個(gè)屬性上評(píng)價(jià)信息的優(yōu)劣關(guān)系進(jìn)行兩兩比較和排序，然后再應(yīng)用區(qū)間猶豫模糊ELECTRE(IVHF ELECTRE)模型來(lái)解決區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問(wèn)題。

2.1 區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

2.2 區(qū)間猶豫模糊級(jí)別高于關(guān)系的構(gòu)造

級(jí)別高于關(guān)系是ELECTRE方法的核心思想，而IVHF ELECTRE方法是將ELECTRE方法拓展到區(qū)間猶豫模糊環(huán)境中，因此區(qū)間猶豫模糊ELECTRE方法的核心思想也是級(jí)別高于關(guān)系的構(gòu)造。在傳統(tǒng)的ELECTRE方法中，不同的ELECTRE方法具有不同的級(jí)別高于關(guān)系，所有的這些級(jí)別高于關(guān)系都是在實(shí)數(shù)信息表示的基礎(chǔ)上提出來(lái)的。而這里所介紹的方法中的級(jí)別優(yōu)先關(guān)系是基于區(qū)間猶豫模糊元表示形式的。

(4)

k,l=1,2,…,m,j=1,2,…,n

(2)得到可能度矩陣Pj。

(3)對(duì)矩陣pj的每一行進(jìn)行求和，得到

對(duì)于方案Ak和Al(k,l=1,2,…,m,k≠l)，決策屬性集被劃分為兩個(gè)不同的子集，即屬性優(yōu)勢(shì)集和屬性劣勢(shì)集。

屬性優(yōu)勢(shì)集可用下列式來(lái)表示：

(5)

屬性劣勢(shì)集為優(yōu)勢(shì)集的補(bǔ)集，意義正好和優(yōu)勢(shì)集相反，即Al方案的各目標(biāo)屬性優(yōu)于方案Ak對(duì)應(yīng)的目標(biāo)屬性的屬性標(biāo)號(hào)集合。

(6)

2.3IVHFELECTRE方法

IVHF ELECTRE方法是區(qū)間猶豫模糊信息和ELECTRE方法的結(jié)合。它不同于傳統(tǒng)的決策方法，它是基于屬性間的優(yōu)先序，利用級(jí)別優(yōu)先關(guān)系來(lái)對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)選，排序和分類。

(7)

優(yōu)勢(shì)指標(biāo)反映了Ak相對(duì)于Al的重要性程度的大小，ekl越大意味著對(duì)所有的優(yōu)勢(shì)指標(biāo)而言，Ak對(duì)Al越具有優(yōu)勢(shì)，且0≤ekl≤1。

當(dāng)計(jì)算出所有方案對(duì)的優(yōu)勢(shì)指數(shù)ekl(k≠l,j=1,2,…,n)時(shí)，就構(gòu)成了如下的優(yōu)勢(shì)矩陣E=(ekl)m×n。

對(duì)于屬性劣勢(shì)集，我們利用下式來(lái)計(jì)算Ak劣于Al的程度：

(8)

其中

fkl表示分子為屬性劣勢(shì)集中的標(biāo)號(hào)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方案之間的距離中的最大值，分母為所有目標(biāo)屬性的兩個(gè)方案之間的距離中的最大值，兩者相除則表示Ak比Al的劣勢(shì)程度。同樣0≤fkl≤1。fkl值越小，則意味著對(duì)所有的劣勢(shì)指標(biāo)而言，Ak越優(yōu)于Al。

當(dāng)計(jì)算出所有的劣勢(shì)指標(biāo)fkl(k≠l)后，可得如下的劣勢(shì)矩陣F=(fkl)m×n。

閥值可以人為給定，也可用平均優(yōu)勢(shì)指標(biāo)表示，即

(9)

(10)

當(dāng)這個(gè)矩陣U的元素為1 時(shí)，意味著具有優(yōu)勢(shì)機(jī)會(huì)(或可能)。

(11)

(12)

U和V中的對(duì)應(yīng)元素相乘的結(jié)果，就構(gòu)成了所謂綜合優(yōu)勢(shì)判定矩陣Z=(zkl)m×n中的元素zkl，即

zkl=μkl·vkl

(13)

根據(jù)綜合優(yōu)勢(shì)判定矩陣Z，如果zkl=1，則Ak整體優(yōu)于Al，但仍有其他方案優(yōu)于Ak的可能。因此對(duì)于Ak而言只有下式滿足，它才不會(huì)被剔除。

(14)

上式的實(shí)際應(yīng)用是較困難的，然而我們可以在Z上直觀地進(jìn)行分析剔除方案，也即若任何列上只要有一個(gè)元素為1，則該列對(duì)應(yīng)的方案從最優(yōu)方案中剔除。

根據(jù)上述方法，我們僅能剔除不理想的方案，也僅能得到各方案的部分優(yōu)先順序。然而，我們無(wú)法得到各方案的完全排序。因此為了得到方案間的整體排序，我們引入了TOPSIS方法。它使得具有優(yōu)勢(shì)的方案應(yīng)該具備距離正理想點(diǎn)最近而距離負(fù)理想點(diǎn)最遠(yuǎn)的特性。從而定義了基于TOPSIS方法的優(yōu)勢(shì)比較判定矩陣X=(xkl)m×n，其中

xkl=e*-ekl

(15)

e*表示優(yōu)勢(shì)矩陣E=(ekl)m×n中最大元素值，記為正理想點(diǎn)。

同樣基于TOPSIS方法的劣勢(shì)比較判定矩陣Y=(ykl)m×n的定義如下：

ykl=f*-fkl

(16)

f*表示劣勢(shì)矩陣F=(fkl)m×n中最大元素值，記為負(fù)理想點(diǎn)。

計(jì)算各方案到正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度，得到綜合優(yōu)先矩陣R=(rkl)m×n，其中

(17)

rkl表示方案Ak相對(duì)于Al到正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度。rkl值越高，表明Ak相對(duì)于Al來(lái)說(shuō)，越接近于正理想點(diǎn)，越遠(yuǎn)離于負(fù)理想點(diǎn)。

然后計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)值，

(18)

(19)

2.4 決策過(guò)程

根據(jù)上述分析，IVHF ELECTRE方法的分析步驟如下：

步驟1 通過(guò)專家對(duì)各方案相對(duì)于各屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)，確定區(qū)間猶豫模糊決策矩陣。

步驟3 根據(jù)式(7)，式(8)計(jì)算優(yōu)勢(shì)矩陣E=(ekl)m×n和劣勢(shì)矩陣F=(fkl)m×n。

步驟4a) 由式(9)，式(11)計(jì)算優(yōu)劣勢(shì)指數(shù)閾值，并根據(jù)式(10)，式(12)來(lái)確定優(yōu)勢(shì)0-1布爾矩陣U=(μkl)m×n和劣勢(shì)0-1布爾矩陣Y=(ykl)m×n。

步驟4b) 通過(guò)引入TOPSIS方法，根據(jù)式(15)，式(16)確定優(yōu)勢(shì)比較判斷矩陣X=(xkl)m×n和劣勢(shì)比較判斷矩陣Y=(ykl)m×n。

步驟5a) 根據(jù)式(13)計(jì)算優(yōu)劣勢(shì)布爾矩陣的乘積，來(lái)確定綜合優(yōu)劣判定矩陣Z=(zklm×n)。

步驟5b) 根據(jù)式(17)計(jì)算各方案到正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度，確定綜合優(yōu)先矩陣R=(rkl)m×n，并由式(18)確定各方案的綜合評(píng)價(jià)值。

步驟6a) 由式(14)確定剔除較劣的方案，得到各方案的部分優(yōu)先序。

步驟6b) 根據(jù)式(19)比較各方案綜合評(píng)價(jià)值的大小，對(duì)各方案進(jìn)行整體排序。

3 實(shí)例分析

表1 區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

步驟2 各方案在各屬性上評(píng)價(jià)信息的得分計(jì)算如表2所示。通過(guò)比較各得分值，從而比較各方案在各個(gè)屬性上的優(yōu)劣程度。

表2 區(qū)間猶豫模糊得分值

計(jì)算屬性優(yōu)勢(shì)集得

確定屬性劣勢(shì)集得

步驟3 根據(jù)式(7)計(jì)算優(yōu)勢(shì)矩陣

其中

其他元素值的計(jì)算方法同上。

根據(jù)式(8)計(jì)算劣勢(shì)矩陣

其他元素值的計(jì)算方法同上。

步驟4a 根據(jù)式(9)計(jì)算平均優(yōu)勢(shì)指數(shù)值

通過(guò)式(10)計(jì)算優(yōu)勢(shì)0-1布爾矩陣

根據(jù)式(11)計(jì)算平均劣勢(shì)指數(shù)值

通過(guò)式(12)計(jì)算劣勢(shì)0-1布爾矩陣

步驟4b 引入TOPSIS方法，根據(jù)式(15)計(jì)算優(yōu)勢(shì)比較判斷矩陣

根據(jù)式(16)計(jì)算劣勢(shì)比較判斷矩陣

步驟5a 根據(jù)式(13)計(jì)算綜合優(yōu)先矩陣Z

步驟5b根據(jù)式(17)計(jì)算各方案到正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度，確定綜合優(yōu)先矩陣

根據(jù)式(18)計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)值。

圖1 方案間的優(yōu)先關(guān)系圖

步驟6a 根據(jù)式(14)，A5被選入最優(yōu)方案。矩陣反映了方案的優(yōu)先順序，如圖1所示：

A2>A1,A2>A3,A2>A4,A5>A1,A5>A2,A5>A3,A5>A4

從Z可以看出，我們僅能得到各方案間的部分優(yōu)劣關(guān)系，而不能得到方案的整體排序。

步驟6b 根據(jù)式(19)比較各方案綜合評(píng)價(jià)值的大小，最后得出各方案的整體排序?yàn)锳5>A2>A4>A1～A3。因此最優(yōu)方案仍是A5。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于ELECTRE方法理論和區(qū)間猶豫模糊信息，提出了區(qū)間猶豫模糊ELECTRE(IVHF ELECTRE)方法來(lái)處理模糊多屬性決策問(wèn)題。通過(guò)引入可能度和得分函數(shù)的概念，對(duì)各個(gè)指標(biāo)下一組區(qū)間猶豫模糊元兩兩比較，建立得分函數(shù)的可能度矩陣，將這組區(qū)間猶豫模糊元信息映射為與之優(yōu)劣關(guān)系等價(jià)的精確值形式，對(duì)每個(gè)屬性下的區(qū)間猶豫模糊元進(jìn)行同樣的操作進(jìn)而完成對(duì)原始決策信息的改造，使之與現(xiàn)有的決策模型相吻合。該方法既是對(duì)基于區(qū)間猶豫模糊集的多屬性決策模型的豐富，也是對(duì)經(jīng)典ELECTRE方法在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下的一個(gè)擴(kuò)展。它既充分利用了區(qū)間猶豫模糊信息，又保留了ELECTRE方法計(jì)算簡(jiǎn)潔的優(yōu)勢(shì)，易于決策者的掌握和使用。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，該方法具有一定的合理性和可行性。

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ELECTRE-Based Measure for Multi-Attribute Decision Making Using Interval-Valued Hesitant Fuzzy Set

YU Qian, HOU Fu-jun, ZHAI Yu-bing, DU Yu-qin

(SchoolofManagementandEconomics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

For the past decades, the multi-attribute decision making problem has always been the focus of many scholars. However, there is a still blank in using the ELECTRE(Elimination Et Choice Translating Reality)method to solve multi-attribute decision making(MADM)problems with interval-valued hesitant fuzzy information. By combining the expression advantage of interval-valued hesitant fuzzy sets and the idea of the ELECTRE method, an interval-valued hesitant fuzzy ELECTRE(IVHF ELECTRE)method is proposed. Firstly, the interval-valued hesitant fuzzy decision matrix is constructed, and the concordance set and discordance set are defined by introducing the concept of score function and possibility. Then comprehensive judgment matrix is calculated by setting the threshold value to obtain the preference ranking of the alternatives. In order to further get overall sort of the alternatives, the TOPSIS method is introduced. And the comprehensive preference matrix is constructed by calculating the distance between each alternative and the ideal point to obtain the complete ranking of the alternatives. Finally, an illustrative example is given to verify the developed approach and to demonstrate its practicality and effectiveness.

IVHF ELECTRE method; multi-attribute decision making(MADM); interval-valued hesitant fuzzy set(IVHFS); TOPSIS

2014-10-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71571019)

于倩(1984-)，女，博士研究生，研究方向：多屬性決策，最優(yōu)化分析；侯福均(1967-)，男，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：決策理論與方法，運(yùn)籌與優(yōu)化，不確定理論及應(yīng)用。

C934

A

1007-3221(2015)06- 0016- 09

10.12005/orms.2015.0191