熊 軼， 陳智民， 霍佳震， 潘燕春， 周 明

(1.同濟大學 經濟與管理學院，上海 200092； 2.深圳大學 管理學院，廣東 深圳 518060)

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總量控制和交易環(huán)境下考慮隨機需求的企業(yè)決策分析

熊 軼1,2， 陳智民2， 霍佳震1， 潘燕春2， 周 明2

(1.同濟大學 經濟與管理學院，上海 200092； 2.深圳大學 管理學院，廣東 深圳 518060)

總量控制和交易(Cap-and-Trade, C&T)給排放企業(yè)運營決策帶來了新的挑戰(zhàn)。本文提出一個非線性優(yōu)化模型分析C&T環(huán)境下的企業(yè)最優(yōu)產量，并在綠色改進和碳權交易之間有效權衡。模型不僅考慮了隨機需求和碳價波動，還考慮了綠色改進的邊際遞減效果和實施綠色生產的風險。理論分析證明了最優(yōu)解的存在性，并給出了排放企業(yè)的最優(yōu)決策及C&T環(huán)境下企業(yè)新的生產條件。解析分析表明：與非C&T環(huán)境相比，新的最優(yōu)產量更低，實際排放下降；碳配額雖然影響企業(yè)利潤和碳權交易量，但不影響最優(yōu)產量和最優(yōu)改進投資；碳價和綠色改進系數越大，越有利于促進企業(yè)實施綠色改進減少排放；企業(yè)利潤隨綠色改進系數和碳配額的增加而上升，隨單位產品碳排放的增加而下降。數值分析驗證了理論模型及其分析結果；蒙特卡洛模擬揭示利潤波動受需求風險、綠色改進風險和碳價波動的影響，但需求風險對利潤波動的影響更為顯著。

總量控制和交易；隨機需求；綠色改進；非線性優(yōu)化；決策分析

0 引言

全球變暖等環(huán)境問題對人類生活造成了嚴重影響[1]。越來越多的科學家認為當前的氣候改變和其它諸多環(huán)境問題是由人類自身活動引起，尤其是能源消耗產生的溫室氣體排放所致[1,2]。為減少溫室氣體排放(通常以二氧化碳排放當量CO2E計算)，總量控制與交易(Cap-and-trade, C&T)被世界各國廣泛采用[3]。C&T環(huán)境下，政府首先根據歷史排放和減排目標，為排放企業(yè)分配一定數量的碳配額，如果企業(yè)實際排放低于配額，則剩余的排放權將成為企業(yè)的一種特殊資源，可在碳市場出售獲取額外收益；企業(yè)也可通過碳市場購買排放權以彌補實際超排量[4]。我國能源消耗和碳排放均居世界第一[5]，面對越來越大的減排壓力，政府一方面積極推進碳市場建設，如深圳排放權交易試點[6]；另一方面，也不斷出臺更為嚴苛的強制性減排措施和法規(guī)(如《節(jié)約能源法》)。因此，作為碳排放主體的廣大制造型企業(yè)，在C&T環(huán)境下面臨更加嚴峻的挑戰(zhàn)。為規(guī)避政府的嚴懲措施，企業(yè)可改進生產過程減少排放，但實施綠色改進存在技術、組織、財務等諸多風險，可能導致投資高、見效慢、周期長等問題[7]；而且綠色改進投資本身還具有邊際效果遞減特征，即隨著綠色改進的進行，減少相同排放的成本將越來越高[8,9]。有關碳市場的研究則表明，碳價格、碳收益等的變化都不服從均值回歸過程，碳市場面臨著比股票市場更大的風險[10]。此外，C&T環(huán)境還會對生產計劃造成重要影響，單純由市場需求確定的最優(yōu)產量可能不再最優(yōu)：高產量導致的高排放可能產生高額的超排(懲罰)成本；低產量排放小則可能使企業(yè)獲得額外排放權進而在碳市場交易帶來減排收益。因此，如何確定新的最優(yōu)產量，以及如何在綠色改進和碳權交易之間有效權衡，是C&T環(huán)境下企業(yè)亟待解決的重要決策問題。

目前相關研究大多集中在初始碳配額的分配和碳交易機制的設計等宏觀層面[11～14]。鑒于C&T環(huán)境下的碳排放約束，企業(yè)微觀經營決策問題越來越受到學者們的關注。Hua等[15]提出具有排放約束的經濟訂貨批量(EOQ)模型，在確定性需求條件下，通過解析求解的方法研究了碳排放配額、碳權交易價格、碳排放與總成本的關系；Bouchery等[16]將可持續(xù)發(fā)展目標引入經典EOQ模型，在確定性需求和單周期條件下，構建了一個零售商的單級庫存模型，以及一個零售商和一個倉庫的二級庫存模型，并分析了模型的有關數量特征；Chen等[17]研究了具有碳排放約束的EOQ模型，通過解析方法得到了新的最優(yōu)訂貨量，并分析了碳排放和庫存成本平衡的條件；國內的何大義和馬洪云[18]基于存儲論的分析框架，建立了企業(yè)在碳排放約束下的生產與存儲優(yōu)化決策模型，通過解析求解得到了企業(yè)的最優(yōu)產量、碳排放權交易和凈化處理決策，并用數值實驗方法分析了產品市場需求波動、碳交易價格變化和產品價格變化對企業(yè)最優(yōu)決策的影響；Rong和Lahdelma[19]針對某能源生產企業(yè)，鑒于碳排放權可在多期交易，提出一個多周期隨機優(yōu)化模型，確定熱能和電能的產量計劃，并使用隨機仿真技術得到最優(yōu)的產量組合；Catalao等[20]針對電量生產的短期計劃問題，考慮能源消耗成本和碳排放約束，構建了多目標混合整數與非線性規(guī)劃模型，采用ε-constraining方法求解，得到了能源成本與碳排放量的非劣解集(Pareto-optimal solution set)；Absi等[21]則研究了具有碳排放約束的最優(yōu)生產批量(Lot-sizing)問題，構建數學規(guī)劃模型，在小規(guī)模確定性條件下得到了解析解。

除庫存問題之外，一些學者還研究了存在減排目標的企業(yè)資源分配問題。Kockar等[22]將碳排放交易成本和碳排放配額引入運作成本函數和約束條件中，構建了單周期確定性數學規(guī)劃模型，用于優(yōu)化電廠在購買碳排放權與承擔超排罰款之間的權衡決策；魏一鳴等[23]采用多智能體模型模擬碳配額機制與相關政策變量對電價和電源結構的影響，進而對基于排放和基于產出的配額方式進行比較；Wang等[9]提出一個隨機規(guī)劃模型分析三種可能的綠色改進途徑，即使用減排設備、引進減排技術、改變能源結構，并構建拉格朗日函數求得了模型的最優(yōu)解；Chang等[24]將環(huán)境因素納入某固體廢棄物管理系統(tǒng)的運作優(yōu)化過程，分別考慮總成本最小、凈收益最大、環(huán)境污染最小等不同優(yōu)化目標，構建了混合整數規(guī)劃模型和線性規(guī)劃模型，采用LINGO軟件求解的結果表明，強制性碳減排給企業(yè)資源配置帶來了重大影響，考慮環(huán)境規(guī)制成本后，使用新的物料回收技術和設備將比傳統(tǒng)的廢棄物填埋決策更有優(yōu)勢。國內學者鄭燕等[25]針對受碳減排約束的火電生產企業(yè)，基于維納過程-伊滕引理，構建了隨機動態(tài)規(guī)劃模型，通過解析求解和簡單的數值實驗，分析了購買碳排放權和轉換燃料兩種資源配置策略之間的內在聯系和成本、收益特征；杜少甫[26]和桂云苗[27]等學者研究了排放依賴型企業(yè)的資源分配問題，假定生產商可通過政府配額、市場交易和凈化處理三種渠道獲得排放許可，考慮產品市場需求的不確定性，建立了數學規(guī)劃模型，在單周期和線性條件下得到資源的最優(yōu)分配策略，并使用數值實驗進行參數的敏感性分析，從而確定最優(yōu)決策的臨界條件。

本文重點研究C&T環(huán)境下，同時考慮需求不確定、碳價波動和綠色改進風險的企業(yè)運作決策問題，通過模型分析為政府當前綠色減排政策(如碳市場交易成本和碳配額等)的制定提供依據。相比現有研究，我們的貢獻在于：(1)提出了一個多元非線性優(yōu)化模型刻畫和解決C&T環(huán)境下的企業(yè)決策問題，該模型不僅考慮了碳排放約束、需求和碳價波動，還考慮了綠色改進的邊際遞減效果及其風險；(2)證明了最優(yōu)解的存在性，并分析了經濟績效和環(huán)境績效與各系統(tǒng)參數之間的關系；(3)數值分析進一步驗證了理論模型，蒙特卡洛模擬則給出了需求風險、碳市場風險(主要為碳價)和綠色改進風險與最優(yōu)產量和企業(yè)利潤的量化關系。本文的后續(xù)內容組織如下：第二部分在提出基本假設的基礎上構建決策模型；第三部分對模型進行理論分析并提出有關命題；第四部分進行數值實驗和蒙特卡洛模擬分析；第五部分給出研究結論和探討。

1 基本假設與模型構建

本文考慮C&T環(huán)境下，制造商(排放企業(yè))在一定時期內(如一年)的生產決策問題。假設市場需求存在隨機波動；政府根據企業(yè)歷史排放和減排目標確定其碳排放配額，如果企業(yè)實際排放超過配額，政府將實施高額懲罰；作為理性決策者，企業(yè)可通過綠色改進措施來減少排放，或者通過碳權交易來規(guī)避政府懲罰。假設綠色改進的減排效果當期可以實現(如使用清潔原料等)，但其投資具有邊際效果遞減特征；而在碳市場中，碳權交易可以實現。企業(yè)面臨的決策問題可描述如下：在C&T環(huán)境下，考慮隨機需求、碳價波動和綠色改進風險，如何確定最優(yōu)產量，如何在綠色改進與碳權交易之間有效權衡，以最大化企業(yè)利潤？為更好構建問題模型，定義如下變量和參數：

x1為生產量。因為固定生產成本對模型結構沒有影響(求導后不會出現在最優(yōu)解表達式中)，而且固定生產成本一般需要折舊，因此在本模型中未予考慮。假設產品單位生產成本(變動成本)為v，則總生產成本可表示為C1=vx1；

x2為綠色改進投資，是企業(yè)的成本支出，記C2=x2；

x3為碳權交易量，正值為買入排放權，負值為賣出；

D為產品需求，考慮為隨機變量，其概率密度函數為f(D)，概率分布函數為F(D)，均值為μ(D)，標準差為σ(D)，假設F(D)連續(xù)可微；

p1為產品售價，因此銷售收入為R=p1·min{D,x1}；

p2為碳價(碳排放權交易價格，含碳市場交易成本)。引入碳價波動風險(隨機變量)α，其概率密度函數為u(α)，概率分布函數為U(α)，均值為μα=0，標準差為σα，假設U(α)連續(xù)可微，α與ε、D相互獨立，則碳交易總額可表示為C3=(1+α)p2x3，正值為購碳成本，負值為售碳收益；

h為單位產品庫存成本，因此庫存總成本可表示為C4=h·max(x1-D,0)；

l為單位產品缺貨成本，因此缺貨總成本可表示為C5=l·max(D-x1,0)；

Q為政府分配給企業(yè)的碳配額。

(1)

(2)

因此，該優(yōu)化問題可建模如下：

決策變量：x1，x2;目標函數：最大化期望利潤

約束條件：x1≥0，x2≥0

這是一個多元非線性優(yōu)化問題，下面將對模型的最優(yōu)解及其特征展開分析。

2 模型分析

由式(2)可得出以下命題：

命題1 企業(yè)期望利潤函數是嚴格上凸的，其最優(yōu)產量、最優(yōu)改進投入分別為：

(3)

(4)

證明E(π)分別對x1和x2求一階和二階偏導得：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

命題2 在C&T條件下，企業(yè)生產的基本條件是p1+l>v+p2b。

從命題2可以看出，如果p1+l≤v+p2b，企業(yè)的最優(yōu)決策是放棄生產。與傳統(tǒng)生產條件相比，C&T環(huán)境增加了一項碳排放成本(p2b)，即企業(yè)生產時需要考慮排放成本的影響。

命題3 政府碳配額Q會影響企業(yè)的期望利潤和碳權交易量，但不影響最優(yōu)產量和最優(yōu)改進投入。

命題3可由式(2)、(3)、(4)得證。由式(2)、(3)、(4)還可看出，當企業(yè)實際碳排放量超過碳配額時(A>Q)，碳配額越大，企業(yè)從碳市場購買的碳排放權(A

證明 由于概率分布函數的逆函數是遞增函數，因此命題4可由式(3)得證。

從命題4可以看出，隨著產品價格和缺貨成本的上升，企業(yè)應該擴大產量；隨著庫存成本、碳價、單位產品碳排放和制造成本的上升，企業(yè)應該減少產量。與傳統(tǒng)生產相比，C&T條件下，碳價和單位產品碳排放對企業(yè)產量有重要影響：隨著碳價和單位產品碳排放的上升，企業(yè)碳排放成本(p2b)上升，因此企業(yè)將減少產量降低排放，以在經濟績效和環(huán)境績效之間取得合理平衡。

命題5可由式(4)得證。從命題5可以看出，隨著綠色改進系數上升，綠色改進難度下降，企業(yè)將加大綠色改進投入以減少碳排放量；隨著碳價上升，企業(yè)也將加大綠色改進投入以減少購碳成本(如果實際排放超過碳配額)，或者增加售碳收益(如果實際排放低于碳配額)。由于本模型中的碳價包含碳市場交易成本，因此，政府可將碳市場交易成本作為促進企業(yè)實施綠色改進措施的一項策略，增加碳市場交易成本有利于生產過程的綠色改進(E上升)，進而降低企業(yè)的實際排放(A=T-E下降)，減少對環(huán)境的污染。但碳價的上升同時也可能導致企業(yè)購碳量的下降(x3=A-Q減小)，進而抑制碳市場的發(fā)展。因此政府應該根據碳市場調節(jié)的實際需要，制定合理的碳市場交易成本。

命題6可由命題(4)和命題(5)得證。從命題6可以看出，碳價和綠色改進系數上升，都將促進企業(yè)減少排放，進而減少對環(huán)境的影響。

命題7 與非C&T環(huán)境相比(不存在綠色改進投入和碳權交易)，C&T環(huán)境下企業(yè)最優(yōu)產量更低，碳排放量更小。

證明 非C&T環(huán)境下，假設企業(yè)不存在綠色改進和碳權交易，此時企業(yè)的利潤函數π′沒有C2和C1兩項，即π′=R-C1-C4-C5，則期望利潤為：

(10)

從命題7可以看出，在C&T環(huán)境下，企業(yè)將減少產量以減小排放成本，同時實施綠色改進以獲取更多排放權，因此，C&T環(huán)境有利于企業(yè)減少碳排放。

命題8 企業(yè)期望利潤是綠色改進系數e和碳配額Q的遞增函數，是單位產品碳排放b的遞減函數。

命題8可由式(2)得證。綠色改進系數上升將導致綠色投資回報增加，碳配額上升可促使企業(yè)減少碳權購買量(或增加碳權出售量)，因此均會帶來企業(yè)利潤的增加。單位產品碳排放增大則將導致排放成本上升，進而減少企業(yè)利潤。

3 數值分析和蒙特卡洛模擬

表1 基準模型參數列表

圖1展示了各參數變動時的期望利潤變化情況，可以看出，期望利潤與碳配額Q和綠色改進系數e正相關，與單位產品碳排放b和碳價p2負相關，這與命題3和命題8相符。但碳配額Q和單位產品碳排放b對利潤的影響更大，而綠色改進系數e和碳價p2對利潤的影響則更不敏感。圖2顯示了期望利潤函數的三維圖形，可以看出其嚴格上凸；相對于綠色改進投資而言，產量對期望利潤的影響更為顯著。圖3顯示了單位產品碳排放b變動下的環(huán)境績效：隨著單位產品碳排放的增加，企業(yè)排放上升，碳權交易逐漸由出售變?yōu)橘徺I，而且購買量不斷增加。圖4顯示碳配額Q對綠色改進和碳排放無影響，但隨著碳配額的增加，企業(yè)購買的碳權減少(出售的碳權增加)。圖5和圖6表明，隨著碳價p2和綠色改進系數e的增加，綠色改進量上升，碳排放和購碳量下降。

圖1 不同參數變動下的期望利潤

圖2 期望利潤函數的三維圖形

圖3 單位產品碳排放b變動下的環(huán)境績效

圖4 碳配額Q變動下的環(huán)境績效

圖5 碳價p2變動下的環(huán)境績效

圖4 綠色改進系數e變動下的環(huán)境績效

為分析需求風險、碳市場風險和綠色改進風險對產量和利潤的影響，本文采用仿真平臺Arena?構建仿真模型進行蒙特卡洛模擬[31]，系統(tǒng)參數(如需求標準差)作為仿真模型的輸入，系統(tǒng)績效(如期望利潤)作為仿真模型的輸出，1000次獨立重復的隨機抽樣評價問題的一組解，得到基準模型的期望利潤為137418349(元)，95%置信區(qū)間半長為695808(元)，置信區(qū)間半長約為均值的0.5%，該置信區(qū)間能夠較好涵蓋理論值(137495376元)。因此，后續(xù)的仿真實驗隨機抽樣次數均設為1000。圖7所示為仿真模型邏輯圖，首先產生邏輯實體，然后將隨機需求、碳價波動和綠色改進風險(隨機抽樣)賦值給實體屬性，接著統(tǒng)計排放和成本相關的績效，圖中的VBA模塊用于記錄每次抽樣產生的企業(yè)利潤，1000次抽樣完成即統(tǒng)計平均利潤、標準偏差等指標。由公式(2)和(3)可以看出，需求風險(用標準偏差σD衡量)對產量和期望利潤有影響(見表2)，但碳價波動σα和綠色改進風險σε只影響利潤波動σπ。表2可見隨著需求風險σD的上升，最優(yōu)產量和期望利潤都將減小。圖8顯示了需求風險、碳價波動和綠色改進風險對利潤波動的影響，當σD變化時，先改變最優(yōu)產量再做仿真實驗以獲取利潤波動σπ；當σα和σε變化時則無需改變最優(yōu)產量(因為只有σD對產量有影響)。圖8(a)顯示的是多源風險條件下的結果，即當某一風險大小發(fā)生變化時(如σD)，其它風險仍然存在(如σα和σε均大于0)；圖8(b)顯示的是單一風險條件下的結果，即當某一風險大小發(fā)生變化時(如σD)，不存在其它風險的影響(如σα和σε均為0)。圖8表明：風險越大，利潤波動也越大，但需求波動對利潤波動的影響更為顯著。

圖7 仿真模型邏輯圖

表2 需求風險對產量和期望利潤的影響

圖8(a) σD 、σα和σε對σπ的影響(多源風險)

圖8(b) σD、σα和σε對σπ的影響(單一風險)

4 結論

C&T環(huán)境給排放企業(yè)帶來了新的巨大挑戰(zhàn)。本文提出一個多元非線性優(yōu)化模型分析C&T環(huán)境下的企業(yè)最優(yōu)產量，并在綠色改進和碳權交易之間有效權衡。我們的主要研究結論如下：(1)企業(yè)新的生產條件是p1+l>v+p2b，即在C&T環(huán)境下，企業(yè)除了考慮傳統(tǒng)的產品價格、變動成本等要素之外，還必須考慮排放成本(p2b)的影響；(2)C&T環(huán)境下，企業(yè)的最優(yōu)產量如式(3)所示，它是產品價格和單位缺貨成本的遞增函數，是單位庫存成本、碳價、單位產品碳排放和單位變動成本的遞減函數；與非C&T環(huán)境相比，新的最優(yōu)產量更低，實際排放下降；(3)最優(yōu)綠色改進投資如式(4)所示，它與碳價的平方和綠色改進系數的平方成正比；(4)碳配額影響企業(yè)利潤和碳權交易量，但不影響最優(yōu)產量和最優(yōu)改進投入，因此政府不能把碳配額作為調整企業(yè)產量和促進企業(yè)綠色改進的手段；(5)企業(yè)實際碳排放量是碳價和綠色改進系數的遞減函數；企業(yè)期望利潤則是綠色改進系數和碳配額的遞增函數，是單位產品碳排放的遞減函數；(6)需求風險的增加將導致最優(yōu)產量和期望利潤下降；需求風險、碳市場風險和綠色改進風險都將導致利潤波動，風險越大利潤波動越高，但需求風險對利潤波動的影響更為顯著。

中的有關模型類似，本文所提優(yōu)化模型也存在一定局限，如假設排放企業(yè)會在期末出售所有剩余排放權。因此，考慮碳權存儲的多階段決策問題將是未來的一個重要研究方向。

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Decision Analysis of Generating Companies with Stochastic Demands under C&T Environment

XIONG Yi1,2, CHEN Zhi-min2, HUO Jia-zhen1, PAN Yan-chun2, ZHOU Ming2

(1.SchoolofEconomicsandManagement，TongjiUniversity,Shanghai200092,China; 2.CollegeofManagement,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,China)

Cap-and-trade(C&T)brings new challenges to the operational decisions of generating companies. A nonlinear optimization model is proposed in this paper to analyze the optimal production quantity under C&T environment, and balance between green improvement and carbon trade. Our model captures the marginal decreasing effect and risk of green improvement as well as the stochastic demands and carbon price. The optimal solution and its existence condition for generating companies are given via theoretical analysis. Our research results can be summarized as follows. Compared with traditional environment without C&T, the new optimal production quantity and the actual emission under C&T environment are much lower. Emission allowance has an important impact on expected profit and carbon trade, while it has nothing to do with the optimal production quantity and optimal investment of green improvement. The larger the carbon price and green improvement coefficient are, the more the generating companies invest on green improvement to reduce carbon emission. The expected profit increases with the increase of green improvement coefficient and emission allowance, while it decreases with the increase of emission per unit product. Numerical experiments validate our theoretical model and its analytical results. Monte Carlo simulation reveals that demand risk, green improvement risk and carbon price fluctuation have an important impact on expected profit, while demand risk has a more significant impact on the fluctuation of profit.

cap-and-trade; stochastic demand; green improvement; nonlinear optimization; decision analysis

2014- 09-24

國家自然科學基金資助項目(71101094，71172057，71272089，71472126);廣東省自然科學基金資助項目(S2012010008868)

陳智民(1962-)，男，博士，教授，研究方向：運營管理；熊軼(1976-)，女，博士研究生，研究方向：交通與運作管理、收益管理。

F272;X321

A

1007-3221(2015)06- 0025- 09

10.12005/orms.2015.0192