摘 要：從“具體的數(shù)”到用“字母表示數(shù)”；從對“數(shù)量”的理解到對“關系”的探討，對于小學生來說這一抽象過程的實現(xiàn)有巨大的“思維鴻溝”，只有關注數(shù)量關系中的常量與變量的規(guī)律，才能真正建立用字母表示數(shù)的數(shù)學模型，實現(xiàn)由算術思維邁向代數(shù)思維的歷史性跨越。

關鍵詞：數(shù)量關系；分析思維；用字母表示數(shù)；符號；課例

一、研究背景

1.歷史背景

從丟番圖用縮寫的方法表示數(shù)到韋達把字母當作符號來表示數(shù)，數(shù)學家們用了1200余年。在40分鐘的小學數(shù)學課堂中又怎樣來實現(xiàn)這樣偉大的人類認知提升呢？

2.價值背景

《用字母表示數(shù)》這節(jié)教學內(nèi)容有兩個重點：用字母表示數(shù)；用含有字母的式子表示數(shù)量關系。那么《用字母表示數(shù)》有什么數(shù)學教學價值呢？“用字母表示數(shù)是建立數(shù)感與符號意識的重要過程，是學習和認識數(shù)學的一次飛躍；從數(shù)到代數(shù)是數(shù)學表征的一次飛躍，數(shù)對于它所代表的具體事物來說是抽象的，而用字母表示數(shù)又是一次抽象?！?/p>

3.現(xiàn)實背景

小學生以具體形象思維為主向抽象邏輯思維為主過渡，而抽象邏輯思維在很大程度上依賴于感性經(jīng)驗直接相聯(lián)系的，從上面的描述中可以看出數(shù)據(jù)符號是對生活中各種物體個數(shù)的抽象概括，而用字母表示數(shù)形成的代數(shù)式是對數(shù)據(jù)符號的再次抽象概括，這種“認知的飛躍”與小學生的思維特點成為課堂教學的矛盾體。因而對于小學生來說，從具體的情境中使學生感知字母表示數(shù)的含義，初步體驗符號在數(shù)學中的作用（形式簡潔、高度概括），進而建立用字母表示數(shù)的數(shù)學模型具有一定的挑戰(zhàn)性。這種由算術思維邁向代數(shù)思維的歷史性跨越給一線老師的課堂教學帶來了更大的困惑，如下面的一位數(shù)學老師就遇到了這樣的尷尬局面。

在上《用字母表示數(shù)》這節(jié)課快結(jié)束時，老師讓學生唱“青蛙歌”，而學生的青蛙歌卻是：n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條腿。

二、深入思考

1.在對比中感受字母表示數(shù)的概括性——符號初體驗

情景回放：第一環(huán)節(jié)

老師呈現(xiàn)了CCTV、AHTV這些電視臺的臺標。旨在說明：可以用字母表示漢字；接著呈現(xiàn)撲克牌。旨在說明：用字母可以表示數(shù)字。因為對應11，對應12，對應13。

思考：貌似情景創(chuàng)設來源于生活實際，但是11=J；12=Q；13=K，這些符號僅代表特定的數(shù)，字母與數(shù)之間存在一一“對等”的關系。這里J代替11，Q代替12，K代替13。用字母“表示”數(shù)的過程，不是字母“代替”數(shù)的過程，這個引入與字母表示數(shù)具有概括性是相悖的。反而增強了學生用字母表示數(shù)的隨意性，因而上述老師創(chuàng)設的情景是沒有價值的，未能抓住數(shù)學的本質(zhì)，與字母表示不確定的數(shù)，變化的數(shù)，有著本然的區(qū)別。還需要強調(diào)的是老師在這里沒有說明生活中的字母運用和數(shù)學中一些單位的字母表示只是完整說法的縮寫。如：AHTV是（ANHUItelevision）的縮寫，而其創(chuàng)始人是丟番圖。

情景回放：第二環(huán)節(jié)

師：一只青蛙，一張嘴。（讓全班同學接著說）

生1：兩只青蛙，兩張嘴

生2：3只青蛙，3張嘴……（這樣如此下去，全班23人，一直說到23只青蛙，23張嘴。）

師：若有a只青蛙，就有（ ）只嘴。

生3：a張嘴。

思考：看似學生對有具體的數(shù)過渡到用符號表示數(shù)實現(xiàn)了有效的銜接，但從后續(xù)的學習可以看出卻不以為然。在這個活動情景中，老師直接給出a只青蛙，這種思維的代勞嚴重阻礙了學生創(chuàng)造能力的提高，即使答案出來了，學生也沒有真正意義上的理解，這個過程中事實上是學生根據(jù)具體數(shù)據(jù)進行類推得到的結(jié)果，這是不利于學生的思維充分想象的，我們需要這樣的引導：你能把全世界的青蛙都說進去嗎？或者你能用一句話，把這些永遠說不完的情況都“概括”進去嗎？在數(shù)學中什么具有這樣的能力呢？自然產(chǎn)生了用字母表示數(shù)的必要性。這里老師還要引導學生觀察與思考：a與a什么關系？讓學生體會同等條件下同樣的字母表示同一個數(shù)，這里表示青蛙的只數(shù)與青蛙嘴的個數(shù)是一樣。這是從個別上升到一般的抽象化過程。經(jīng)歷具體到抽象，理解從確定到可變。因而就本課而言應該逼近學生讓他們體會用字母表示數(shù)的概括性。老師應抓住這個場景作為依托，讓學生產(chǎn)生聯(lián)想，并能夠理解與表述自己的數(shù)學思想，而不輕易帶過，需要老師利用問題不斷地追問，以探尋學生真切的認知。

我們還可從北師大（四年級下冊85頁）的教材中可以找到例證：

如：將青蛙的只數(shù)與嘴的張數(shù)建構一一“對應”的關系；而且這里的n表示不確定的數(shù)，并且涵蓋所有的自然數(shù)，具有極大的概括性。

不難看出，教材是通過具體的實際問題，然后改變具體的數(shù)量，進而引出用字母表示其中的數(shù)，體會字母表示數(shù)的概括性。

可是，通過一、二環(huán)節(jié)的教學，老師沒有對用字母表示數(shù)的兩種不同方式進行強烈而有效的對比，而將音節(jié)的縮寫水平（創(chuàng)始人是丟番圖）與符號概括水平（創(chuàng)始人是韋達）的運用混為一談，特別是字母的概括作用不能得到強烈的彰顯，思維留下的刻痕就非常淺顯。我們需要在對比中將“字母表示數(shù)”的新意（字母的概括作用）融入學生的知識結(jié)構體系中，實現(xiàn)無縫建構，體會字母符號的新感覺——概括性。

2.由“數(shù)量”的關注到“關系”的思考——建立符號意識

情景回放：第三環(huán)節(jié)

師：你們今年11歲，老師今年39歲。老師比你們大28歲。這樣形成了：11+28=39，（老師板書）

師：那么當你們12歲時，我的年齡是多少？

生1：板書12+28=40；

師：當你們是13歲時，老師多大？

生2：板書：13+28=41

師：當你們是14歲，老師多大？

生3：板書14+28=42

老師引導：當你們是a歲時，老師是幾歲？endprint

生4：回答是a+b=c歲。

思考：具體情景能激活學生已有積淀的算術層面對數(shù)量關系的理解，支撐學生在代數(shù)層面對數(shù)量關系的理解。而學生的思維定式：列出算式一定要算出確定的結(jié)果。如果老師沒有把關注點放在引導學生從直觀表格上觀察找出規(guī)律，分析師生間年齡的數(shù)量關系上，那么就無法實現(xiàn)由數(shù)量到關系的過渡，更無法實現(xiàn)符號的進一步抽象，這時，老師應當和孩子們一起列出表格如下圖：

引導學生觀察，并思考：在此過程中，哪些變了？哪些沒有變？（觀察數(shù)據(jù)變，而關系不變）在學生發(fā)現(xiàn)28是常量的情況下，在將學生思考引向深入，（1）當你們a歲時老師應該是多少歲？28+a。這里的字母a概括了學生的年齡。（2）老師a歲，你們的年齡是a-28（注意：這里建構的是加的關系）這種逆向的思考進一步強化了學生對數(shù)量關系的理解。（3）為了凸顯未知數(shù)取值的范圍，可以引導學生思考這里的a可以是200嗎？為什么？（4）而更為深度的認知是：用字母表示數(shù)不僅可以看出數(shù)量之間的關系，還可以表達一個結(jié)果；這種含有字母的式子既能看作一個過程，更能看作一個對象；是抽象性關系與確定性的統(tǒng)一。因而可以形成以下的關系圖：

我們也可從蘇教版（四年級下冊P106）中得到啟示。

不難看出，這里是將字母放在有序的數(shù)量關系中進行引導。由具體的、確定的數(shù)向抽象的、不確定的數(shù)跨越。并且“（24+ ）人”表示用字母表示的式子可以代表一個結(jié)果。這種由具體式子的“類推”向“關系”思維的跳躍需要老師站在較高的認知平臺上抓住數(shù)學本質(zhì)，還需要老師搭建多元的“腳手架”，便于孩子們積極努力地實現(xiàn)由算術思維向代數(shù)思維的過渡。這種由固定值向非固定值的關注更需要老師做有效的引導，從而實現(xiàn)用符號表達數(shù)學思想的意識。

3.在數(shù)量關系中找規(guī)律建立模型——實現(xiàn)符號化

情景回放：第四環(huán)節(jié)

老師讓學生用小棒擺成三角形，然后交流根數(shù)與三角形個數(shù)，師并板書：三角形的個數(shù) 小棒的根數(shù)。

此時老師引導：要擺a個三角形，需要多少根小棒？

思考：老師仍舊沒有給出直觀的規(guī)律表格，只是將個數(shù)與根數(shù)實現(xiàn)對應，這種對應是“離散”的，更沒有展現(xiàn)過程，所以學生無法看出三角形個數(shù)與小棒的根數(shù)之間的內(nèi)在“關系”。

教師應引導建立上述表格，并引領著學生觀察、思考：此表中什么變了？什么沒有變？（觀察數(shù)據(jù)變，而關系不變）即把關注點放在對數(shù)量關系的研究與思考上。當需要擺無數(shù)個三角形時，需要多少根小棒？因為有上面的思考經(jīng)驗應該會自覺利用符號進行交流。需要3n根小棒，并讓孩子們說說3n的意義，這里3n不僅表示所需的小棒數(shù)是三角形個數(shù)的3倍關系，還能再現(xiàn)搭n個三角形所需的小棒為3n根。讓學生再次感受字母可以概括所有三角形；而用一個含有一個字母的式子可以概括所有需要小棒的根數(shù)。而此處建構的是倍數(shù)關系，同時體會用字母表示數(shù)的作用——簡潔性、概括性。

因而，從“過程層面”到“關系層面”的過渡，是實現(xiàn)具體到抽象的載體。學生應該在這個環(huán)節(jié)中實現(xiàn)符號化陳述能力的進一步發(fā)展。體驗用符號表征數(shù)學問題的必要性和優(yōu)越性。正因為缺乏老師對“假設字母要大膽，表示關系要小心”有意注意的引導；正因為沒有直觀建立這樣的等量關系；正因為缺少“把一直變化的量用字母表示，不變的量照寫”這種方法的指導。所以學生在第五環(huán)節(jié)出現(xiàn)了尷尬的境地，產(chǎn)生了前文所述的“殘蛙”情景：

生：唱“青蛙歌”： 1只青蛙，1張嘴，2只眼睛，4條退。

2只青蛙，2張嘴，4只眼睛，8條退

3只青蛙，3張嘴，6只眼睛，12條退

師啟發(fā)：若有n只青蛙，（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條退。

于是學生唱出：n只青蛙，n張嘴，n只眼睛，n條退。

老師咨詢學生為什么都是n呢？

學生的回答是：用字母可以表示任何數(shù)。

啟示：用符號來表示具體情景中隱含的數(shù)量關系和變化規(guī)律，需要進行思維分析，因而，數(shù)量關系的分析是建構代數(shù)思維的載體，沒有分析思維的出現(xiàn)就沒有代數(shù)思維的真正建立?！坝米帜副硎緮?shù)”不是代數(shù)思維的惟一表征。沒有分析性思維則無法建構用字母表示數(shù)的真正內(nèi)涵。

“用字母表示數(shù)”是一個動態(tài)形成的過程，這節(jié)課的數(shù)學本質(zhì)是引導學生弄清兩個相關聯(lián)的數(shù)量，可以用一個字母表示其中一個數(shù)量，用含有字母的式子表示另一個數(shù)量。而數(shù)量關系和變化規(guī)律是連接這兩個數(shù)量的紐帶。所以我們必須借助現(xiàn)實情景和簡單數(shù)量關系的分析，理解用字母表示數(shù)的意義，依托具體數(shù)量感受字母的概括性—抓住規(guī)律—找準關系—建立模型，這種由現(xiàn)實問題到數(shù)學模型的建立正是縱向數(shù)學化的過程。而在此過程中感受字母的概括性—抓住規(guī)律—找準關系則是實現(xiàn)學生思維抽象化發(fā)展不可逾越的環(huán)節(jié)。雖然這個過程是艱難的，但作為老師應該有這個意識和思想為孩子的思維進一步發(fā)展架起橋梁，使自己的數(shù)學課堂飛得更高一些。

參考文獻：

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作者簡介：吳緒益，男，1978年出生，安徽霍山人，下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學高級教師，本科，六安市第三屆教壇新星（2008）、六安市第三屆骨干教師（2014），研究方向：小學數(shù)學教育教學。

編輯 薛直艷endprint