曾 波, 石娟娟，周雪玉

(1. 重慶工商大學(xué) a.工商務(wù)策劃學(xué)，b.裝備系統(tǒng)服役健康保障重慶市級(jí)國(guó)際聯(lián)合研究中心，重慶 400067；2.渥太華大學(xué) 機(jī)械工程系， 渥太華 安大略 K1N 6N5 加拿大)

基于Cramer法則的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型參數(shù)優(yōu)化方法研究

曾 波1a,1b, 石娟娟1b,2，周雪玉1b

(1. 重慶工商大學(xué) a.工商務(wù)策劃學(xué)，b.裝備系統(tǒng)服役健康保障重慶市級(jí)國(guó)際聯(lián)合研究中心，重慶 400067；2.渥太華大學(xué) 機(jī)械工程系， 渥太華 安大略 K1N 6N5 加拿大)

以改善區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的模擬及預(yù)測(cè)性能為目的，對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的參數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行研究，應(yīng)用Cramer法則推導(dǎo)了核序列GM(1,1)模型通用形式的參數(shù)無(wú)偏估計(jì)新方法，從理論上證明了新方法對(duì)非齊次指數(shù)“核”序列的模擬無(wú)偏性，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；通過與優(yōu)化前的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型模擬精度進(jìn)行比較，結(jié)果表明新模型具有更為優(yōu)秀的模擬及預(yù)測(cè)性能。此研究成果對(duì)豐富和完善灰色預(yù)測(cè)模型方法體系與拓展灰色模型應(yīng)用范圍，具有積極意義。

灰色理論；預(yù)測(cè)模型；Cramer法則；區(qū)間灰數(shù)；參數(shù)優(yōu)化

一、引 言

灰色預(yù)測(cè)模型是灰色理論的重要分支，是處理小樣本不確定性預(yù)測(cè)問題的常用方法[1]，區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型是灰色預(yù)測(cè)模型體系中的重要組成部分，它實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)灰色模型建模對(duì)象從實(shí)數(shù)到灰數(shù)的延伸，對(duì)拓展灰色預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用范圍、促進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型與現(xiàn)實(shí)問題的有效對(duì)接、豐富灰色預(yù)測(cè)模型理論體系，均具有重要價(jià)值[2]。

方志耕等人較早對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型建模方法進(jìn)行了研究，定義了標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)和第一與第二標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)的概念，設(shè)計(jì)了普通區(qū)間灰數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間灰數(shù)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則，構(gòu)建了基于GM(1, 1)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[3]；孟偉基于區(qū)間灰數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化處理的研究思路，通過將區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，推導(dǎo)并構(gòu)建了基于區(qū)間灰數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，將該模型成功應(yīng)用于城市外來(lái)工數(shù)量的預(yù)測(cè)[4]；曾波以區(qū)間灰數(shù)的“核”為基礎(chǔ)，以“灰度不減公理”為理論依據(jù)，推導(dǎo)了面向區(qū)間灰數(shù)的模擬及預(yù)測(cè)模型[5]；曾波等人又提出了基于灰數(shù)帶及灰數(shù)層的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[6]；吳利豐等人在避免區(qū)間灰數(shù)之間代數(shù)運(yùn)算的前提下，通過區(qū)間灰數(shù)認(rèn)知度構(gòu)建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[7]；袁潮清等人將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的發(fā)展趨勢(shì)序列和認(rèn)知程度序列，充分利用了區(qū)間灰數(shù)序列自身所包含的有效信息，所構(gòu)建的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型具有較好的實(shí)用性[8]；劉解放等人提出了基于核與灰半徑的連續(xù)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，在不破壞灰數(shù)整體性的前提下,實(shí)現(xiàn)了對(duì)于連續(xù)區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測(cè)[9]；王大鵬等人提出了合成灰數(shù)灰度的定義及其性質(zhì)，據(jù)此分析了模型存在的問題，并建立灰度序列的預(yù)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)灰度預(yù)測(cè)，以代替原有模型中灰度預(yù)測(cè)值的確定方法，從而改進(jìn)和完善了原有區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型[10]；郭曉君等人結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理，構(gòu)建了基于合成灰數(shù)灰度的區(qū)間灰數(shù)自憶性耦合預(yù)測(cè)模型[11]；還有學(xué)者組合了區(qū)間灰數(shù)序列的幾何特征與代數(shù)特征，并根據(jù)區(qū)間灰數(shù)的取值分布信息，對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型及區(qū)間灰數(shù)白化方法進(jìn)行了研究[12-14]。目前，區(qū)間灰數(shù)模型已經(jīng)被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)預(yù)測(cè)、用水量預(yù)測(cè)、客運(yùn)量預(yù)測(cè)、地下水位預(yù)測(cè)、電力負(fù)荷預(yù)測(cè)等領(lǐng)域[15-19]。

目前，由于現(xiàn)有區(qū)間灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算將導(dǎo)致結(jié)果灰度增加，因此為了規(guī)避區(qū)間灰數(shù)之間的代數(shù)運(yùn)算，上述區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型均是從不同角度將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)序列，之后再建立這些實(shí)數(shù)序列的GM(1,1)或其他單變量灰色模型，以實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)上界及下界計(jì)算公式的推導(dǎo)。然而，大量的理論研究與實(shí)際應(yīng)用證明，GM(1,1)模型是有誤差的，因此建立在該模型之上的區(qū)間灰數(shù)上界及下界模擬及預(yù)測(cè)值，同樣也存在誤差。為了解決該問題，本文擬應(yīng)用Cramer法則對(duì)區(qū)間灰數(shù)“核”序列的無(wú)偏估計(jì)方法進(jìn)行研究，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建一種新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，并通過與參考文獻(xiàn)[5]中的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的模擬精度進(jìn)行比較，證明本文所提出的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型具有更好的模擬及預(yù)測(cè)性能。

二、基于Cramer法則的區(qū)間灰數(shù)核序列GM(1, 1)模型參數(shù)估計(jì)

根據(jù)定義1與定義2可知：

(1)

式(1)可變形為：

(2)

(3)

若Ν≠0，則非齊次方程組(3)的解為：

(4)

其還原式為：

(5)

式(5)稱為基于Cramer法則參數(shù)估計(jì)法的區(qū)間灰數(shù)核序列GM(1, 1)新模型，通過式(5)推導(dǎo)得到的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，稱為Cramer區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，簡(jiǎn)稱CIGM(1,1)模型。

三、CIGM(1,1)模型性質(zhì)

性質(zhì)：CIGM(1,1)模型能實(shí)現(xiàn)非齊次指數(shù)序列的無(wú)偏模擬。

證明：設(shè)區(qū)間灰數(shù)核序列為非齊次指數(shù)序列：

(6)

根據(jù)式(6)可知：

在Γ1中，u、q、v均為常數(shù)，根據(jù)行列式性質(zhì)對(duì)Γ1進(jìn)行簡(jiǎn)化得：

Γ1=

類似地，Γ2、Γ3簡(jiǎn)化為：

Γ2=

Γ3=

根據(jù)Cramer法則得：

(7)

類似地

根據(jù)式(5)可知CIGM(1,1)模型的還原式為：

(8)

根據(jù)式(8)可知：

?

(9)

四、模型比較與精度分析

本節(jié)將以參考文獻(xiàn)[5]中所提出的區(qū)間灰數(shù)序列為建模對(duì)象，分別應(yīng)用CIGM(1,1) 模型及參考文獻(xiàn)[5]中所提出的模型對(duì)該區(qū)間灰數(shù)序列的核序列、上界及下界序列進(jìn)行模擬，并對(duì)模擬精度進(jìn)行比較和分析，以驗(yàn)證CIGM(1,1)模型相對(duì)于既有模型的有效性與實(shí)用性。

計(jì)算得：

(二)CIGM(1,1)模型的構(gòu)建及模擬誤差的比較

表1 兩個(gè)模型核序列模擬值、殘差及模擬誤差對(duì)比表

(三)區(qū)間灰數(shù)上下界的推導(dǎo)及模擬誤差的比較

根據(jù)區(qū)間灰數(shù)核的定義及計(jì)算方法，可以推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)區(qū)間灰數(shù)上界及下界的模擬值及模擬精度，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 兩個(gè)模型區(qū)間灰數(shù)上下界模擬值、殘差及模擬誤差對(duì)比表

從表1和表2看出，本文所提出的CIGM(1,1)模型，無(wú)論在核序列還是區(qū)間灰數(shù)上下界的模擬誤差方面，均優(yōu)于參考文獻(xiàn)[5]所提出的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，其主要原因是CIGM(1,1)模型本身是一個(gè)能夠自適應(yīng)齊次及非齊次指數(shù)序列的智能模型，它能夠根據(jù)建模序列的實(shí)際情況應(yīng)用Cramer法則自動(dòng)優(yōu)化模型參數(shù)；參考文獻(xiàn)[5]中所提出的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的核心是GM(1,1)模型，該模型的最終還原式為一個(gè)完全齊次指數(shù)函數(shù)，這限制了該模型對(duì)近似非齊次指數(shù)序列的模擬能力，而且即使對(duì)于一個(gè)完全符合齊次指數(shù)規(guī)律的序列，該模型同樣存在模擬誤差，所以本文提出的CIGM(1,1)模型具有更加優(yōu)良的模擬性能。

五、結(jié)束語(yǔ)

目前，由于灰代數(shù)運(yùn)算體系尚不完善，灰數(shù)間的代數(shù)運(yùn)算將導(dǎo)致結(jié)果灰度增加，因此研究人員在構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型時(shí)為了規(guī)避建模過程中的區(qū)間灰數(shù)運(yùn)算問題，通常將區(qū)間灰數(shù)序列按照不同方法轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)序列，然后通過建立實(shí)數(shù)序列的單變量灰色預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)上界及下界的模擬及預(yù)測(cè)?？梢?，單變量灰色預(yù)測(cè)模型性能之優(yōu)劣對(duì)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型之精度具有重要影響。基于此，本文從優(yōu)化單變量灰色預(yù)測(cè)模型精度的角度改善原有區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的模擬性能，主要通過Cramer法則對(duì)區(qū)間灰數(shù)“核”序列進(jìn)行無(wú)偏估計(jì)，進(jìn)而構(gòu)建了能自適應(yīng)齊次及非齊次指數(shù)序列的智能灰色模型CIGM(1,1)，該模型能夠根據(jù)建模序列的實(shí)際情況應(yīng)用Cramer法則對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行自動(dòng)優(yōu)化，具有較為優(yōu)秀的模擬性能。如何將本文的研究思路應(yīng)用于優(yōu)化離散灰數(shù)預(yù)測(cè)模型及白化權(quán)函數(shù)已知條件下的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型，將是本項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)下一步研究的主要內(nèi)容。

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(責(zé)任編輯：郭詩(shī)夢(mèng))

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3.中圖分類號(hào)。許多來(lái)稿中缺少中圖分類號(hào)這一項(xiàng)。添加這一項(xiàng)的主要目的是為了對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分類，便于讀者檢索。我刊現(xiàn)采用北京圖書館出版社出版的《中國(guó)圖書館分類法》(第四版)對(duì)學(xué)術(shù)論文進(jìn)行文獻(xiàn)分類。敬請(qǐng)作者在來(lái)稿時(shí)注意添加這一項(xiàng)，因?yàn)樽髡邔?duì)所研究的問題，包括歷史與現(xiàn)狀相對(duì)熟悉，選擇分類號(hào)時(shí)更不容易分錯(cuò)，這對(duì)該文獻(xiàn)的檢索將起到很大的幫助。

4.基金項(xiàng)目的著錄。本刊來(lái)稿中各類基金項(xiàng)目稿件很多，但經(jīng)常出現(xiàn)項(xiàng)目具體名稱遺漏現(xiàn)象。請(qǐng)參照本刊格式將基金項(xiàng)目類別、具體名稱、編號(hào)等書寫齊全。

本刊編輯部

Research on the Parameter Optimal Method of Interval Grey Number Prediction Model based on Cramer Rule

ZENG Bo1a,1b, SHI Juan-juan1b,2, ZHOU Xue-Yu1b

(1a. College of Business Planning, 1b. Research Center of System Health Maintenance,Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China;2. Department of Mechanical Engineering, University of Ottawa, Ottawa K1N 6N5, Canada)

The parameter optimal method of interval grey number prediction model was studied to improve its simulative and predictive performance in this paper. It applied Cramer rule to deduce the novel unbiased estimation method of GM(1,1) model common form for interval grey numbers' kernel sequence, and the simulative unbiasedness of the novel method for nonhomogeneous exponent kernel sequences has been theoretically proven and a new interval grey number prediction model has been established. Comparing the simulative accuracy of the novel model with that of the previous interval grey model without parameter optimization reveals that the novel method has better performances in terms of modeling and prediction. The findings in this paper enrich the literature of grey prediction model and pave the way towards extending the application of grey model.

grey theory; prediction model; cramer rule; interavl grey number; parameter optimal

2015-03-30；修復(fù)日期：2015-04-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《多源信息集結(jié)條件下灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)建模方法及其應(yīng)用研究》(71271226)；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目《灰信息數(shù)據(jù)類型異構(gòu)條件下灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)建模方法研究》(2014M560712)；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目《面向異構(gòu)數(shù)據(jù)的灰色預(yù)測(cè)系統(tǒng)建模對(duì)象拓展研究》(cstc2014jcyjA00024)

曾 波，男，四川威遠(yuǎn)人，工學(xué)博士，教授、博士后，研究方向：系統(tǒng)預(yù)測(cè)、決策及評(píng)價(jià)方法。

N941.5

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1007-3116(2015)08-0009-07