●沈 良 (蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311202)

結(jié)構(gòu)觀在規(guī)則課教學(xué)中的應(yīng)用研究
——以“余弦定理”第一課時(shí)教學(xué)為例

●沈 良 (蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311202)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)按知識(shí)分類有概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)和問題解決學(xué)習(xí)，相應(yīng)的課堂教學(xué)有概念教學(xué)、規(guī)則教學(xué)和問題解決教學(xué).一般地，數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)包含數(shù)學(xué)公理、定理、法則、公式等內(nèi)容的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)規(guī)則是幾個(gè)數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的陳述，其表現(xiàn)形式是語言和符號(hào)，這些語言和符號(hào)是數(shù)學(xué)家們根據(jù)對客觀事物屬性的感知進(jìn)行思維構(gòu)造的結(jié)果.因此數(shù)學(xué)規(guī)則以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)，反映若干概念之間的關(guān)系;同時(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)則以問題解決為目的，反映在數(shù)學(xué)規(guī)則的應(yīng)用方面.可以說數(shù)學(xué)規(guī)則是聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)問題解決的橋梁，是數(shù)學(xué)問題解決的重要工具.

數(shù)學(xué)規(guī)則表現(xiàn)為一定的語言和符號(hào)，總是包含某種特定內(nèi)容，諸如一定的背景、意義與功能等;數(shù)學(xué)規(guī)則總是呈現(xiàn)某種特定形式，表現(xiàn)為一定的結(jié)構(gòu)特征;數(shù)學(xué)規(guī)則總是蘊(yùn)涵某種特定思維，給予學(xué)生思考落腳點(diǎn).文獻(xiàn)［1］指出:結(jié)構(gòu)觀下的教學(xué)應(yīng)凸顯結(jié)構(gòu)的地位，使學(xué)生的學(xué)習(xí)、解題、反思等活動(dòng)都能適度地從結(jié)構(gòu)的形式、特征與功能等角度出發(fā)思考.因此在規(guī)則教學(xué)中，如何在規(guī)則的引入、證明、特征探索及應(yīng)用中融入結(jié)構(gòu)觀，啟迪學(xué)生思維，值得我們研究.筆者結(jié)合“余弦定理”第1課時(shí)的教學(xué)，談?wù)劇敖Y(jié)構(gòu)觀”在規(guī)則教學(xué)中的融入.

1 感知識(shí)別，鋪墊規(guī)則

“感知識(shí)別，鋪墊規(guī)則”指設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，激發(fā)學(xué)生思考，初步感知與識(shí)別問題，為新規(guī)則的學(xué)習(xí)作好鋪墊.設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}，當(dāng)以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點(diǎn)，利用靈活多變的教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.如由特殊到一般的方式實(shí)現(xiàn)規(guī)則的猜想，由具體到抽象的方式實(shí)現(xiàn)規(guī)則的歸納，由其他事物的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)規(guī)則的類比，由開放性的問題實(shí)現(xiàn)規(guī)則的尋根究底，等等.

實(shí)錄1 呼喚新工具——余弦定理的引入

師:前面我們學(xué)習(xí)了正弦定理，請思考正弦定理能夠幫助我們解決什么樣的解三角形問題?

生1:“2角1邊”和“2邊1角”問題.

師:在“2角1邊”中，邊是對邊還是鄰邊?

生1:好像對邊和鄰邊都可以.如果知道∠A，∠B和邊長a，利用正弦定理，就能求邊長b，∠C和邊長c;如果知道∠A，∠B和邊長c，可以先求得∠C，再去求邊長a和b.

(教師結(jié)合正弦定理同步展示).

師:那在“2邊1角”問題中，角是對角還是夾角?

生1:若是對角，比如知道邊長a，b和∠A，由正弦定理可先求∠B，再求∠C和邊長c.若是夾角，如果知道邊長a，b和∠C，用正弦定理似乎解不了.

師:針對“2邊1夾角”問題，正弦定理似乎無能為力，但已知“2邊1夾角”的三角形確定嗎?為什么?

生2:確定，因?yàn)楦鶕?jù)初中知識(shí)“邊角邊”對應(yīng)相等可以判斷三角形全等.

師:嗯，既然確定，那么我們能否來解這個(gè)三角形呢?不妨先思考下列問題:在△ABC中，已知邊長a，b和∠C，試求邊長c.

……

評(píng)析 通過“正弦定理能解決什么樣的解三角形問題”，復(fù)習(xí)舊知，有效幫助學(xué)生梳理解三角形的幾個(gè)問題，并由學(xué)生所提“2角1邊”、“2邊1角”問題細(xì)化為“2角1對邊”、“2角1鄰邊”、“2邊1對角”和“2邊1夾角”問題.又為引入新知作好鋪墊，尋求“2邊1夾角”問題的解決.這里的結(jié)構(gòu)一方面表現(xiàn)為“幾何圖式”，根據(jù)三角形中已知的一些邊角元素進(jìn)行歸類劃分;另一方面表現(xiàn)為“方程形式”，運(yùn)用“知三求一”或“知二求二”思想剖析解決.

2 推導(dǎo)固化，建構(gòu)規(guī)則

“推導(dǎo)固化，建構(gòu)規(guī)則”是指以問題情景或猜想結(jié)論等為背景，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有知識(shí)方法推導(dǎo)與建構(gòu)規(guī)則.這是“感知識(shí)別”基礎(chǔ)上的發(fā)展過程，是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的過程，也是進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思維的過程，亦是充分挖掘規(guī)則建立中蘊(yùn)含思想方法與思維價(jià)值的過程.

實(shí)錄2 尋找新方法——余弦定理的推導(dǎo)

圖1

余弦定理推導(dǎo)過程中，拋出問題“在△ABC中，已知邊長a，b和∠C，試求邊長c”，給予學(xué)生足夠時(shí)間探究，主張由學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理證明的各種方法.當(dāng)然，限于學(xué)生的知識(shí)與能力水平，探究不能一蹴而就，此時(shí)教師的引導(dǎo)非常重要，“憤”、“悱”狀態(tài)下學(xué)生的思維是最活躍的，加上教師畫龍點(diǎn)睛，學(xué)生會(huì)思如泉涌.

生3:過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則

AB2=AD2+DB2=(AC·sin C)2+(CB－CD)2，即

c2=b2·sin2C+(a－b cos C)2=

a2+b2－2ab cos C.

師:你是如何想到作高的?

生3:我想用勾股定理，因此作高試試看.

師:非常好，該同學(xué)將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.請大家思考這樣一個(gè)問題:三角形高線一定在三角形內(nèi)部嗎?若高線在外部，結(jié)論是否還相同?

通過教師啟發(fā)，學(xué)生及時(shí)想到“當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，高線AD在三角形外部”的情形，同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)論不變.但當(dāng)教師提問“其他同學(xué)是否還有其他證法”時(shí)，學(xué)生沉默不語，沒能聯(lián)想到向量法或坐標(biāo)法等，思維的跳躍性似乎不夠，因此需要教師進(jìn)行有效引導(dǎo).

師:前面我們學(xué)習(xí)了向量，其中一節(jié)內(nèi)容是向量在平面幾何中的應(yīng)用，也就是說幾何問題能夠轉(zhuǎn)化為向量問題解決.“已知2邊及其夾角，求對邊長”，也就是求，如何解決?

所以 c2=a2+b2－2ab cos C.

師:你是如何想到的?

師:運(yùn)用向量轉(zhuǎn)化和平方的技巧，能簡潔明快地求得長度c.事實(shí)上，余弦定理蘊(yùn)涵于向量數(shù)量積定義之中，由“ ”可以直接構(gòu)造出余弦定理，請同學(xué)們思考.

生6:用配方進(jìn)行構(gòu)造:

可得上述結(jié)論.

師:結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用數(shù)量積定義可以巧妙構(gòu)造出余弦定理，這也顯示了向量應(yīng)用的普適性與數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.

師:要求邊AB的長，能否換個(gè)角度，AB的長也就是點(diǎn)A，B間的距離，你能聯(lián)想到什么?

生7:可以建立坐標(biāo)系.

師:若是建系，你會(huì)建立怎樣的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)又會(huì)是多少?

生7:可以取點(diǎn)C為原點(diǎn)、CB為x軸、垂直于CB的直線為y軸.這樣B(a，0)，A(b cos C，b sin C)，從而AB的長度可求.

……

評(píng)析 對于方法1，作高是學(xué)生最能想到的，因?yàn)檎叶ɡ碜C明中已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，給予學(xué)生一定的探究時(shí)間，或多或少會(huì)有些收獲.而方法2、方法3的關(guān)鍵是如何幫助學(xué)生迅速聯(lián)想到方法，建立知識(shí)聯(lián)系.在宏觀上，要教給學(xué)生問題解決的方法，諸如高中平面幾何可用幾何法、向量法、坐標(biāo)法(解析法)等解決問題，使學(xué)生在宏觀層面上有思考的視角.在微觀上，要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，特別是立足問題的結(jié)構(gòu)形式與具體特征，展開分析聯(lián)想，如非直角結(jié)構(gòu)化為直角結(jié)構(gòu)，由“2邊1夾角”聯(lián)想到向量數(shù)量積，把長度視作2個(gè)點(diǎn)間的距離以及聯(lián)想到坐標(biāo)法等，從而使思維有支撐點(diǎn).

3 把握特征，賞析規(guī)則

“把握特征，賞析規(guī)則”是指規(guī)則建立之后，讓學(xué)生感知結(jié)構(gòu)的特征形式，從而更好地利用規(guī)則解決問題.同時(shí)數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)中的規(guī)則往往蘊(yùn)含簡潔美、對稱美、符號(hào)美、理性美等，故教師要引導(dǎo)學(xué)生賞析結(jié)構(gòu)中的各種美，激發(fā)學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)的熱情.

實(shí)錄3 品味新規(guī)則——余弦定理賞析

余弦定理及其推論得到之后，教師不急于應(yīng)用定理解決問題，而是先讓學(xué)生觀察余弦定理及其推論的結(jié)構(gòu)形式.

生8:我覺得推論是一個(gè)二次齊次式，和我們學(xué)三角函數(shù)中的一類問題差不多.

師:這是怎樣的一類二次齊次式問題?

生8:如分子、分母中關(guān)于sin x，cos x都為二次的分式問題.

生9:我覺得余弦定理的3個(gè)式子呈相互輪換的形式.a2用 b2，c2與 cos A表示;b2用 c2，a2與cos B表示;c2用a2，b2與cos C表示，依次輪換，容易記憶.

……

評(píng)析 數(shù)學(xué)規(guī)則具有較強(qiáng)的抽象性、簡潔性與深刻性，學(xué)生接受一個(gè)新規(guī)則總需要一定的時(shí)間和過程.接觸到新規(guī)則之后，首要任務(wù)便是讓學(xué)生感受規(guī)則的特征形式與內(nèi)涵，由外在形式去認(rèn)識(shí)規(guī)則的內(nèi)涵，加強(qiáng)對公式的感知與識(shí)別.

4 建立模式，應(yīng)用規(guī)則

“建立模式，應(yīng)用規(guī)則”是指應(yīng)用規(guī)則，解決相應(yīng)問題.數(shù)學(xué)中的規(guī)則往往具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，能幫助我們解決一些相關(guān)問題.新課教學(xué)中，運(yùn)用規(guī)則解決相關(guān)問題也是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別問題、建立模式的過程.特別是規(guī)則的應(yīng)用之初，掌握一定的程式是十分有必要的，這也是培養(yǎng)學(xué)生掌握基本技能的過程.

實(shí)錄4 應(yīng)用新規(guī)則——余弦定理的應(yīng)用

例1 在△ABC中，已知b=3，c=1，A=60°，求邊長a.

練習(xí)1 在△ABC中，若a2+b2+ab－c2=0，則∠C =.

練習(xí)2 在△ABC中，b·cos C+c·cos B= ___________.

?練習(xí)3 在△ABC中，若AB=6，AC =3?且12，則BC =____________.

評(píng)析 例1～例3讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再探討解決.因?yàn)槭切抡n教學(xué)，難度設(shè)置較低，旨在讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用余弦定理解決問題.其意義又是深刻的，3個(gè)問題包含3種情形，并讓學(xué)生總結(jié)思考“利用余弦定理可以解決哪些解三角形問題”，從而使學(xué)生體會(huì)到余弦定理應(yīng)用的問題結(jié)構(gòu)，如“2邊1角”和“3邊長”問題，而對于“2邊1對角”要視具體問題選擇正弦或余弦定理解決.

練習(xí)1設(shè)置的目的在于進(jìn)一步應(yīng)用結(jié)構(gòu)特征解決問題，可以將條件構(gòu)造成

從而求得cos C;也可將等式轉(zhuǎn)化為

代入定理求解;2種方法都很好地利用了結(jié)構(gòu)的特征形式.練習(xí)2的設(shè)置不僅在于利用余弦定理化簡等式，更在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何的方法看待數(shù)式意義.練習(xí)3既可以借助=12先求得cos A，再利用余弦定理求得BC;也可以化為，然后2邊平方求得BC，再次闡釋余弦定理與向量法緊密相連.

5 幾點(diǎn)反思

5.1 啟發(fā)思維

規(guī)則表現(xiàn)為一定的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含一定的特征，特征能被學(xué)生感知、發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等，從而激活學(xué)生的思維.如上，余弦定理的發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、證明與應(yīng)用過程中，都展現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)”對學(xué)生思維的啟迪作用.余弦定理引入中，是對解三角形中特定幾何條件展開研究;余弦定理推導(dǎo)中，是立足特定的“長度”與“角度”展開聯(lián)想與方法探索;余弦定理應(yīng)用中，是不斷嘗試并初步建立模式與識(shí)別.規(guī)則教學(xué)中，利用結(jié)構(gòu)啟發(fā)學(xué)生思維應(yīng)貫穿于規(guī)則的探索、建構(gòu)與應(yīng)用等一系列過程中.教師需利用屬性顯然的結(jié)構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生思考，點(diǎn)燃學(xué)生的思維，借助結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)規(guī)則的識(shí)別、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)等.

5.2 實(shí)現(xiàn)探究

在數(shù)學(xué)中，規(guī)則總是包含豐富內(nèi)涵，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)條件給予學(xué)生足夠多的時(shí)間探究規(guī)則.1)規(guī)則形成階段:可以通過學(xué)生考察命題特例，然后抽象、概括出規(guī)則，也可以巧設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲;2)規(guī)則證明階段:要引導(dǎo)學(xué)生反思探究，從多種途徑、多種角度證明規(guī)則，有利于加深對數(shù)學(xué)規(guī)則的理解和記憶，有助于學(xué)生在不同的情境中運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則解決問題，也有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)規(guī)則網(wǎng)絡(luò);3)規(guī)則應(yīng)用階段:不妨拋出問題讓學(xué)生展開思考，嘗試問題解決，通過自主探究、小組合作等方式，發(fā)現(xiàn)規(guī)則的應(yīng)用模式，培養(yǎng)良好的探究能力.

5.3 內(nèi)化結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)是外在形式和內(nèi)在本質(zhì)的統(tǒng)一體，外在形式或許通過記憶就能區(qū)分聯(lián)系，但對于內(nèi)在本質(zhì)的掌握就要求學(xué)生必須內(nèi)化.在規(guī)則內(nèi)化階段，需要明確數(shù)學(xué)規(guī)則的前提、結(jié)論和證明過程，明確規(guī)則前提的各部分對規(guī)則結(jié)論的影響，明確在何條件下適宜運(yùn)用這一規(guī)則來解決問題;需要明確新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)規(guī)則與已建立的數(shù)學(xué)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中的原有的數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系，明確它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，并使新規(guī)則融合到相應(yīng)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.只有當(dāng)學(xué)生真正深刻理解這一系列問題時(shí)，才能做到“心中既有結(jié)構(gòu)、心中又無結(jié)構(gòu)”，真正實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)觀下的解題與學(xué)習(xí).

［1］ 沈良.略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012(12):1-3.