●鄭愛(ài)素 (石浦中學(xué) 浙江象山 315731) ●奚喜兵 (丹城中學(xué) 浙江象山 315700)

以“等邊三角形”為載體的“全等三角形復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)

●鄭愛(ài)素 (石浦中學(xué) 浙江象山 315731) ●奚喜兵 (丹城中學(xué) 浙江象山 315700)

“用科學(xué)的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，提升復(fù)習(xí)的有效性”是每一位數(shù)學(xué)教師所思考的問(wèn)題.一節(jié)高效的復(fù)習(xí)課不但要回顧并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，還應(yīng)該是知識(shí)的提高與升華，更是方法的提煉與總結(jié)，以及數(shù)學(xué)思想方法、思維能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練.在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中應(yīng)以教材典型問(wèn)題為主線，適當(dāng)變式、拓展，使其源于教材，又不拘泥于教材.筆者就浙教版《數(shù)學(xué)》8年級(jí)上冊(cè)中“全等三角形”這一章的復(fù)習(xí)課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，將自己的一些想法與同行分享.

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 開(kāi)門見(jiàn)山，呈現(xiàn)例題，指明課題

教師陳述:“全等三角形”是解決有關(guān)線段相等、角相等的重要工具與手段;等邊三角形是一類特殊的三角形，在解題與考試中有較多的應(yīng)用.本節(jié)課以“等邊三角形”為載體進(jìn)行“全等三角形”的復(fù)習(xí):

例1 如圖1，△ABC為等邊三角形，D，E是BC邊上的2個(gè)點(diǎn)，滿足BD=CE.

1)等邊三角形有哪些特性?

2)你能找出其中的一對(duì)全等三角形嗎?如何證明?

3)圖1中還有其他全等三角形嗎?如何證明?

4)圖1中有等腰三角形嗎?如何證明?

設(shè)計(jì)意圖 教師避開(kāi)常規(guī)復(fù)習(xí)課對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單羅列，開(kāi)門見(jiàn)山呈現(xiàn)問(wèn)題，一開(kāi)始就調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維.例1以學(xué)生熟悉的等邊三角形為背景，設(shè)置了4個(gè)小問(wèn)題.這4個(gè)小問(wèn)題聯(lián)系緊密，從學(xué)生熟悉的等邊三角形出發(fā)，然后辨認(rèn)全等三角形，再證明全等三角形，最后用全等三角形的性質(zhì)說(shuō)明等腰三角形，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在教學(xué)時(shí)，教師可以先讓學(xué)生思考片刻，并在學(xué)案上完成任務(wù)，然后讓學(xué)生回答，并作出合理評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)用不同的方法證明，培養(yǎng)一題多解的能力.

2.2 一題多變，優(yōu)化學(xué)生的思維能力

一題多變體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性和數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的多元性，從而能優(yōu)化學(xué)生的思維，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，使學(xué)生對(duì)本題有更全面的認(rèn)識(shí)和理解.

圖1

圖2

變式1 如圖2，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，滿足BD=AE，AD與BE交于點(diǎn)F.

1)圖2中有幾對(duì)全等三角形?分別寫(xiě)出來(lái)并說(shuō)明你判斷的理由.

2)圖2中有等腰三角形嗎?如何證明?

教學(xué)預(yù)設(shè) 對(duì)△ABD≌△BAE的證明，方法比較單一(SAS)，但判斷△BFD≌△AFE的方法比較多，學(xué)生可以相互補(bǔ)充;對(duì)第2)小題等腰三角形的辨認(rèn)，學(xué)生根據(jù)圖形的直觀感覺(jué)，估計(jì)只能說(shuō)出△ABF是等腰三角形，對(duì)圖形移動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的特殊情景很難作出判斷(△AEF和△BDF也是等腰三角形)，教師可以通過(guò)引導(dǎo)、啟發(fā)、追問(wèn)等方式進(jìn)行.

3)當(dāng)點(diǎn)D，E的位置發(fā)生變化時(shí)，△BFD和△AFE有可能是等腰三角形嗎?

圖3

圖4

4)觀察:當(dāng)圖3和圖4中的△BFD和△AFE是等腰三角形時(shí)，你能計(jì)算∠FBD的度數(shù)嗎?

(答案:圖3中∠FBD=40°，圖4中∠FBD= 20°.)

設(shè)計(jì)意圖 教師通過(guò)幾何畫(huà)板在圖2的基礎(chǔ)上，移動(dòng)點(diǎn)D的位置(此時(shí)點(diǎn)E的位置相應(yīng)地改變)，學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察幾何畫(huà)板設(shè)置的“度量結(jié)果線段的長(zhǎng)度顯示”，發(fā)現(xiàn)圖3中DB=DF，EA=EF，而圖4中出現(xiàn)BD=BF，AE=AF，第3)小題得以解決;第4)小題中∠FBD度數(shù)的計(jì)算，需要用到三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)等，還需通過(guò)解方程才能完成.

變式2 如圖5，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，滿足BD=CE. 1)圖5中△ABD≌△BCE成立嗎?如何證明? 2)還有其他全等的三角形嗎?如何證明?

3)在點(diǎn)D，E移動(dòng)變化的過(guò)程中，∠AFE的大小是否發(fā)生相應(yīng)的變化?如果有變化，請(qǐng)說(shuō)出變化規(guī)律;如果沒(méi)有變化，請(qǐng)求出∠AFE的大小，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于第1)小題，學(xué)生會(huì)用SAS的方法證明△ABD≌△BCE;對(duì)于第2)小題學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、思考，應(yīng)該能找出△ADC≌△BEA，并加以證明;第3)小題比較抽象，教師可以通過(guò)幾何畫(huà)板演示，點(diǎn)擊點(diǎn)D的位置并拖動(dòng)，示意學(xué)生注意觀察∠AFE的度數(shù)是否變化，在學(xué)生直觀感知∠AFE的大小固定不變后，教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)等加以計(jì)算，得出∠AFE的大小是60°.基本過(guò)程如下:

由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，于是∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBE=∠ABC=60°.

圖5

圖6

變式3 如圖6，若點(diǎn)D，E分別在邊CB，AC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，變式2中的結(jié)論還都成立嗎?

(說(shuō)明:課堂教學(xué)過(guò)程中，教師利用幾何畫(huà)板展示圖6中點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程，示意學(xué)生注意觀察相應(yīng)角度的變化.)

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)一組變式題的交流研究，充分激發(fā)學(xué)生的求知欲，滿足不同層次學(xué)生的不同需求，提高課堂復(fù)習(xí)效率.通過(guò)不斷改變題中的條件，或者改變圖形的方式，促進(jìn)解題思路的改變與解題方法的調(diào)整，有利于學(xué)生舉一反三，加深對(duì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的掌握，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和探究創(chuàng)新的科學(xué)精神.

2.3 多題一解，培養(yǎng)化歸思維能力

有不少數(shù)學(xué)習(xí)題雖然講述的不是同一件事，或者呈現(xiàn)方式不同，但是，它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)完全一樣，或是解題方法基本類似.將這樣一些表面各不相同而本質(zhì)完全一樣的若干習(xí)題放在一起進(jìn)行教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維能力.

例2 如圖7，△ABC，△EDC均為等邊三角形，點(diǎn)D，B，C在一條直線上，聯(lián)結(jié)AD，BE，延長(zhǎng)EB交AD于點(diǎn)F.

1)找出圖7中的全等三角形，并說(shuō)明理由;

2)求∠DFE的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生有了上面例1的解答與相關(guān)變式練習(xí)的解題經(jīng)驗(yàn)后，不難找出△ACD≌△BCE，但是∠DFE的度數(shù)計(jì)算就沒(méi)有∠AFE= 60°那么容易了，需要先求

∠AFB=∠ADE+∠DEF=

∠ADC+60°+∠DEF=

60°+∠DEF+∠CEF=

60°+60°=120°，

從而 ∠DFE=60°.

圖7

圖8

變式1 如圖8，當(dāng)點(diǎn)D，B，C不在一條直線上時(shí)，此時(shí)例2中的結(jié)論還成立嗎?說(shuō)明理由.

變式2 如圖9，點(diǎn)A，C，E在一條直線上，在同側(cè)作等邊△ABC和△EDC，聯(lián)結(jié)AD，BE，相交于點(diǎn)F.

1)圖中有幾對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由;

2)求∠DFE的度數(shù);

3)判斷CM與CN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖9

圖10

變式3 如圖10，當(dāng)點(diǎn)A，C，E不在一條直線上時(shí)，上述結(jié)論還成立嗎?

設(shè)計(jì)意圖 3道變式題的解題思路基本相同，推理過(guò)程基本類似，學(xué)生在獨(dú)立思考基礎(chǔ)上通過(guò)同學(xué)之間交流，一般都能完成解答.解題過(guò)程只需學(xué)生個(gè)別口述，教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng).通過(guò)例2與一組變式類比，可以培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維，能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，多題歸一，以不變應(yīng)萬(wàn)變，提煉出數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力.看似圖形位置發(fā)生了變化，其實(shí)解題思路、方法卻是相通的，只是變式2和變式3中求∠DFE的度數(shù)時(shí)，需要2次用到“三角形的外角性質(zhì)”，說(shuō)明CM=CN需要用到2次全等，從而進(jìn)一步要求學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維能力.

3 反思

3.1 復(fù)習(xí)課貴在主題明確，學(xué)生積極參與

提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效率，關(guān)鍵在于確定復(fù)習(xí)的主題，將教學(xué)的起點(diǎn)基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和能力起點(diǎn)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)，使各個(gè)層次的學(xué)生都能獲得相應(yīng)的發(fā)展.本課設(shè)計(jì)以學(xué)生熟悉的“等邊三角形”為載體，以“全等三角形的判定與性質(zhì)”為主題，通過(guò)變式(改變條件或改變圖形)教學(xué)，以“一題多變”、“多題一解”的形式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)旨在使學(xué)生都能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中.

3.2 復(fù)習(xí)課貴在學(xué)生有更多“說(shuō)”的機(jī)會(huì)

新課程倡導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程.在這一過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師應(yīng)有效發(fā)揮主導(dǎo)作用.本課設(shè)計(jì)中，圍繞一系列問(wèn)題，在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，教師始終把“說(shuō)”的權(quán)力下放給學(xué)生:所發(fā)現(xiàn)的全等三角形、判斷的方法、解題的思路、觀察到的或猜測(cè)的等腰三角形、指定角的度數(shù)等等，都是讓學(xué)生先“說(shuō)”，教師適當(dāng)補(bǔ)充、提示、追問(wèn).在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，更多的是學(xué)生生動(dòng)活潑地自主思考、探索和展示，學(xué)生能自己解決的、能表達(dá)的、能展示的內(nèi)容，教師把“說(shuō)”的機(jī)會(huì)充分地還給學(xué)生.

3.3 復(fù)習(xí)課貴在合理使用多媒體輔助與簡(jiǎn)明學(xué)案并用

教師在課堂中合理使用多媒體輔助教學(xué)，利用幾何畫(huà)板演示，直觀展示了幾何圖形的變化過(guò)程，讓學(xué)生直觀上清晰感悟幾何圖形的特征，發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，為猜想幾何結(jié)論提供了方向，為幾何命題的證明提供了方便.例1變式1中△AEF和△BDF都是等腰三角形，幾何畫(huà)板就提供了2個(gè)非常直觀的位置，只憑紙上固定的圖形，學(xué)生恐怕難以想到這樣的2種情形;例2及變式題的圖形通過(guò)幾何畫(huà)板，直觀展示了幾何圖形之間變化的無(wú)窮魅力.簡(jiǎn)明學(xué)案的使用，讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，一定程度上提高了學(xué)習(xí)效率，同時(shí)，對(duì)速度較慢的學(xué)生而言，可在課后繼續(xù)完成.