岑嶸

2006年，美國佐治亞州亞特蘭大市如期舉行了一次大統(tǒng)考（CRCT）。不久，相關(guān)人員發(fā)現(xiàn)了這次考試的不同尋常之處：答題紙上出現(xiàn)了大量“由錯變對”的更正痕跡，導(dǎo)致這次考試的分?jǐn)?shù)出奇地高。

在現(xiàn)實中，學(xué)生在考試中肯定會對答案進行修改，而且總有一些學(xué)生會將錯誤的答案改成正確的，比如通過再次驗算發(fā)現(xiàn)了錯誤，這也許是湊巧一大幫學(xué)生撞了好運，因此，這也不能判斷為作弊。

不過，概率很容易讓這種所謂“巧合”穿幫。一些考場的學(xué)生答題紙上“由錯改對”的痕跡數(shù)量高于全州正常水平20～50個標(biāo)準(zhǔn)差，而在一個分布中，絕大多數(shù)數(shù)據(jù)都會落在平均值的兩個標(biāo)準(zhǔn)差范圍以內(nèi)。

那么這么多學(xué)生在那么短的時間內(nèi)僅憑“運氣”，改正了那么多錯題的概率是多大？打個形象的比喻，這個概率相當(dāng)于有7萬名身高7英尺（2.13米）以上的觀眾，同時出現(xiàn)在佐治亞穹頂體育場觀看足球比賽。你能想象這個場面嗎？

CRCT是佐治亞州的統(tǒng)一考試，而根據(jù)美國2002年開始實施的《不讓一個孩子掉隊》法案，如果學(xué)校的數(shù)學(xué)統(tǒng)考通過率不及58%，語文統(tǒng)考通過率不及67%，州政府就有權(quán)關(guān)閉這所學(xué)校。中南部地區(qū)的公立學(xué)校在教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生成績上差一大截，因而面臨關(guān)閉的危險。美國的媒體后來調(diào)查發(fā)現(xiàn)，正是這種制度，使得一些老師鋌而走險，制造了這起美國歷史上最大的作弊丑聞。

概率發(fā)現(xiàn)了作弊事件，更揭露出教育制度中的弊端。事實上，概率在生活中方方面面使用的廣泛，超出我們的想象。

我們在享受電子郵件的便利時，也會碰到一種煩惱——垃圾郵件的騷擾。一個叫做“貝葉斯定理”的概率計算法則對我們擺脫垃圾郵件有幫助。

不同詞語在垃圾郵件和正常郵件中出現(xiàn)的概率是不同的。比如，在垃圾郵件中常?？吹健案咝焦ぷ鳌?，而在正常郵件中很少看到它。但是垃圾郵件過濾器事先并不知道這些概率（即出現(xiàn)“高薪工作”這個詞的郵件是垃圾郵件的概率），所以必須訓(xùn)練它，讓它知道某個詞有多大的概率是屬于垃圾郵件的。為了訓(xùn)練過濾器，需要收集大量的郵件，并手工標(biāo)注其是否為垃圾郵件。

對于每封訓(xùn)練郵件中的每個詞，過濾器會調(diào)整它在垃圾郵件和正常郵件中的概率，舉例來說，“貝葉斯垃圾郵件過濾器”會學(xué)習(xí)到“銷售主管”是屬于垃圾郵件的概率很高，而像朋友姓名、家庭成員這些只能在正常郵件中看到的詞，具有很低的垃圾概率。經(jīng)過訓(xùn)練之后，垃圾郵件過濾器就會像狗鼻子一樣靈敏，如果某封郵件的垃圾概率超過某個預(yù)先設(shè)定的閾值（如95%），過濾器就將其標(biāo)注為垃圾郵件。

貝葉斯定理由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯 （ Thomas Bayes） 發(fā)展而來，用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系。貝葉斯1701年出生于倫敦，做過神甫。1742年成為英國皇家學(xué)會會員。1761年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論，并首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論。

內(nèi)特?西爾弗是一位美國統(tǒng)計學(xué)家，他在紐約時報網(wǎng)站上開有一個博客，估算2012年兩個總統(tǒng)候選人的得票，最終他準(zhǔn)確預(yù)測了所有 50 個州的選舉結(jié)果。他還把貝葉斯定理應(yīng)用在家庭婚姻上。西爾弗說，假設(shè)你是一位女性，你在衣櫥里發(fā)現(xiàn)了其他女人的內(nèi)褲，這說明你的丈夫很有可能出軌了。但問題是如果他有外遇，應(yīng)該很小心才是，所以內(nèi)衣的出現(xiàn)可能還有其他原因。

首先假設(shè)他真的出軌了，那么其他女人的內(nèi)衣會出現(xiàn)在你衣櫥里的概率假定為50%（y）。他要是沒有出軌，或許有其他無辜的原因。雖然這些情況也令人不快，比如那就是他自己穿的，或者他的行李被弄錯了，也可能是他想送給你的禮物，但他忘記打開了。這些說法都站不住腳，就像家庭作業(yè)被狗給吃了的借口，這些加在一起把它們的概率定為5%（z）。

最后，研究表明，每年大概有4%（x）的已婚夫婦出軌。即使你沒有看到任何證據(jù)，你丈夫也有4%的出軌可能，神秘內(nèi)褲出現(xiàn)后，根據(jù)貝葉斯定理的計算公式xy/xy+z*（1-x），你丈夫出軌概率提高到29%，比一般情況的4%高很多，但仍然低于50%。所以你最好的選擇是不露聲色，繼續(xù)觀察。

然而真實的概率常會被噪音所掩蓋（噪音是妨礙和誤導(dǎo)我們尋找信號的無關(guān)信息）。以“9?11”恐怖襲擊為例，這種襲擊方法令人感到非常意外，但不是沒有貝葉斯式的先例——1985年印度航空的例子和在那三年之后的洛克比空難，因此類似襲擊的發(fā)生概率至少有4%。

在2001年夏天，明尼蘇達州一家飛行學(xué)校的工作人員告訴FBI探員，有一位出生于摩洛哥的學(xué)員想學(xué)習(xí)如何在飛行途中駕駛波音747，略過起飛和著陸課程。幾位探員認真對待這一消息，但其搜查和竊聽要求被否決。還有一位飛行教師說，裝滿燃油的飛機是可怕的武器。至少，這些信號應(yīng)該把使用飛機發(fā)起襲擊的概率提高到比如15%，所以調(diào)查人員應(yīng)該去認真調(diào)查飛行學(xué)校。

但令人遺憾的是，F(xiàn)BI和CIA每天得到海量的信息，所以忽視了這個珍貴的概率，最終導(dǎo)致了巨大災(zāi)難的發(fā)生。

責(zé)任編輯：張蕾磊