丘華龍

一、問題的提出

從學(xué)生中來，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，通過學(xué)生親身體驗(yàn)、探究、合作交流等“再創(chuàng)造”的過程，建立數(shù)學(xué)模型.到學(xué)生中去，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問題，努力做到學(xué)以致用，返璞歸真，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力.

蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”的確，學(xué)生不是知識(shí)的被動(dòng)接受者，他們作為獨(dú)立認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的人，具有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，具有主觀能動(dòng)性.這種潛能的存在使得學(xué)生的獨(dú)立探究學(xué)習(xí)活動(dòng)成為可能和需要.

二、探究園——從學(xué)生的探究中來

上課方式：生生探究——小組探究——全班集體探究.這一階段追求的是學(xué)生與學(xué)生之間的相互交流、爭辯、傾聽、接納、贊賞、互助與分享.我只需在關(guān)鍵處加以指導(dǎo)或點(diǎn)撥，以追求學(xué)生在合作探究中有所收獲.在這一過程中堅(jiān)持做到以人為本，以學(xué)生為“先”，讓學(xué)生先想、先看、先講、先做，真正做到：讓學(xué)生能說的，老師不說;讓學(xué)生能做的，老師不做;讓學(xué)生能想到的，老師不提醒.在小組討論中，思維活躍的同學(xué)可以闡釋自己的見解，可以多做;不愛發(fā)言的學(xué)生，可一直跟他的同桌交流，可以跟著做.

例1 求證：n（n+1）2<1·2+2·3+…n（n+1）

生策略：左邊n（n+1）2看成是等差數(shù)列{n}的前n項(xiàng)和，右邊n（n+2）2看成等差數(shù)列n+12的前n項(xiàng)和，從而證明n

例2 求證：（1）1+122+132+…1n2<2;（2）1+122+132+…1n2<74;（3）1+122+132+…1n2<53.

生策略1：（1）放縮依據(jù)：1n2=1n·n<1n（n-1）=1n-1-1n.（2）放縮依據(jù)：1n2=1n2-1<1（n+1）（n-1）=121n-1-1n+1.（3）放縮依據(jù)：1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1.

生策略2：設(shè)1n2<1（n-α）（n-β）=1α-β1n-α-1n-β.不妨取α-β=1，則左邊=1+12-α-13-α+13-α-14-α+…+1n-α-1n+1-α=1+12-α-1n+1-α.

（1）令1+12-α-1n+1-α<2，則1+12-α≤2，α≤1，取α=1則β=0.（2）令1+12-α-1n+1-α<74，則α≤23，取α=23，則β=-13.（3）1+12-α-1n+1-α<53，

則1+12-α≤53，α≤12，取α=12，則β=-12.

例3 （2010廣東佛山一模，理21（3））已知bn<12n+1，求證：b1+b2+…+bn<2n+1-1.

生策略：記右邊為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=2n+1-1，則cn=2n+1-2n-1，只需放縮bn<2n+1-2n-1即可，而bn<12n+1=222n+1<22n-1+2n+1=2n+1-2n-1.

例4 （2009廣東卷，理21第（2）問）證明：12×34×56×…×2n-12n<12n+1.

生策略：記右邊為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=12n+1，則cn=2n-12n+1，只需放縮bn<2n-12n+1即可，而2n-12n2<2n-12n·2n2n+1=2n-12n+1，故bn<2n-12n+1.

例5 （2010廣州二模，理21）已知數(shù)列{an}和bn滿足a1=b1，且對(duì)任意正整數(shù)n都有an+bn=1，an+1an=bn1-a2n.

（1）求數(shù)列{an}和bn的通項(xiàng)公式;

（2）證明：a2b2+a3b3+a4b4+…+an+1bn+1

生策略1：（1）略，an=1n+1，bn=nn+1.（2）即證明12+13+…+1n+10，令x=1n，得1n+1

生策略2：記原不等式中間為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=ln（n+1），則cn=ln（n+1）-lnn，故只需證明1n+1

三、試金石——到學(xué)生中去

例6 求證：（1）1+132+152+…+1（2n-1）2<32;（2）1+132+152+…+1（2n-1）2<54.

例7 （1998全國卷，理25（2））證明：（1+1）（1+14）（1+17）·…·（1+13n-2）>33n+1.

例8 （2009廣東珠海二模）正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足sn=12（an+1an），其中sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）求sn=1s1+1s2+…+1s100的整數(shù)部分.

實(shí)踐結(jié)果：教學(xué)有法，但教無定法.掌握知識(shí)不是目的，會(huì)運(yùn)用知識(shí)才是根本.有的老師設(shè)計(jì)的是“靈感放飛”，有的是“拓展延伸”，而有的是“綜合運(yùn)用”，還有的是“效果檢測”等等，都是為學(xué)生提供運(yùn)用本節(jié)課知識(shí)的一個(gè)舞臺(tái).真正實(shí)現(xiàn)從學(xué)生原有的認(rèn)知水平、生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)體系，通過課堂一系列活動(dòng)整體能力得到提升，再回到學(xué)生中去，去解決新問題.從而達(dá)到教學(xué)目的，完成教學(xué)任務(wù).總之，從學(xué)生中來到學(xué)生中去，在新課堂教學(xué)中被賦予新意，需要我們在課改的前沿陣地——課堂教學(xué)中不斷實(shí)踐、不斷認(rèn)識(shí)、不斷總結(jié)，使新的教學(xué)理念在前沿陣地上開花結(jié)果.

四、課后反思

反思1：課堂要順其自然

葉瀾教授曾說：“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”“一節(jié)課不應(yīng)該完全是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的合作、對(duì)話、碰撞中，難免會(huì)出現(xiàn)一些超出教師預(yù)設(shè)方案之外的新問題、新情況.”面對(duì)這些課堂意外，教師要把握時(shí)機(jī)，掌握尺寸，積極引導(dǎo)，使學(xué)生的靈性和創(chuàng)造性在課堂中得以閃動(dòng).倘若斷然否定、置之不理，或搪塞過關(guān)，就可能錯(cuò)失一個(gè)難得的教學(xué)契機(jī)，還會(huì)挫傷學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性.提出問題后，筆者及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，使學(xué)生的求知欲得以滿足，并獲得富有個(gè)性的學(xué)習(xí)感悟，也使課堂因?yàn)椤耙馔狻倍?，形成了新的教學(xué)生長點(diǎn).

反思2：反思問題結(jié)構(gòu)，尋求知識(shí)創(chuàng)新驚喜

問題解決后，要讓學(xué)生明白，解題不能就題論題，要對(duì)問題進(jìn)行質(zhì)疑，反思問題所含的知識(shí)結(jié)構(gòu)，能否將問題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想、拓展、引申？能否對(duì)一些數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行整合？由問題所含的知識(shí)“點(diǎn)”擴(kuò)大到知識(shí)“面”，通過不斷地拓展、聯(lián)系，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過實(shí)踐、總結(jié)與提煉，讓學(xué)生體驗(yàn)“創(chuàng)造”的驚喜，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)向更高層次飛躍.

反思3：讓學(xué)生擔(dān)當(dāng)課堂的主角

新課堂倡導(dǎo)教師積極轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，教師應(yīng)是學(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者，是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、參與者和欣賞者，教師要善于捕捉來自于學(xué)生的智慧和火花，敢于采納學(xué)生的點(diǎn)子和方案，這樣有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信心.